Propagação de erros. independentes e aleatórios

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1 TLF 010/11 Capítulo V Propagação de erros independentes e aleatórios 5.1. Propagação da Incerteza na Soa ou Dierença. Liite superior do Erro Propagação da Incerteza no Produto ou Diisão. Liite superior do Erro Propagação da incerteza e unções arbitrárias de ua ariáel Aplicando a unção aos etreos do interalo de erro da ariáel Utilizando o cálculo dierencial Duas aplicações de uso requente Propagação da incerteza e unções dependentes de árias grandezas Deterinação da incerteza inal por etapas Erros de copensação Fórula geral da propagação de erros. 56 Departaento de Física da FCTUC 49

2 TLF 010/11 Propagação de erros independentes e aleatórios Coo sabeos, uitas ezes não é possíel azeros edições directas de deterinadas grandezas ísicas (por eeplo, por não teros os aparelhos adequados disponíeis) e só podeos conhecer os seus alores a partir de outras grandezas co elas relacionadas. Nesses casos: 1º) ede-se directaente a ou as quantidades a partir das quais a grandeza e causa pode ser deterinada (por eeplo, ua distância e u tepo); º) usa-se os alores edidos dessas quantidades para calcular a grandeza de interesse (por eeplo, ua elocidade édia). Quando a deterinação da grandeza ísica enole os dois passos anteriores, a aaliação da incerteza tabé enole árias etapas: 1º) estia-se as incertezas nas quantidades edidas directaente; º) inestiga-se coo é que essas incertezas se propaga ao longo dos cálculos realizados; 3º) deterina-se a incerteza que ai aectar a grandeza inal. As secções 5.1 e 5. que apresentaos a seguir, analisa eeplos siples e deonstra que o acto de eistire interalos de alores (as incertezas) associados a cada grandeza edida, az co que, de odo natural, as grandezas calculadas a partir delas enha tabé associadas a interalos de incerteza. Muito iportante As considerações eitas neste capítulo reere-se apenas a incertezas que, alé de aleatórias, são tabé independentes, ou seja, as lutuações nos alores das ariáeis não estão correlacionadas entre si. Mais tarde, considerareos a propagação de erros no caso de incertezas correlacionadas Propagação da Incerteza na Soa ou Dierença. Liite superior do Erro. Coeceos por aaliar o caso siples de ua grandeza que se obté pela dierença de duas grandezas. Ilustreos co o eeplo da ariação do oento linear nu choque elástico de dois carrinhos e que u deles está inicialente parado e o outro ica parado depois do choque. Aditindo que dispoos de eios para edir directaente o oento linear de cada u dos carros, a dierença entre os dois alores edidos dá o alor da ariação do oento linear resultante do choque. Os resultados obtidos nua eperiência estão ilustrados na igura 5.1: Moento linear antes do choque: p i 1.56 ± 0.06 kg./s Moento linear depois do choque: p 1.49 ± 0.03 kg./s. Departaento de Física da FCTUC 50

3 TLF 010/11 Figura 5.1 Resultado do oento linear antes (p i ) e depois (p ) de u choque entre dois carrinhos. A ariação do oento linear (p p p i ) oi então 0.07 kg./s. Qual o alor da incerteza que e associada a esta ariação do oento linear ou seja, (p q i )? Tendo e conta o interalo de incerteza de p i e a p que podeos er na igura 5.1, teos: O aior alor possíel que a dierença entre as duas grandezas pode ter é: (p p ) (p i p i ) (p p i ) (p p i ) O enor alor possíel que a dierença entre as duas grandezas pode ter é: (p p ) (p i p i ) (p p i ) (p p i ) O interalo de alores associado à dierença (p p i ) será, então, (p p i ) ± (p p i ). O erro deinido coo (p p i ), ou seja, a soa directa dos erros associados a p i e a p, constitui u liite superior do erro. Na erdade, ereos que quando z ± se te, regra geral, z <, isto é, o erro da soa (ou da dierença) é inerior à soa dos erros. Se as incertezas são independentes e aleatórias, ostrareos eso que: ( ) ( ) z (5.1) Assi, no eeplo considerado, podeos escreer co segurança que (p p i ) ± (p p i ) 0.07 ± 0.09 kg..s Propagação da Incerteza no Produto ou Diisão. Liite superior do Erro. Vejaos agora o caso de ua grandeza que se obté pelo produto de duas grandezas edidas eperientalente. Toeos o eeplo da deterinação do oento linear a partir das edidas directas da assa e da elocidade. Considereos que os elhores resultados das grandezas assa e elocidade ora, respectiaente ( ± ) e ( ± ) Departaento de Física da FCTUC 51

4 TLF 010/11 e coeceos por escreê-los na ora onde e 1 ± e são as incertezas relatias. 1 ±, O oento linear resultante será p ± p, onde p.. Para deterinar p considereos o seguinte: O aior alor possíel para o produto, atendendo ao interalo de incerteza, será: Se as incertezas relatias ore pequenas, o seu produto tabé será e podeos desprezá-lo. O aior alor para p será então, aproiadaente, 1 Analogaente, O enor alor possíel será para o produto, atendendo ao interalo de incerteza, será: Assi, os alores ais proáeis de p estão, aproiadaente, dentro dos liites: ± 1 ± ± 1. Da coparação co p 1 ± p p ê-se que: p p Departaento de Física da FCTUC 5

5 TLF 010/11 Este resultado 1 constitui u liite superior do erro pois ereos que quando z ou z / se te, regra geral, z <, z ou seja, o erro relatio do produto (ou do quociente) é inerior à soa dos erros relatios das parcelas. Na erdade, tratando-se de incertezas independentes e aleatórias, ostrareos que: z z (5.) 5.3. Propagação da incerteza e unções arbitrárias de ua ariáel Aplicando a unção aos etreos do interalo de erro da ariáel Muitas ezes, o cálculo de deterinada unção enole operações ais copleas do que siples adições ou ultiplicações. É o caso de senos, tangentes, raízes, etc. Quando se trata de unções de ua só ariáel, ejaos ua ora directa de calcular a propagação do erro da ariáel para a unção que dela depende. Suponhaos que teos a quantidade edida ± e que quereos calcular a unção ( ) ±. Ua aneira directa de estiaros é partiros da representação gráica de (). Ilustreos co o gráico da igura 5.. Coeçaos por arcar os pontos, e. Veos na igura que: corresponde a corresponde a in corresponde a a a distância entre in e a é ezes Figura 5. Representação gráica da unção (), ilustrando coo partir de ± para obter ±. 1 Repare-se que só é possíel soar o quadrado das incertezas associadas à assa e à elocidade trabalhando co as incertezas relatias, o que torna as parcelas adiensionais. Departaento de Física da FCTUC 53

6 TLF 010/11 Conclui-se, portanto, que a aplicação da unção () a e aos etreos do interalo ±, perite obter ±. Vejaos agora u eeplo se recorrer à representação gráica. Iagineos que se ediu eperientalente o ângulo θ 1.0º ± 1.0º e que quereos conhecer o alor da unção cosseno (cos θ). Podeos então calcular: cos 1.0º cos 13.0º cos 11.0º cos 13 cos 11 / Logo cos (1.0º ± 1.0º) ± Utilizando o cálculo dierencial Quando a unção () é conhecida eplicitaente, podeos recorrer ao cálculo dierencial para deterinar. Sabeos do cálculo dierencial que para qualquer unção () contínua e dierenciáel e para qualquer pequena ariação, se te que, nu ponto deterinado, por eeplo : li o ( ) ( ) d d. Por outro lado, quando a ariação é pequena as não nula, podeos recorrer à órula de Talor, n d 1 d 1 n d ( ) ( ) ( )... ( ) (5.3) n d! d n! d e utilizar apenas os prieiros teros da eq. 5.3, adoptando a aproiação d ( (5.4) d ( ) ) Vê-se na igura 5. que ( ) ( ). Então, desde que a incerteza seja pequena (e assuios que é), a coparação entre e a epressão (5.4) dá d, d ou seja, a incerteza e é dada pela deriada de e orde a, ultiplicada pela incerteza e. Por outro lado, coo sabeos, a deriada traduz geoetricaente o declie da recta tangente à unção () no ponto considerado, (, ). No eeplo da igura 5.3, o declie da recta tangente à unção () nesse ponto é negatio, coo se ê. Assi, nesee caso d. d Departaento de Física da FCTUC 54

7 TLF 010/11 Figura 5.3 Representação gráica de outra unção (). Generalizando, podeos então deinir que a incerteza nua qualquer unção () quando a incerteza e é pequena e aleatória é dada por: d (5.5) d Duas aplicações de uso requente Incerteza na potência Considereos n ( ) sendo n qualquer núero io, positio ou negatio. Então, d d n n 1 (5.6) Se diidiros por n, obteos n (5.7) para a incerteza relatia na potência, qualquer que seja o nº io n. Incerteza no produto por ua constante B Considereos a unção, tal que ( ) B, qualquer que seja B, constante. d B (5.8) d Ou seja, a incerteza no produto por ua constante é siplesente o produto da constante pela incerteza inicial. Departaento de Física da FCTUC 55

8 TLF 010/ Propagação da incerteza e unções dependentes de árias grandezas Deterinação da incerteza inal por etapas. A deterinação da incerteza associada a ua grandeza que depende de árias outras grandezas pode ser realizada atraés de ua sequência de passos, cada u enolendo o cálculo da incerteza associada a deterinado tipo de operação ateática. Por eeplo, dadas as seguintes grandezas ±, ±, z ± z, e u ± u pretende-se deterinar a unção deinida por (,,z,u) ± ( z). cosu Para tal podeos proceder ao cálculo por etapas, atraés dos passos seguintes: 1) u (cos u) ) e z ( z) 3) e ( z) [( z)] 4) [( z)] e (cos u) [( z)/cos u)] Erros de copensação. Ebora pareça de aplicação siples, o étodo anterior te ua desantage que interessa ter e conta, e que pode acontecer quando algua das ariáeis aparece ais do que ua ez na deinição da unção. Suponhaos que azeos edidas directas das ariáeis, e z e pretendeos deterinar a grandeza deinida por: 3 z na qual a ariáel aparece ais do que ua ez. Se calcularos por etapas, deterinaos as incertezas de e 3z separadaente, e só depois a incerteza no quociente. Contudo, ao actuar deste odo, não precaeos a possibilidade de erros e no nuerador podere ser cancelados por erros e no denoinador. Este eeito é por ezes designado por erro de copensação. Se, por eeplo, estier sobrestiado, o resultado inal da deterinação da incerteza por passos apliicará essa sobrestiatia do erro. A solução é deterinar a incerteza total de ua única ez, recorrendo à órula geral de propagação de erros que se apresenta a seguir Fórula geral da propagação de erros É possíel deinir u procediento geral álido para o cálculo da propagação de incertezas aleatórias e independentes, que não esteja condicionado ao núero de ariáeis ou Departaento de Física da FCTUC 56

9 TLF 010/11 Departaento de Física da FCTUC 57 de ezes que essas ariáeis aparece na unção, ne à ora coo a unção depende delas. Vaos eplicitar essa órula para o caso da unção depender apenas de duas grandezas, e, e no inal apresentareos a órula geral aplicáel a qualquer núero de ariáeis. Suponhaos que se pretende deterinar o alor da unção (,). Conhecendo os alores das grandezas ± e ±, a elhor estiatia para será (,) ± (, ) ±. Pretendeos deterinar. A órula de Talor dá-nos a ora coo a unção (,) aria quando as ariáeis e de que depende sore pequenos increentos e : ( ) ( ) ( )( ) ( )...!, ) (, 1 Toando apenas os prieiros teros, obteos a órula aproiada ( ) ), (, (5.9) onde e são as deriadas parciais de e orde a e, antendo e constantes, respectiaente. Então, considerando que as incertezas e são pequenas, aplicando aos interalos ± e ± e atendendo a que (, ± ) ( ). podeos escreer ( ) ( ) ± ± ±,,, de onde tiraos que. (5.10) Esta órula constitui, de acto, o liite superior do erro da unção (,). Tal coo já oi reerido anteriorente, ereos que quando as incertezas nas ariáeis de que a unção depende são independentes e aleatórias podeos deterinar a incerteza total de acordo co a órula quadrática: (5.11)

10 TLF 010/11 Departaento de Física da FCTUC 58 Generalizando, se (,,..., z)...,...,,...,,..., z z z z (5.1) que é a órula geral de propagação de erros independentes e aleatórios.