O PROBLEMA DO MOVIMENTO

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1 O PROBLEMA DO MOVIMENTO O problea do oiento pode se resuir na deterinação da elocidade e da direção de u objeto óel, nu deterinado instante. Você já está acostuado a deterinar a elocidade édia de u objeto e oiento. Por exeplo, se nua iage ocê dirigir 0 k e h, então, diidindo 0 k por h, conclui-se que ocê dirigiu, e édia, 60 k e h, ou seja, 60 k/h. Agora, tal fato não quer dizer, por exeplo, que após hora de iage ocê tenha percorrido exataente 60 k. Você pode ter parado para toar u café ou pode ter iajado a 65 k/h. Na tentatia de resoler ateaticaente este problea, aos supor que podeos descreer o deslocaento de u objeto coo ua função do tepo. Isto é, para cada alor do tepo t podeos associar u núero x que representa a posição do objeto nesse instante. Considere então, t x t ua função que descree o oiento de u objeto, que se oe ao longo de ua reta, e função do tepo t. Assi, se t for edido e segundos (s) e x e etros (), teos que: depois de segundos, o objeto estará a 3 etros x 3 ao longo da linha de oiento; 4 segundos ais tarde, isto é, quando t = 6 segundos, o objeto estará a 7 etros ao longo da linha de oiento x Da Física, sabeos que a elocidade édia,, de u objeto e oiento é a razão (ou taxa) entre o deslocaento do objeto e o tepo durante o qual esse deslocaento ocorre. Ou seja, deslocaento tepo gasto

2 No exeplo dado, no interalo de tepo que ai de s a 6s, teos então que: deslocaento /s tepo gasto 6 4 Sabeos que, quando quereos indicar ua ariação entre dois alores de ua grandeza utilizaos a letra grega (delta). Assi, t (le-se: delta t) representa a ariação do tepo x ( le-se: delta x) representa a ariação da posição Obsere que a ariação da posição nada ais é do que a diferença entre a posição do objeto calculada no tepo final e a posição do objeto calculada no tepo inicial (deslocaento ), no interalo de tepo considerado. Dessa fora, utilizando esta notação, escreeos: x t ou x t t x t t Você dee ter obserado que, e u gráfico de x ersus t, a elocidade édia é nuericaente igual ao coeficiente angular da reta secante que passa por dois pontos sobre a cura x(t): u dos pontos é o correspondente a x t e o outro o correspondente a x t,,. Dizeos que a elocidade édia é nuericaente igual ao coeficiente angular da reta secante, pois a elocidade te diensão (/s, k/h, etc.) enquanto que o coeficiente angular é u núero adiensional. Mudança de ua posição x para ua posição x

3 Vaos agora considerar outra situação. A figura abaixo ostra a função posição x t de u ciclista e oiento (tratado aqui coo ua partícula e oiento). O ciclista é percebido e t = 0 quando ele está na posição x = -5 (isso significa que ele está a 5 da orige, no sentido negatio). Ele se oe no sentido de x = 0 (passa por esse ponto e t = s) e então continua a se deslocar para alores aiores e positios de x. A figura (b) ostra o oiento real do ciclista e linha reta, que é a trajetória que ocê eria. Contudo, nessa representação pouca ou nenhua inforação ocê poderia obter acerca do oiento do ciclista. Já o gráfico da figura (a), apesar de ser uito diferente daquilo que ocê eria na realidade, é uito ais rico e inforações (atraés dele podeos saber, por exeplo, quão rápido o ciclista está se oientando). Para deterinar a elocidade édia para o ciclista, no interalo de tepo de t = 0 s a t = 6 s, traçaos no diagraa de posição ersus tepo a reta secante que passa pelos pontos correspondentes ao início e ao final do interalo de tepo considerado e, e x seguida, calculaos o coeficiente angular t dessa reta. Assi, a elocidade édia é x 40 6,7 /s t 6

4 Agora, se quiseros saber quão rapidaente o ciclista está se oendo e u dado instante, deeos calcular sua elocidade instantânea (ou siplesente sua elocidade). Para deterinar a elocidade do ciclista no instante t = s, por exeplo, traçaos ua reta tangente à cura posição-tepo x(t) no ponto P, correspondente a esse instante, e, e seguida, calculaos o coeficiente angular dessa reta tangente (escolhendo dois pontos quaisquer sobre ela). Assi, a elocidade do ciclista no instante t = s é: x 5 5 /s t que nada ais é do que a deriada de x e relação a t quando t = s. Ou seja, dx 5 /s. dt A elocidade é a taxa na qual a posição x de u objeto está ariando co o tepo nu dado instante. A elocidade é ua grandeza etorial e, portanto, possui direção e sentido (não se esqueça que o sentido é indicado atraés de u sinal algébrico). A elocidade escalar é o ódulo da elocidade, ou seja, ela é desproida de qualquer indicação de direção e sentido. Lebrando: o elocíetro de u carro ede a elocidade escalar e não a elocidade (ele não pode identificar a direção e o sentido). As idéias trabalhadas aqui, pode se estender para o cálculo de taxa de ariação édia e taxa de ariação instantânea relacionadas a quaisquer outras grandezas (pressão, olue, concentração, teperatura, etc.). Agora tente resoler os exercícios dados a seguir, para erificar se ocê copreendeu as idéias apresentadas até aqui. Deriada = Coeficiente angular da reta tangente a ua cura nu deterinado ponto desta.

5 Exercícios ) Considere A r a área de u círculo de raio r (dado e c). (a) Faça u esboço do gráfico de A e função de r. (b) Deterine a equação que define a taxa de ariação da área e relação ao raio. (c) Calcule a taxa de ariação da área e relação ao raio para r = c e r = 5 c e explique por que a taxa é aior quando r = 5 c. Justifique sua resposta. ) U cainhão pega a pista de saída de ua rodoia no instante t = 0. Sua posição depois de t segundos é 3 dada pela equação st 84tt pés, para 0 t 5. (a) Faça u esboço do gráfico que representa a posição do cainhão e função do tepo. (b) Deterine a equação que define a elocidade do cainhão coo função do tepo. (c) Qual é a elocidade do cainhão no instante e que ele pega a pista de saída da rodoia? (d) Faça u esboço do gráfico que representa a elocidade do cainhão e função do tepo. (e) O cainhão está auentando ou diinuindo sua elocidade? Justifique sua resposta. 3) U projétil é disparado erticalente para cia a partir de ua altura inicial s0 0. Sabendo que a altura do projeto é dada atraés da equação s t 0t gt, onde necessária para que o projétil atinja ua altura áxia de k? 4) Dado que y f x, sua resposta. g 9,8 /s, qual é q elocidade inicial dê ua estiatia para f 6, sabendo que f 5 43 e f 5 0,75. Justifique 5) A figura abaixo ostra o coportaento da oltage atraés de u capacitor coo ua função do tepo, enquanto o capacitor está sendo carregado. Faça ua estiatia para a taxa de ariação da oltage e t = 0 s. A oltage aria ais rapidaente ou ais deagar à edida que o tepo passa? Explique e teros de retas tangentes. Alguas Respostas ) (b),57 c /c (para r ) e 3, 4 c /c (para r 5) (c) A área do círculo cresce ais rapidaente e relação ao raio, quando r = 5 c. ) (b) t 84 3t (c) 3) 0 98 /s 4) 43,75 5) 0,05 V/s 0 84pés/s (e) Está diinuindo a elocidade