Sistema Internacional de Unidades

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1 TEXTO DE REVISÃO 01 Unidades de Medidas, Notação Científica e Análise Diensional. Caro aluno: No livro texto (Halliday) o cap.01 Medidas introduz alguns conceitos uito iportantes, que serão retoados ao longo de todo o prieiro ano de curso. Por exeplo, é uito iportante que o aluno se habitue a utilizar as unidades de grandeza pertencentes ao SI (Sistea Internacional), tabé é fundaental que o aluno consiga copreender os enunciados que envolva códigos e síbolos físicos. Assi, coo se expressar corretaente utilizando a linguage física e os seus síbolos de fora adequada. Este texto de revisão é u texto introdutório, talvez a elhor fora de abordá-lo seja sugerir que ele seja lido individualente e, depois verificar a copreensão do conteúdo fazendo ua auto-avaliação através dos testes e exercícios propostos. Fazer esta revisão é ua atitude prudente e sensata, as de odo especial esta revisão deve ser feita por aqueles que sente dificuldade de base neste tea. Boa Sorte! Sistea Internacional de Unidades Antigaente, para edir coprientos ou para pesar u corpo, cada país escolhia ua unidade ou padrão. Observe os quadros, que representa alguns desses padrões: PAÍS NOME DA UNIDADE VALOR APROX. EM METROS Inglaterra e Estados Unidos jarda polegada 0,914 0,025 China tsun jin 0,06 58,8 Rússia Versta 0,66 Unidades de copriento PAÍS NOME DA UNIDADE VALOR APROX. EM kg Inglaterra e Estados Unidos libra onça 0,45 0,028 China pecul 71 Egito rotolo 0,69 Unidades de assa Coo cada país fixava o seu próprio padrão, as relações entre os países, o ensino e os trabalhos científicos se tornava uito difíceis. Para resolver estes probleas, fora criados padrões internacionais que viera a facilitar as relações entre esses países. Assi, foi criado o Sistea Internacional de Unidades, que se indica SI. O Sistea Internacional de Unidades estabelece sete unidades coo fundaentais, e cada ua delas corresponde a ua grandeza. GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO copriento assa quilograa kg tepo segundo s intensidade de corrente apère A elétrica teperatura kelvin K quantidade de atéria ol ol intensidade luinosa candela cd

2 O SI é tabé denoinado MKS, que corresponde às iniciais dos síbolos das três unidades fundaentais usadas. Copriento Massa Tepo MKS kg s Obs. Todas as unidades, quando escritas por extenso, deve ter a inicial inúscula, eso que seja noes de pessoas. Exeplo:, newton, quilô, pascal, etc. Coo exceção a esta regra, há a unidade de teperatura da escala Celsius, que se escreve grau Celsius, co inicial aiúscula. Os síbolos são escritos co letra inúscula, a não ser que se trate de noe de pessoa. Exeplos: UNIDADE SÍMBOLO apère A newton N pascal Pa Os síbolos não se flexiona quando escritos no plural. Exeplo: 10 newtons - 10 N, e não 10 Ns. Alguas unidades não pertencentes ao Sistea Internacional Os utilizadores do SI terão necessidade de epregar conjuntaente certas unidades que não faze parte do Sistea Internacional, poré estão aplaente difundidas. Elas figura no quadro a seguir: GRANDEZA NOME SÍMBOLO VALOR EM UNID. SI tepo inuto hora dia in h d 1 in = 60 s 1 h = 60 in = s 1 d = 24 h = s ângulo plano grau inuto segundo º ' " 1º = (π/180) rad (1/60)º = (π/10 800) rad (1/60)' = (π/ ) rad volue litro l 1 l = 1 d 3 = assa tonelada t 1 t = 10 3 kg 1- SISTEMA MÉTRICO DECIMAL Medida de copriento No sistea étrico decial, a unidade fundaental para edir coprientos é o, cuja abreviação é. Existe os últiplos e os subúltiplos do, veja na tabela: Múltiplos u.f Subúltiplos. quilô etro hectô decâ et ro Decí centí Milí etro k h da D c ,1 0,01 0,001

3 Existe outras unidades de edida as que não pertence ao sistea étrico decial. Vejaos as relações entre alguas dessas unidades e as do sistea étrico decial: 1 polegada = 25,40 ilís 1 ilha = s (aproxiadaente) 1 légua = s (aproxiadaente) 1 pé = 30,48 centís Transforação de unidades Observando o quadro das unidades de copriento, podeos dizer que cada unidade de copriento é 10 vezes aior que a unidade iediataente inferior, isto é, as sucessivas unidades varia de 10 e 10. Concluí-se então que para transforar ua unidade para u subúltiplo, basta ultiplicar por 10 n onde n é o núero de colunas à direita do núero na tabela. Já para passar para u últiplo, basta dividir por 10 n onde n é o núero de colunas à esquerda do núero na tabela. Por exeplo: 7 = 7 x 10 2 c = 700 c 500 = 500 x 10-3 k = 0,5 k EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 1 - Transfore e : a) 1,23 k b) 1003 c) 0,02 k d) 51 c e) 17 Resp. 1) a) 1230 b) 1,003 c) 20 d) 0,51 e) 0, Efetue as operações e dê o resultado e : a) 42 k b) 5 k c) 8 x 2,5 k Resp. 2 a) b) c) Medida de superfície No sistea étrico decial, a unidade fundaental para edir superfícies é o quadrado, cuja representação é 2. O quadrado é a edida da superfície de u quadrado de u de lado. Coo na edida de copriento, na área tabé teos os últiplos e os subúltiplos: Múltiplos u.f. Subúltiplos k 2 h 2 da 2 2 d 2 c Transforação de unidades ,01 0,000 0, Analogaente à transforação de unidades da edida de copriento, fareos para a edida de área, poré para cada deveos ultiplicar ou dividir por 10 2 e não 10. Veja os exeplos: a) 5 2 = 5 x 10 2 d 2 = 500 d 2 b) 3 k 2 = 3 x = c) = x 10-6 k 2 = 0,02 k 2 Obs. Quando quereos edir grandes porções de terra (coo sítios, fazendas etc.) usaos ua unidade agrária chaada hectare (ha). O hectare é a edida de superfície de u quadrado de 100 de lado. 1 hectare (há) = 1 h 2 = E alguns estados do Brasil, utiliza-se tabé ua unidade não legal chaada alqueire. 1 alqueire ineiro é equivalente a alqueire paulista é equivalente a Dica: 1 c 2 =

4 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 3 - Transfore e 2 : a) 21 d 2 b) c 2 c) 1 k 2 d) 0,72 h 2 e) 103,2 c 2 Resp.: 3) a) 0,21 b) 0,125 c) d) e) 0, Medidas de volue No sistea étrico decial, a unidade fundaental para edir volue é o cúbico, cuja abreviatura é 3. O cúbico ( 3 ) é o volue ocupado por u cubo de 1 de aresta. Coo nas edidas de copriento e de área, no volue tabé teos os últiplos e os subúltiplos: Múltiplos k 3 h 3 da 3 u.f Subúltiplos. 3 d 3 c ,001 0, , As ais utilizadas, alé do cúbico, são o decí cúbico e o centí cúbico Transforação de unidades Analogaente à transforação de unidades da edida de copriento, fareos para a edida de área, poré para cada deveos ultiplicar ou dividir por 10 3 e não 10. Veja os exeplos: a) 8,2 3 = 8,2 x 10 3 d 3 = d 3 b) c 3 = x = 0,5 3 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 4 - Transfore e 3 : a) 840 d 3 b) c) d 3 Resp.: a) 0,840 3 b) 0,014 3 c) Unidades de edida de capacidade A unidade fundaental para edir capacidade de u sólido é o litro, cuja abreviação é l. De acordo co o Coitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é, aproxiadaente, o volue equivalente a u decí cúbico, ou seja: 1 litro = 1, d 3, para aplicações práticas, siples, podeos definir: Veja os exeplos: 1 litro = 1 d 3 = ) Na leitura do hidrô de ua casa, verificou-se que o consuo do últio ês foi de Quantos litros de água fora consuidos? Solução: 36 3 = d 3 = l 2) Ua industria faracêutica fabrica litros de ua vacina que deve ser colocados e apolas de 35 c 3 cada ua. Quantas apolas serão obtidas co essa quantidade de vacina? Solução: litros = d 3 = c 3 ( c 3 ) : (35 c 3 ) = apolas Transforação de unidades de edidas de capacidade Observando o quadro das unidades de capacidade, podeos verificar que cada unidade de capacidade é 10 vezes aior que a unidade iediataente inferior, isto é, as sucessivas unidades varia de 10 e 10. Veja os exeplos: Expressar 15 litros e l. Solução: 15 l = (15 x 10 3 ) l = l Expressar 250 l e c 3. Solução: 250 l = 0,25 l = 0,25 d 3 = 250 c 3

5 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 5 - Expresse e litros: a) l b) 85 cl c) 2 hl d) 87 d 3 e) 3,5 3 f) 1 c 3 g) 0, h) Resp.: 5) a) 1,2 b) 0,85 c) 200 d) 87 e) 3500 f) 0,001 g) 125,6 h) 0, Ua lata de refrigerante cilíndrica te 15 c de altura e o raio da base ede 3 c. Quantos l de refrigerante, aproxiadaente, cabe nessa lata? Resp.: 423,9 l 5 - NOTAÇÃO CIENTÍFICA: Notação científica é ua fora abreviada de escrever edidas físicas porque facilita os cálculos envolvendo núeros uito grandes ou uitos pequenos. Qualquer núero pode ser escrito sob a fora N x 10 x e que 1 N < 10 e x é u núero inteiro positivo ou negativo. Por exeplo: 805 = 8,05 x 10 2, (312 = 3,12 x 10 2 ), 7924,5 = 7,9245 x 10 3, (0,42 = 4,2 x 10-1 ), 0,036 = 3,6 x 10-2 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 7 - Expresse e notação científica: a) 480 b) 0,00085 c) d) Resp.: a) 4,80 x 10 2 b) 4,92 x 10-1 c) 8,5 x 10-4 d) 5 x Expresse e notação científica o resultado de cada ua das operações indicadas: a) c =... c b) 7 kg g =... g c) c + 4, =... d) 2 h + 30 in =...s Resp.: a) 6 x 10 2 c c) 4,9 x 10 5 b) 7,3 x 10 3 g d) 9 x 10 3 s 6 - Análise Diensional: A análise diensional te várias aplicações e Ciências Exatas. Dentre as principais, podeos destacar: Previsão das unidades de edida de ua grandeza física; Mudanças de unidades de edida das grandezas; Previsão de equações físicas; Verificação da correção das equações físicas (hoogeneidade). EQUAÇÃO DIMENSIONAL: A diensão de ua grandeza é u dado iportante para a copleta caracterização física da referida grandeza. As grandezas físicas fundaentais para a Mecânica terão os seguintes síbolos diensionais: Grandezas físicas Síbolos diensionais fundaentais Massa M Copriento L Tepo T

6 A equação que relaciona os síbolos diensionais de ua deterinada grandeza recebe o noe de equação diensional. Exeplos: 1) Estabeleça a equação diensional do volue V. Volue do Paralelepípedo: V = a.b.c a b c Solução: Sabendo que o volue é o produto de três grandezas de copriento, podeos escrever: V = L.L.L então [V] = L 3 Equação diensional de volue síbolo de diensional Cada lado do paralelepípedo possui a diensão de copriento. 2) Qual é a equação diensional da grandeza derivada da velocidade, sabendo-se que ela é assi definida: v = distância / tepo. Solução: Substituindo distância e tepo, na equação da definição da velocidade, pelos seus respectivos síbolos diensionais tereos: L [ V ] = sendo assi, [V] = LT -1 T Quando deterinaos, no SI, as unidades de edida das grandezas velocidade, aceleração e força, necessitaos recordar suas definições. Assi, podeos estabelecer que a fórula de definição de ua grandeza física é a fórula ateática que a define. Toeos outro exeplo siples a área de u retângulo: Área do Retângulo: A = a.b b [A] = L.L = L 2 a b Equação Diensional de ua grandeza física b E Mecânica utilizaos os síbolos L M T, deterinando Copriento, Massa e Tepo, respectivaente. A iportância deste fato é que todas as grandezas físicas derivadas e Mecânica pode ser expressas e teros destas três grandezas fundaentais. Isto fica be claro no conceito de Fórula Diensional ou Equação Diensional: [ ] x y z G = L M T Onde: G é a grandeza que se deseja obter a fórula diensional; L, M e T são os síbolos diensionais das grandezas de base copriento, assa e tepo; x, y e z são as diensões de G e relação às grandezas fundaentais copriento, assa e tepo, respectivaente.

7 Coo exeplo, vaos deterinar as fórulas diensionais da área e do volue. Área: A = a.b, onde a e b são coprientos. Então, [A] = L.L = L 2 Logo, [A] = L 2 M 0 T 0, para ficar e ua fora ais copleta, explicitando-se as três diensões. Volue: V = a.b.c, onde a, b e c tabé são coprientos. Daí segue [V] = L.L.L = L 3 = L 3 M 0 T 0. Mais exeplos: Aceleração: Velocidade: velocidade tepo distância tepo L T [ v] = = = LT = L M T LT T [] a = = = LT T = LT = L M T Força: [F] = assa x aceleração = M. L 1 M 0 T -2 = L 1 M 1 T -2 Coo podeos notar, tendo-se a fórula de definição, facilente chegaos à fórula diensional da grandeza física e questão. O fundaental é notaros que se duas grandezas físicas, eso de noes e origens diferentes, tivere a esa fórula diensional, então os seus significados físicos são iguais e suas unidades de edida são rigorosaente as esas. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 1) Sabendo-se que a grandeza aceleração a é definida pelo quociente d/t 2, e que d se refere a ua distância e t a u tepo, conclua a equação diensional da aceleração. Resp.: 1) [a] = LT -2 2) A grandeza força F é dada pelo produto da assa da partícula pela aceleração a de que está aniada. Sabendo-se que a = distância / (tepo ao quadrado), qual será a diensional da força? Resp.: 2) [F] = LMT -2 Exercícios: 1) Deterine as fórulas diensionais das grandezas físicas abaixo. As definições utilizadas serão detalhadas (e aperfeiçoadas) ao longo do seu curso de Física I. 2 v a) Energia Cinética: E = 2 b) Energia Potencial Gravitacional: E = gh (g é a aceleração da gravidade, h é a altura de onde está o corpo que se deseja calcular a energia) c) Trabalho Mecânico: W = Força x Deslocaento d) Quantidade de Moviento: P = assa x velocidade Deterinação da Unidade de Medida de ua Grandeza Física Ua vez que tenhaos a fórula diensional de ua grandeza física, facilente chegaos à sua unidade de edida. Isto pode parecer redundante já que fizeos algo seelhante para deterinar tais unidades para o SI, a vantage aqui é que podeos deterinar as unidades para qualquer sistea que seja definido da fora LMT. Exeplo: Área: [A] = L 2 M 0 T 0. Unidades no SI: [A] = 2 (não depende da assa ne do tepo). Volue: [V] = L 3 M 0 T 0. Unidades no SI: [V] = 3 Velocidade: [v] = L 1 M 0 T -1 =.s -1 = /s Força: [F] = L 1 M 1 T -2 =.kg.s -2 =.kg/s 2 que é o Newton.

8 Exercícios: 1) A força elástica de ua ola é dada pela Lei de Hooke, F = kx, onde k é a constante elástica da ola e x é o copriento do tanto que a ola foi esticada (ou copriida). Utilizando análise diensional, encontre as unidades no SI da contante k. 2) A Lei da Gravitação Universal de Newton estabelece que a força de atração gravitacional entre dois corpos é dada por: GM F = 2 r Onde G é a constante gravitacional, M e são as assas dos corpos e r é a distância entre seus centros. Deterine as unidades da constante G no SI, utilizando análise diensional. Hoogeneidade Diensional de Equações Físicas Coo as equações físicas são expressas por igualdades, não apenas os valores nuéricos dos dois lados deve ser idênticos, as tabé as unidades de todos os teros da equação. Não podeos ter u tero da equação co diensão L 2 e outro tero (independente do lado da igualdade) co diensão L -3, por exeplo. Tal equação conté incorreções, ou seja, não é verdadeira. Quando todos os teros tê as esas diensões e relação a cada ua das grandezas básicas (LMT), dizeos que a equação é diensionalente hoogênea. Toda equação física é diensionalente hoogênea, ebora a recíproca não seja verdadeira, ou seja, é possível que ua equação seja diensionalente hoogênea as, esteja errada, devido a algu procediento errôneo de cálculos e sua elaboração. Vejaos alguns exeplos: 1) Equação de Torriceli para o MRUV: v 2 = v 2 o + 2a.Δx onde Δx é o deslocaento. Teos que: (LT -1 ) 2 = (LT -1 ) 2 + LT -2.L > L 2 T -2 = L 2 T -2 + L 2 T -2 Deveos notar os seguintes pontos: O 2 é ua constante nuérica, ou seja, não te diensões (adiensional); As operações algébricas são feitas tero a tero individualente, ou seja, não se soa ou siplifica teros seelhantes, o objetivo é coparar as diensões de cada tero co os outros da equação. Exercícios: 1) Verifique a hoogeneidade diensional da velocidade de propagação de u pulso e ua corda tracionada, dada por v = F. l onde F é a força co que a corda é tracionada, l o copriento da corda e a sua assa. 2) A força de atrito entre u bloco e ua superfície é dada por: F = μn ; onde μ é o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície e N a força noral que a superfície aplica no bloco a fi de sustentá-lo. Supondo tal equação diensionalente hoogênea, encontre a fórula diensional e as unidades no SI do coeficiente de atrito. 3) A expressão que dá o deslocaento Δx de u corpo e função do tepo é dada por: Δx = C.a x t y Onde C é ua constante adiensional, a é a aceleração e t o tepo. Encontre os valores de x e y nesta equação. 4) Na expressão x = a + bt + ct 2 + dt 3, quais são as unidades das constantes nuéricas a, b, c e d? Referências Bibliográficas Raalho, Francisco et al. Os Fundaentos da Física, Vol 3, 8 a Ed. São Paulo: Moderna, Sistea Internacional de Unidades. 8 a Ed. Rio de Janeiro: INMETRO, Disponível e Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundaentos de Física, Vol 2, 3 e 4. 6 a. Ed. Rio de Janeiro: LTC, Este texto tabé utiliza coo base os apêndices disponíveis na página do Prof. Hélder M. Medeiros