Cap 16 (8 a edição) Ondas Sonoras I

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1 Cap 6 (8 a edição) Ondas Sonoras I Quando você joga ua pedra no eio de u lago, ao se chocar co a água ela criará ua onda que se propagará e fora de u círculo de raio crescente, que se afasta do ponto de choque da pedra. As ondas tabé pode se propagar e ua corda esticada, presa por suas extreidades. Esses são dois exeplos de ondas que necessita de u eio para se propagar. O so necessita de u eio para se propagar. A luz tabé é ua onda, e e particular ua onda eletroagnética. Ondas eletroagnéticas pode se propagar e u eio ou no vácuo. Ondas e partículas Escrever ua carta ou usar o telefone são duas aneiras de entrar e contato co u aigo nua cidade distante. A prieira opção (a carta) envolve o conceito de partícula. U objeto aterial se desloca de u ponto para outro, carregando consigo a inforação e energia. A segunda opção (o telefone) envolve o conceito de onda. Nua onda, inforação e energia se desloca de u ponto para outro, as nenhu objeto aterial está realizando esta viage. E ua onda não existe o transporte de atéria. Ondas As ondas no ar ove-se co velocidade perceptível. Mas cada partícula de água eraente oscila e torno de seu ponto de equilíbrio. As ondas pode ser classificadas e: Mecânicas: necessita de u eio aterial para se propagare. Ex. ondas na corda, no ar, so. Eletroagnéticas: Não necessita de u eio aterial para se propagare. Ex. Luz, icro-ondas. De atéria: ondas associadas a elétrons e prótons. Ondas transversais e longitudinais Nas ondas transversais, o eio no qual a onda se propaga oscila na direção perpendicular à direção de propagação da onda. Nas ondas longitudinais, o eio no qual a onda se propaga oscila na direção de propagação da onda. U exeplo típico de onda longitudinal é ostrado abaixo, onde pulsos periódicos estão sendo counicados a ua coluna de ar.

2 Y Copriento de onda e frequência Se estiveros observando a propagação de ua onda harônica e ua corda, denoinaos copriento de onda ( ) distância entre dois pontos equivalentes consecutivos. E y é a aplitude áxia da onda. Denoinaos período T o tepo entre dois pontos equivalentes consecutivos. Velocidade de propagação de ua onda U caso particular uito iportante de onda progressiva te a fora de ua senoidal: y = y sen( kx t + ) 0,0 Chaaos a grandeza k de núero de onda (ou vetor de onda) e o definios coo: k = Chaaos de frequência angular e a definios coo: Chaaos de diferença de fase. A frequência de ua onda é definida coo: = T f = = T Assi, se quiseros calcular a velocidade co que ua onda se propaga deveos acopanhar u dado ponto dela, ou seja, u ponto onde o arguento da senóide fase seja constante:

3 Y kx t = cte ou v = 0 ( ) dx dt d cte k = dt dt dt dx k dt kv = v= = = f k T Velocidade de ua onda nua corda esticada Para calcular a velocidade de ua onda e ua corda vaos considerar u pequeno pulso se propagando da esquerda para a direita e ua corda de densidade linear de assa e que é esticada através de ua tensão aplicada nas suas extreidades. No sentido de facilitar a visualização apresentaos a seguir ua apliação do pequeno pulso que se propaga. Vaos analisar u pequeno pedaço de copriento l na parte superior do pulso esse pedaço l pode se considerado aproxiadaente co o forato de u arco de círculo de raio R e definindo u pequeno ângulo. Coo a tensão da esquerda é igual à tensão da direita teos que: cos cos = 0 sen = F sen + sen = FR Considerando que o ângulo é uito pequeno, teos que: e por outro lado: logo: l l sen = F R R l FR = R v FR = força _ centrípeta R R R

4 Exercícios v l R R l v = = = v = l densidade/ corda v = Equação de Taylor. Ua onda senoidal se propaga ao longo de ua corda. O tepo para que u ponto particular se ova do deslocaento áxio até zero é de 0,70 s. Quais são (a) o período e (b) a freqüência? (c) O copriento de onda é igual a,40 : qual a velocidade da onda? (a) O tepo para que u ponto particular se ova do deslocaento áxio até zero é de 0,70 s é u quarto de u período, logo T=4(0,7s)=0,680s. (b) a freqüência f= /T =,47Hz (c) O copriento de onda λ=,40 ; coo a velocidade da onda é v=λf, teos v=,06/s.. A equação de ua onda transversal e ua corda é A tração na corda é de 5 N. (a) Qual a velocidade da onda? (b) Encontre a assa específica linear desta corda e graas por etro. Energia e potência nua onda progressiva Quando consideraos a propagação de ua onda progressiva e ua corda o oviento oscilatório de u eleento de corda será no sentido perpendicular à sua propagação Quando ua onda está deslocando e ua corda, os eleentos da corda possue energia cinética e potencial e cada pondo do seu copriento. No ponto a o deslocaento é áxio (aplitude áxia) (y = y áx) enquanto no ponto b o deslocaento é ínio (aplitude ínia)(y = y in). A energia cinética associada a u eleento da corda de assa é dada por: dec = du u é a velocidade transversal do eleento da corda e vale: Co isso teos: dy d u = = y sen kx t + dt dt u = y cos kx t + fazendo = 0, ( ( ) ) ( )( ) ( ) u = y cos kx t

5 dec = d cos( ) y kx t dec = dx( y) cos ( kx t) dec dx = y cos ( kx t) dt dt dec dx y cos ( kx t) dt = dt de dt P C édia P Pédia édia édia édia dec = dt = v = v y 4 édia v y aterial/ tensão/ corda geração/ onda = édia O Princípio da Superposição Quando estaos ouvindo ua orquestra chega siultaneaente aos nossos ouvidos os sons de todos os instruentos que estão sendo tocados nu dado instante. Isto significa que ua o ais ondas sonoras pode se propagar ao eso tepo nua dada região do espaço. O efeito global que percebeos será a soa dos efeitos que cada ua das ondas produziria se estivesse se propagando isoladaente. Chaaos de princípio da superposição ao efeito global ser a soa dos efeitos isolados, coo se depreende da figura ao lado que represente a interação entre duas ondas progressivas e ua corda. Nu dado instante as ondas viaja ua na direção da outra, produze u efeito cuulativo ao se encontrar, e depois disso se afasta co o forato original. O deslocaento da corda quando as ondas se propaga ao eso tepo é então a soa algébrica (, ) = (, ) + (, ) y x t y x t y x t Interferência - ondas no eso sentido Vaos considerar o efeito da interação entre duas ondas que viaja no eso sentido. Para siplificar a análise vaos considerar que essas ondas tenha esa frequência, eso copriento de onda, esa aplitude, as tenha ua defasage ( ).

6 Elas tê a fora: f = f = = = k = k = k y = y = y Aqui fizeos: = 0 e = Então, usando o princípio da superposição, teos: y = y sen( kx t) e y = y sen( kx t + ) (, ) = (, ) + (, ) y x t y x t y x t y y ysen kx t ysen kx t = ( ) + ( + ) coo : + sen + sen = sen cos teos : = cos + y y sen kx t A onda resultante te ua aplitude odificada ( y ) de acordo co o valor da diferença de fase entre as ondas foradoras. Alguns casos siples pode ser analisados facilente: a) = 0 y = y cos = y Esse é u exeplo de ua interferência construtiva, as ondas se soa de odo a alcançar a aior aplitude possível. b) = rad y = y cos = 0 0

7 Esse é u exeplo de ua interferência destrutiva, as ondas interage e o resultado é a anulação de ua pela outra. c) = rad y = y cos y = y cos Esse é u exeplo de ua interferência parcial, as ondas interage e o resultado é a foração de ua onda diferente. Observe a tabela: 3. Que diferença de fase entre duas ondas progressivas, idênticas quanto ao resto, que se ove no eso sentido ao longo de ua corda esticada, resultará e ua onda cobinada co aplitude igual a,50 vez a aplitude cou às ondas sendo cobinadas? Expresse sua resposta e (a) graus e (b) radianos. Neste caso y cos( / ) =, 5y então o cos( / ) = 0,75 = 8,8 =,45rad. 4. Duas ondas progressivas idênticas, ovendo-se no eso sentido, estão fora de fase por / rad. Qual a aplitude da onda resultante e teros da aplitude y cou às duas ondas sendo cobinadas? cuja aplitude é A onda resultante é descrita por: y = y sen( kx t) + ysen( kx t + / ) = y cos( / 4) sen( kx t + / 4)

8 y = y cos( / 4) =, 4y Ondas estacionárias e ressonância Quando ua corda presa pelas extreidades é posta para vibrar e certa frequência as ondas se propaga nos dois sentidos forando u padrão de interferência, coo já foi analisado anteriorente. Para alguas frequências específicas a corda entra e ressonância, e acontece as ondas estacionárias. Na figura teos ua onda estacionária co três nós interediários. O nó é u ponto onde a corda não se ovienta. Obviaente, as extreidades são dois nós. É u padrão de oscilação onde a onda estacionária te eio copriento de onda. Nu segundo padrão de oscilação teos u nó interediário e desse odo: É u padrão de oscilação onde a onda estacionária te u copriento de onda. Nu terceiro padrão de oscilação teos dois nós interediário e desse odo: É u padrão de oscilação onde a onda estacionária te três eios coprientos de onda. Podeos generalizar dizendo que a condição para existir u padrão de oscilação para ua onda estacionária é que: Já ostraos anteriorente que: L L= n n = n v v = vt = f = f Mas para ua corda presa pelas extreidades, apenas alguas frequências específicas pode desenvolver ua onda estacionária, portanto: f = v f vn n n = = L L L n Essas frequências específicas são chaadas frequências de ressonância, e coo se pode notar elas são últiplas de ua certa frequência ais baixa (n=). Chaa-se a frequência ais baixa (n=) de fundaental ou prieiro harônico. O segundo harônico corresponde a (n=). Chaa-se série harônica o conjunto

9 dos possíveis odos de oscilação, enquanto n é chaado de núero harônico. 5. Ua corda de violão de nylon possui ua assa específica de 7, g/ e está sujeita a ua tração de 50 N. os apoios fixos estão separados de 90 c e a corda esta vibrando no padrão de onda estacionário ostrado na figura abaixo. Calcule (a) a velocidade, (b) o copriento de onda e (c) a frequência das ondas progressivas cuja superposição fornece esta onda estacionária. Dados: μ= 7, g/ τ=50 N L=90c=0,9 (a) = L / 3 = 0, 6 (b) (c) v = =44 / s f = v = 40, 6Hz 6. Ua corda fixada nas duas estreidades te 8,40 de copriento e ua assa de 0,0 kg. Esta está sujeita a ua tração de 96,0 N e é posta para vibrar. (a) qual a velocidade das ondas na corda? (b) qual o aior copriento de onda possível para ua onda estacionária? (c) forneá a freuencia dessa onda. Dados : L= 8,40 ; =0, kg e τ= 96,0 N. (a) 96 v = = = 8 / s (0, 8,4) (b) Maior copriento de onda possível é o fundaental = L =6, 8 (c) f = v = 4, 88Hz 7. ua corda de 5 c de copriento possui ua assa de,00 g. Ela é esticada co ua tração de 7,00 N entre os apoios fixos. (a) Qual a velocidade de onda para esta corda? (b) qual a frequência de ressonância ais baixa desta corda? Dados L=5c=,5; =,00g=0,00kg e τ=7,00n. (a) (b) 7 v = = = 66, / s (0,00,5) v 66, f = = = 6, 46Hz L,5 8. U padrão de onda estacionária e ua corda é descrito por Onde x e y estão e etros e t e segundos. Deterine: (a) a localização de todos os nós para 0 x 40 ( ) = 0,040sen 5p x y x,t ; (b) qual o período do oviento oscilatório de qualquer ponto (exceto os nós que não se ovienta) sobre a corda? Qual: (c) a velocidade e (d) a aplitude das duas ondas progressivas que sofre interferência para produzire esta onda? (e) E que instantes para terão velocidade transversal nula? Onda estacionária: y = 0,04sen(5 x)cos(40t ) ( )cos 40pt ( ) 0 t 0,050s todos os pontos

10 n (a) posição dos nós 5 x = n x = = 0; 0,; 0,4. 5 (b) (c) (d) = / T T = / 40 = 0, 05s v = = 8 / s K y = y = 0,04 y = 0, 0 y (e) u y = = ( 40 ) 0,04sen(5x ) sen(40t ), a velocidade será nula quando.. t n 40 t = n t = t = 0s; 0,05s; 0, 05s Duas ondas senodais co coprientos de onda e eaplitudes idênticos se propaga e sentidos opostos ao longo de ua corda co velocidade de 0 c/s. Se o intervalo de tepo entre os instantes e que a corda está se curvatura for de 0,50 s, qual o copriento de onda das ondas? Dados v =0 c/s ; T= 0,50s=s e se curvatura v y = 0. f = = Hz e v = f = 0c T

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