Gabarito - Lista de Exercícios 2

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1 Gabarito - Lista de Exercícios Teoria das Filas Modelos Adicionais. U escritório te 3 datilógrafas e cada ua pode datilografar e édia, 6 cartas por hora. As cartas chega para sere datilografadas co taxa édia de 5 por hora. a) Qual é o núero édio de cartas esperando para sere datilografadas? b) Quanto tepo e édia ua carta deora para ficar pronta? c) Qual a probabilidade de que ua carta deore ais de 0 inutos para ficar pronta? d) Se cada datilografa recebe-se de aneira independente (fila individual) 5 cartas por hora, e édia, para datilografar. O tepo édio que ua carta deoraria para ficar pronta seria aior ou enor que no caso co fila única? Teos as seguintes inforações: O núero de servidores no sistea é de: 3 servidores (núero de datilógrafas) As cartas chega co taxa édia de: 5 cartas/hora A taxa de atendiento é de: 6cartas/hora a) L q? L Sabe-se que nosso sistea é MMS co =3 servidores! q 0 0 n0 n ( ) ( ) n!! ( ) 0 0, ,5,5,5, 5 8,5 3,5 5, 65, 5 0!!! 3! (8 5) 3 (5)(6)(, 5) 63,4065 q L 0, , 507 cartas (!)(3 ) 8 b) O que quereos calcular é o tepo desde que chega ua carta até que é datilografada ou seja o tepo de espera no sistea: W? W ( )!( ) 0

2 6,5 W (0, 0449) 0,666 0, , 4005horas (aprox. 4 inutos) 6!(3) c) Sabeos que: 0 inutos = /3 hora ede-se então calcular: ( W t)? ou seja ( W 0,333)? t ( ) t 0( ) e ( W t) e!( ) 0, 70565, 788 0, ,35335, ,5 ( W t) 0, 4668 d) Analisando, No caso de que o sistea tenha ua fila única, tereos que: tereos que W 0, 4 horas (ver ite (b)) Já no caso de ter cada servidor sua própria fila, coo ostrado a seguir: Teos que: 5cartas/hora e 6cartas/hora Assi, o tepo édio de ua carta no sistea será de: W hora 6 ortanto, podeos concluir que o tepo édio de ua carta no sistea co filas independentes será aior que o sistea onde se te ua fila única.. Deseja-se deterinar o núero ótio de caixas e ua agência bancária. O tepo que cada cliente perde dentro da agência está estiado e R$5/hora e o custo de funcionaento de ua caixa é de R$4/hora. Se os clientes chega a taxa édia de 40 clientes/hora e cada caixa pode atender, e édia, 30 clientes/hora, qual é o núero ínio de caixas que produz o enor custo de operação? Dica. Ao increentar o núero de caixas, o custo de operação diinui até atingir u ínio e logo volta a crescer. Tepo que o cliente perde na agencia R$5,00/hora Custo de funcionaento de u caixa R$4,00/hora Taxa de chegada: =40 clientes/hora

3 Taxa de atendiento por caixa: =30 clientes/hora Qual é o núero ínio de caixas, que produz o enor custo de operação? ara =: 40 / 30,333, dado que > a fila tende ao infinito L O sistea é incapaz de atender á deanda (os pedidos) O custo de peranência se torna infinito R$5,00L ara >: ( ) recisaos calcular L 0 ( )! ( ) onde 0 n ( ) ( ) n!! n0 Logo, para =, teos: 0 0, 0 (,33) (,33) (, 33) 60,33,66 0!!! 0 00(,33) L,33 (0,) =,4 0 Logo, para = 3, teos: 0 0, (,33) (,33) (,33) (,33) 90 3, 0, 7 0!!! 3! 50 00(,33) L,33 (0,54) =,47794! (500) Logo, para = 4, teos: 0 0, (,33) (,33) (, 33) (,33) (,33) 0 3, 0,395 0,9753 0!!! 3! 4! (, 33) L, 33 (0,636)=,359 3! (6400) Calculaos os custos de operação para diferentes núeros de servidores: Custo de peranência Custo de Atendiento por (R$5,00 por hora) caixa (R$4,00 por hora) Custo Total = (5)(,4)= (4)()=8 0 =3 (5)(,47754)=7,3857 (4)(3)=9,3837 =4 (5)(,359)=6,756 (4)(4)=6,756 3

4 A curva de custo total chega a u custo ínio quando =3. 3. Ua barbearia co barbeiro te 6 cadeiras para acoodar fregueses esperando atendiento. Os fregueses que chega quando as 6 cadeiras estão cheias, vão ebora se esperar. Os fregueses chega co taxa édia de 3/hr e fica e édia 5 inutos na cadeira do barbeiro. a) Qual a probabilidade de u freguês chegar e ir direto para a cadeira do barbeiro? b) Qual o núero édio de fregueses esperando atendiento? c) Qual a taxa de chegada efetiva? d) Quanto tepo e édia, u freguês fica na barbearia? e) Que percentual dos fregueses vai ebora se esperar atendiento? Neste caso, teos u sistea co capacidade liitada. Teos barbeiro e 6 pessoas esperando na fila, por tanto a capacidade do sistea é K=7. A taxa de chegada de clientes é: 3 clientes/hora O tepo édio de atendiento é: E( S) 5 inutos = hora 4 E conseqüência, a taxa de serviço é: 4 clientes/hora a) Equivale a probabilidade do sistea estar vazio, 0 : Calculaos: 3 0,75 4 Coo, teos: (0, 75) 0, 5 0 = 0, 778 7, 78% K 8 (0, 75) 0, b) recisaos calcular L q, sabeos que: Lq L ( 0) Calculaos prieiro L, coo, teos: K K L K 8 8 (0, 75) (0, 75) (0,80090) L 3 8 (0, 5) (0, 75) (0, ) L 3 0,89,09 Logo, teos: L,09 ( 0, 778), 3868 clientes c) Qual é a taxa de chegada efetiva? Sabeos que a taxa de chegada efetiva é: q ( ) k Logo, precisaos calcular k : 7 k k 0 (0, 75) (0, 778) 0, Finalente, teos: 3 ( 0, 03708),88875 clientes/hora d) Quanto tepo e édia u cliente fica na barbearia? 4

5 Calculaos W, sabeos que: L,09 W 0, horas 43,8 inutos,88875 e) Que percentual dos fregueses vai ebora se esperar atendiento? O percentual de fregueses atendidos é:, , , 9% 3 O percentual de fregueses que vai ebora é: 0, 969 0, , 7% 4.- U ecânico atende 4 áquinas. ara cada áquina o tepo édio entre os requerientos de atendiento é de 0 horas, co distribuição exponencial. O tepo de reparação segue a esa distribuição co tepo édio de /horas. Quando ua áquina pára, o custo do tepo perdido é de R$0/hora. O custo de u ecânico é de R$ 50/dia. a) Qual é o núero esperado de áquinas operação? b) Qual é o custo esperado de atraso por dia? c) Valeria a pena ter ecânicos, cada u deles atendendo duas áquinas? Taxa de chegada: =0,0 clientes/hora Taxa de atendiento por caixa: =0,5 clientes/hora a) Nuero de aquinas e funcionaento = 4-L Sendo L o núero esperado de áquinas no sistea 0,5 L N ( 0) 4 ( 0) 0, recisaos calcular 0 : N N! n (0, ) 4 (0, ) 4 3 (0, ) 4 3 (0, ) 4 3 (0, ) n0 ( N n)! 0,3983 0,4, Substituindo na equação de L, teos: 0,5 L 4 ( 0, 4) 0, 995, 00 0, Assi, o núero de áquinas e funcionaento = 4 - L = 3 áquinas b) Custo esperado das áquinas quebradas por dia? Núeros de horas por dia = 8 Núero de áquinas quebradas =L= Custo de ua áquina quebrada = R$ 0,00/hora Custo esperado de aquinas quebradas = (8 hrs/dia) (0 R$/hora) (0,995) = R$ 58,64 5

6 Custo Total = Custo de Atendiento + Custo de espera = R$50,00 +R$ 58,64=R$08,64 c) Copare o custo anterior co o custo correspondente a dois ecânicos para atender de aneira independente a áquinas. ara cada ecânico N= Calculaos: L N ( 0) Calculaos 0 : 0 0, 6756 N 0 N! n (0, ) (0, ) (0, ) 0, 4 0, 08, 48 ( N n)! n0 Substituindo teos: L 5 ( 0, 6756) 0, 378 0, 4 Custo Esperado / Mecânico = (8 hrs/dia) (0 R$/hora) (0,378)=R$60,48/dia Custo Total = Custo de Atendiento + Custo de espera = (50) + (60,48) = 0,96 (R$/dia) O custo ais baixo foi atingido por o odelo co ecânico atendendo as 4 áquinas, CT = R$08,64 enquanto que o odelo co ecânicos cada u atendendo áquinas te custo aior CT = R$0,96 6