ANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES

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1 VII- &$3Ì78/ 9,, ANÁLISE DO LUGAR DAS RAÍZES 7.- INTRODUÇÃO O étodo de localização e análise do lugar das raízes é ua fora de se representar graficaente os pólos da função de transferência de u sistea e alha-fechada e as suas várias localizações, e função da variação de algu parâetro presente na função de transferência. Confore foi visto no capítulo anterior, a resposta transitória de u sistea e alhafechada, é função do valor dos pólos (raízes) da equação característica do sistea. Por exeplo: Raízes Coplexas: sistea é subaortecido; Raízes Reais e iguais: sistea criticaente aortecido; Raízes Reais e diferentes: sistea é Superaortecido. A localização das raízes, isto é, os seus valores, define ainda alguas especificações do sistea coo por exeplo, overshoot, tepo de pico, tepo de acoodação, etc. Co isto, o uso do étodo do lugar das raízes perite que se defina os valores dos parâetros da função de transferência através da localização das raízes que satisfaça as especificações do sistea. Co o uso deste étodo, pode-se prever os efeitos sobre a localização dos pólos de alhafechada, quando houver variação do valor do ganho de alha-aberta ou for acrescidos pólos e/ou zeros na função de transferência de alha-aberta. No capítulo seguinte, será usado o étodo da resposta e freqüência para analisar sisteas. O procediento da resposta e freqüência fornece inforações a respeito dos sisteas diferentes das oferecidas pelo étodo do lugar das raízes. Será visto que estes dois étodos se copleenta e e uitos casos de projetos práticos abos os étodos são aplicados. 7.- MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES O étodo do lugar das raízes, possibilita deterinar os pólos da função de transferência e alha-fechada a partir dos pólos e zeros da função de transferência de alha-aberta, considerando o ganho de alha-aberta coo parâetro. No que diz respeito o projeto de sisteas de controle, o étodo do lugar das raízes indica a aneira pela a qual os pólos e zeros e alha-aberta deve ser odificados de odo que a resposta satisfaça as especificações de desepenho do sistea PRINCÍPIOS BÁSICOS DO MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES Seja o sistea e alha fechada, ostrada abaixo:

2 VII- ()( s JS + BS) = T() s θ 0 () s =. () JS + BS Ts θ 0 T(s) = A. E( s) θ 0 () s Es () A = J SS B J ( + ) = Gs () 3 O diagraa de blocos, então pode ser expresso da seguinte fora: Cs () Rs () = + Gs () Gs (). Hs () Onde: K Gs () = S(S + ) H(s) = θ 0 (s) = C(s), θ i (s) = R(s) K = A/J = B/J Cs () K Rs () = S + S+ K 4 Ec() s S + S + K = 0 5 Ec(s) equação característica. Supondo que ua das especificações deste sistea, seja u overshoot áxio de 4,5%, isto é, ζ = 0,707. A equação característica padrão para u sistea de a orde é: S + ζωns+ ω n = 0 6 Igualando 5 co 6 e sabendo que ζ = 0,707, resulta que ωn =,44 e K =. Desta fora, a definição do ganho de alha-aberta satisfez integralente a única especificação solicitada. Poré, se outras especificações são solicitadas, coo por exeplo, tepo de pico, tepo de subida, tepo de acoodação, a definição do único parâetro de projeto, isto é, o ganho K não consegue satisfazer integralente todas as especificações. Co isto, este ganho deve ser escolhido de aneiras a satisfazer e parte todas as especificações de projeto, se possível. É nesta hora que o étodo do lugar das raízes é útil, para investigar o efeito produzido na resposta do sistea pela escolha de diferentes valores para o ganho K. Seja portanto, S e S as raízes da equação característica ostrada e 5. S, = ± K S, = ± j K 7 Para que este sistea seja estável é necessário que o ganho K seja aior do que zero. Seja Sa e Sb as raízes da equação característica ostrada e 6.

3 VII-3 Sab, = ζωn± jωn ζ ωd 8 S ab = n80 0 ± = n80 0 ±, ω θ ω cos ζ 9 Para traçaros no plano S as raízes S, S, ostradas e 7, é necessário que se conheça o valor de K. Poré coo este é o nosso parâetro de projeto, podeos traçar as raízes S e S para todos os valores de K entre 0 e e após, definir qual o valor de K que elhor atende as especificações. Seja os valores de K : K S S 0-0+ j0 - - j0 0, j0 -,707-j0,0 -,0 + j0 -,0-j0,0 -,0 + j,0 -,0 - j,0 3,0 -,0 + j,44 -,0 - j,44 As linhas grossa definidas no plano S, ostrado acia, é o lugar das raízes para o sistea de a orde, e questão. Para K >, as raízes são coplexas e a constante de tepo do sistea passa a ser constante Τ =. Por outro lado o auento do valor de K, diinuí o valor de ζ e ζωn portanto auenta o overshoot; causa tabé u auento de ωn e ωd diinuindo o tepo de pico e o tepo de subida. Para o problea e questão, o valor de K que elhor atende as especificações de projeto é K =. Neste caso, o valor de K, obtido experientalente é o eso que o obtido pela coparação das equações características do sistea (5) e a padrão (6). Entretanto, a edida que a orde do sistea auenta, isto é, auenta o núero de pólos e zeros do sistea, a dificuldade da obtenção das especificações se fora extreaente coplexa e o étodo do lugar das raízes torna-se be ais atraente DEFINIÇÃO GERAL DO LUGAR DAS RAÍZES Seja o sistea genérico ostrado abaixo: Cs () Rs () KGs. ( ) = 0 + KG. ( s). Hs ( ) A equação característica da função de transferência ostrada e 0 é: + K.G(s).H(s) = 0 K. Gs ( ). Hs ( ) = K = Gs (). Hs ()

4 VII-4 Onde: G(s).H(s) Razão de Polinôios e S. Seja u ponto qualquer S definido no plano coplexo. O valor S = -S deverá pertencer ao lugar da raízes, se e soente se a expressão é satisfeita. KG. ( s). H( s) = ] ] ] K( S + )( S + )...( S + ) N S ( S + P )( S + P )...( S + P ) w M 3 Coo, geralente a expressão 3 é ua quantidade coplexa, a expressão, pode ser separada e duas equações a fi de igualare-se os ângulos e ódulos de abos os lados da equação. KG(s).H(s) = - - CONDIÇÃO DE MÓDULO: K. G( s). H( s) = 4 - CONDIÇÃO DE ÂNGULO: G(). s H() s=± 80( N + ) 5 Os valores de S que satisfaze as condições de ódulo e de ângulo são as raízes da equação característica ou os pólos da função de transferência do sistea e alha-fechada. Coo a condição de ódulo pode ser satisfeita para ua dada cobinação de valores de S e K, a esa não pode ser considerada isoladaente para a definição dos valores possíveis para a variável S que estão no lugar das raízes. Já a condição de ângulo pode ser considerada isoladaente pois não depende do parâetro K. Ex: Seja a seguinte função de transferência de alha aberta: KG. ( s). H( s) = K( S + Z ) ( S + P )( S + P ) 6 Deseja-se saber se o ponto S = S faz parte do lugar das raízes deste sistea. o β θ θ = ± 80 ( N + ) 7 Se a expressão 7 for satisfeita significa que o ponto S pertence ao lugar das raízes. A localização de todos os pontos que satisfaze 7 fora o lugar das raízes para este sistea.

5 VII-5 Ua vez que para o ponto S a equação 7 foi satisfeita deve-se então, substituir-se S por S na expressão 4 para que se defina qual o valor do ganho de alha aberta (K) que fornece este ponto. KGs. ( ). Hs ( ) = 8 Através do que foi ostrado, concluí-se então que a condição para que u ponto no plano S seja lugar das raízes é que: Σ(todos ângulos desde os Zeros finitos) Σ(todos ângulos desde os pólos finitos = ± 80 o (N+) 7.3- REGRAS GERAIS PARA CONSTRUÇÃO DOS LUGARES Seja o sistea ostrado abaixo: 9 ) Obtenha a equação característica: + G(s).H(s) = 0, e coloque-a na seguinte fora: KB( S + Z).( S + Z )...( S + Z ) + = 0 ( S + P )( S + P )...( S + P ) ou n 0 ( S + P)( S + P )...( S + Pn ) + KB( S + Z).( S + Z )...( S + Z ) = 0 ) Localize no plano S os pólos e zeros da equação característica; 3) Se K = 0 ( S+ P )( S+ P )...( S+ P n ) = 0 Se K = ( S + Z )( S + Z )...( S + Z ) = 0 3 Coo K auenta de zero até, significa que o lugar das raízes coeça nos pólos e terina nos zeros, isto é, os pólos são pontos de partida e os zeros são pontos de chegada do lugar das raízes. Observação: - Isto inclui os zeros no infinito; - O núero de pólos enos o núero de zeros fornece o núero de zeros no infinito. 4) Deterine os lugares das raízes que estão sobre o eixo real. Obs : Os pólos e zeros coplexos de G(s).H(s) não afeta a localização dos lugares das raízes sobre o eixo real.

6 VII-6 Obs : Se o núero de pólos e zeros reais à direita do ponto de teste for ípar, então este ponto de teste pertence ao lugar das raízes. 5) Deterine o ângulo das assíntotas dos lugares das raízes. Vios que o núero de pólos enos o núero de zeros, fornece o núero de zeros no infinito. As assíntotas são a direção que o lugar das raízes assue para chegar até os zeros que estão na infinito. Se a equação característica não se encontra na fora fatorada (eq.(0)) então ela pode ser expressa na fora de ua razão de polinôios, coo ostrado a seguir. KB ( S + B S +...) + Gs (). Hs () = + n n S + a S... n Onde: Co isto: Portanto: n e n - = α, α n o de zeros no infinito. KB S KB = α α > 0 3 S S OLP. Gs ( ). Hs ( ) OLP n = OLP, S S S OLP. { Gs ( ). Hs ( ) } S OLP KB S = α 4 + = S S α + KB = 0 S α = KB = KB ± 80( K+ ) 5 A expressão 5, diz que a soatória dos ângulos dos zeros no infinito (α), te que ser igual a± 80( K + ). Portanto o ângulo de cada zero no infinito, é dado por: α Ângulos β 0-80 o ± 90 o 3 ± 60 o, 80 o 4 ± 45 o, ± 35 o β = ± 80( K + ) 6 α 6) Deterine a interseção das assíntotas co o eixo real. Isto é dado por: τ A Soa dos pólos Soa dos zeros = α 7 7) Deterine os pontos de separação de partida e chegada e relação ao eixo real. Seja a expressão, expressa da seguinte fora:

7 VII-7 + Gs ( ). Hs ( ) = Bs ( ) + KAs. ( ) = 0 8 Os pontos de separação de partida e chegada serão as raízes de: dk ds db() s ds As da() s. ( ). Bs ( ) = ds = 0 9 A () s 8) Deterine os ângulos de partida dos lugares das raízes de u pólo coplexo. p = 80 o - Σ entre os outros pólos e este pólo + Σ entre os zeros e este pólo O ângulo de partida para o pólo coplexo S é: p = 80 - θ - θ - θ 3 + β 9) Deterine os ângulos de chegada dos lugares das raízes de u zero coplexo. 0) Deterine os pontos onde os lugares das raízes cruza o eixo iaginário. Isto pode ser feito de duas aneiras: - Substituindo-se na equação característica S por jω e calculando-se o valor de ω e K ; - Através do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.