Sistemas de Controle 2

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1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 2 Cap.8 - Técnicas do Lugar das Raízes Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

2 Sistemas de Controle 2 Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro Cap.8 - Técnicas do Lugar das Raízes 8. Técnicas do Lugar das Raízes 8.1 Introdução 8.2 Definindo o Lugar das Raízes 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes 8.5 Refinando o Esboço 8.6 Um Exemplo 8.7 Projeto de Resposta Transitória Através do Ajuste de Ganho 8.8 Lugar das Raízes Generalizado 8.9 Lugar das Raízes para Sistemas com Retroação Positiva 8.10 Sensibilidade dos Pólos Bibliografia principal: Engenharia de Sistemas de Controle Norman S. Nise

3 Objetivos do capítulo A definição de lugar das raízes Como esboçar um lugar das raízes Como refinar o esboço de um lugar das raízes Como usar o lugar das raízes para encontrar os pólos de um sistema a malha fechada Como usar o lugar das raízes para descrever de forma quantitativa as alterações na resposta transitória e a estabilidade de um sistema quando um parâmetro é variado Como usar o lugar das raízes para projetar um valor de parâmetro de modo a atender uma especificação de resposta transitória em sistemas de segunda ordem e de ordem superior

4 8.1) Introdução O Lugar das raízes Apresentação gráfica dos pólos em malha fechada em função da variação de um parâmetro do sistema. Objetivos: Controlar a estabilidade e a resposta transitória Escopo de resolução de problemas: Capacidade de solucionar problemas com ordem maior do que dois.

5 8.1) Introdução O Problema dos Sistemas de Controle Cálculo dos pólos de sistemas em malha aberta Inspeção do denominador polinômio Pólos não se alteram com a mudança do ganho no sistema Cálculo dos pólos de sistemas em malha fechada Geralmente, exige a fatoração do polinômio Mudanças no ganho (K) produzem mudanças nos pólos Função de transferência em malha fechada T s = KG(s) [1 + KG s H(s)]

6 8.1) Introdução O Problema dos Sistemas de Controle Cálculo dos pólos de sistemas em malha fechada Função de transferência em malha fechada T s = KG(s) [1 + KG s H(s)] Considere: (termos do numerado e denominador) Logo: T s = K N G(s) D G (s) [1 + K N = G(s) N H (s) D G (s) D H (s) ] K N G(s) D G (s) [ D G(s)D H (s) + KN G (s)n H (s) ] D G (s)d H (s)

7 8.1) Introdução O Problema dos Sistemas de Controle Cálculo dos pólos de sistemas em malha fechada Analisando: Zeros de G(s) Pólos de H(s) Zeros de T(s) Pólos de T(s) mudam com K Não se conhece os pólos sem fatorar o denominador

8 8.1) Introdução Exemplo: G s = (s + 1) [s(s + 2)] H s = (s + 3) (s + 4) Cálculo dos pólos e zeros do sistema em malha ABERTA Cálculo dos pólos e zeros do sistema em malha FECHADA KG s H(s) = Zeros = -1 e -3 K(s + 1)(s + 3) s(s + 2)(s + 4) Pólos = 0, -2 e -4 T s = K(s + 1)(s + 4) [s K s K s + 3K] O K não afeta os zeros e os pólos

9 8.1) Introdução Exemplo: Cálculo dos pólos e zeros do sistema em malha FECHADA Zeros de G(s) G s = (s + 1) [s(s + 2)] H s = (s + 3) (s + 4) Pólos de H(s) T s = K(s + 1)(s + 4) [s K s K s + 3K] - Pólos de T(s) não são conhecidos sem fatorar o denominador - É preciso definir um ganho K específico para calcular os pólos O Lugar das raízes mostra os valores dos pólos de T(s) para diversos valores do ganho K

10 8.1) Introdução Representação Vetorial de Números Complexos (coordenadas cartesianas) Número complexo em coordenadas polares:

11 8.1) Introdução Representação Vetorial de Números Complexos Quando um número complexo é substituído em uma função complexa, é gerado um novo número complexo: Zero em a Deslocando o vetor de a unidades para esquerda: Representação alternativa do mesmo número complexo. Origem no zero de F(s), término em s = σ + jω

12 8.1) Introdução Representação Vetorial de Números Complexos Exemplo: Notação do vetor: - Número complexo - Início no zero da função = -7 - Término em s=5+j2

13 8.1) Introdução Aplicando esses conceitos de números complexos em uma função complexa do tipo: Cada fator pode ser visto como um vetor. Cada vetor possui uma magnitude. Calcula-se então a magnitude M de F(s) como: Calcula-se o argumento θ de F(s) como:

14 8.1) Introdução

15 8.1) Introdução Vetor com início no zero = -1 Vetor com início no pólo = 0 Vetor com início no pólo = -2

16 8.1) Introdução Substituindo em: Obtem-se:

17 8.1) Introdução

18 8.1) Introdução a) Solução

19 8.1) Introdução b) Solução

20 8.2 Definindo o Lugar das Raízes Considere o seguinte sistema: - Sistema de câmera de vídeo que acompanha um objeto automaticamente. - Sensor duplo e um transmissor. - Sensor duplo em cima da câmera e transmissor no objeto. Sentido da câmera Sensor 1 D1 Objeto D1 D2 Transmissor D2 Sensor 2 D1>D2 D1-D2 = Erro 0 Câmera desalinhada D1=D2 D1-D2 = Erro=0 Câmera alinhada A técnica do lugar das raízes pode ser usada para analisar e projetar o efeito do ganho de malha sobre a resposta transitória e a estabilidade do sistema. O Lugar das raízes mostra os valores dos pólos de T(s) para diversos valores do ganho K

21 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes - Mudanças no ganho K1 provocam mudanças na velocidade de resposta da câmera. - Contudo, mudanças no ganho também mudam os pólos do sistema, o que altera a resposta transitória, podendo também torna-lo instável. Cálculando os pólos para diversos valores de ganho

22 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes Posição dos pólos para cada valor de ganho K

23 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes Movimentação dos pólos Ganho K de 0 a 50 * Estudo apenas para valores positivos de K Ponto de encontro = -5 Lugar das raízes * Não é possível saber qual pólo sobe e qual pólo desce

24 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes Analisando o lugar das raízes para esse sistema Para ganho K<25 - Os pólos são reais: Sistema superamortecido Para ganho K=25 - Pólos reais e múltiplos: Sistema criticamente amortecido. Para ganho K>25 - Pólos complexos: Sistema subamortecido

25 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes Analisando o lugar das raízes para esse sistema Para ganho K>25 - Pólos complexos: Sistema subamortecido - Valor real dos pólos é sempre igual: tempo de assentamento sempre o mesmo - Aumentando o ganho: o Relação de amortecimento diminui. o Ultrapassagem percentual aumenta. o Frequência de oscilação amortecida aumenta. o Redução do instante de pico. Para qualquer valor de ganho - Sistema sempre estável - Resposta também nunca será senoidal Essa análise é possível de ser feita também para sistemas com mais de 2 pólos através da técnica do lugar das raízes.

26 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes Função de transferência em malha fechada Existe um pólo quando o denominador se anula, ou seja: ou ou (Forma polar de -1) e (múltiplo impar de 180 )

27 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes Exemplo 1: Qualquer ganho e pólo da tabela que for substituído na função de transferência teremos: K=5 e s=-9.47 K=5 e s=-0.53 K=10 e s=-8.87

28 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes Exemplo 2: Função de transferência em malha aberta Função de transferência em malha fechada Para que um ponto s com algum K seja um pólo, ele deve satisfazer: e

29 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes Exemplo 2: Considerando o ponto: -2+j3 θ 1 (s+4) (-2 +j3 +4) = (2+j3) = 3.6<56.31 θ 2 (s+3) (-2 +j3 +3) = (1+j3) = 3.16<71.57 θ 3 (s+2) (-2 +j3 +2) = (0+j3) = 3<90 θ 4 (s+1) (-2 +j3 +1) = (-1+j3) = 3.16< O ponto -2+j3 não é um ponto sobre o lugar das raízes (não é um pólo para o sistema com a malha fechada)

30 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes Exemplo 3: Considerando o ponto: 2 + j 2 2 θ 1 (s+4) ( 2 + j 2 +4) = 2.12< θ 2 j 2 (s+3) ( ) = 1.22<35.26 θ 3 (s+2) ( 2 + j 2 2 θ 4 (s+1) ( 2 + j 2 2 = 2 +2) = 0.7<90 +1) = 1.22< = -180 Esse ponto é um pólo do sistema para algum valor de K

31 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes Exemplo 3: Considerando o ponto: 2 + j 2 2 Calculando o valor do ganho K: (s+4) ( 2 + j 2 2 (s+3) ( 2 + j 2 2 (s+1) ( 2 + j ) = 2.12< ) = 1.22<35.26 (s+2) ( 2 + j ) = 0.7<90 = +1) = 1.22< x x 1.22 Esse ponto é um pólo quando o K=0.33

32 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes

33 Imaginary Axis (seconds -1 ) 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes a) solução Pole-Zero Map Real Axis (seconds -1 )

34 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes a) solução Desenhando pólos e zeros e traçando vetores

35 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes a) solução

36 8.3 Propriedades do Lugar das Raízes

37 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes É possível encontrar o lugar das raízes fazendo uma varredura no plano s para localizar os pontos para os quais os ângulos somam um múltiplo ímpar de 180. (tarefa para um computador) É possível esboçar o local das raízes sem precisar de esforço computacional. Em seguida é possível plotar exatamente o local das raízes.

38 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Regras para esboçar o lugar das raízes 1. Número de ramos Exemplo: 2 pólos 2 ramos

39 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Regras para esboçar o lugar das raízes 2. Simetria Pois sistemas reais não podem ter coeficientes complexos Coeficientes reais Eixo Real

40 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Regras para esboçar o lugar das raízes 3. Segmentos sobre o eixo real

41 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Regras para esboçar o lugar das raízes 4. Pontos de entrada e saída O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos da função em malha aberta e termina nos zeros finitos e infinitos da função também em malha aberta.

42 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Regras para esboçar o lugar das raízes 5. Comportamento no infinito * O número de pólos é sempre igual ao número de zeros

43 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Regras para esboçar o lugar das raízes 5. Comportamento no infinito Exemplo: - Três pólos finitos em s=0, -1 e Não há zeros finitos - Três zeros no infinito S tendendo ao infinito Zeros no infinito

44 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes

45 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Calculando o ponto de encontro das assíntotas: = Ponto de intersecção sobre o eixo real

46 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Cálculo dos ângulos das retas que se cruzam em : π 3 = 60 K=0 θ a = π 4 1 = π 3

47 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Cálculo dos ângulos das retas que se cruzam em : π K=1 θ a = π 4 1 = 3 π 3 = π

48 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Cálculo dos ângulos das retas que se cruzam em : K=2 θ a = π 4 1 = 5π 3 5π 3 = 300

49 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Cálculo dos ângulos das retas que se cruzam em : Se k continuar a aumentar os ângulos se repetem

50 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Zero no infinto Zero no infinto 4 pólos finitos 1 zero finito 3 zeros no infinito Zero no infinto

51 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes Fórmulas:

52 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes

53 8.4 Esboçando o Lugar das Raízes x x x