Método do Lugar das Raízes

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1 Método do Lugar das Raízes Conceito de Lugar das Raízes; O Procedimento do Lugar das Raízes; Projeto de Parâmetros pelo Método do Lugar das Raízes; Sensibilidade e Lugar das Raízes; Controlador de Três Termos (PID); Exemplo de Projeto; Lugar das Raízes usando MATLAB.

2 Projeto de Parâmetros pelo Lugar das Raízes Fundamentalmente o Lugar da Raízes trata da EC, escrita como Questão: Como investigar o efeito de dois parâmetros α e β? + F( s) = 0 O método de projeto de parâmetros pode usar o lugar das raízes para selecionar os valores dos parâmetros. A EC de sistema dinâmico pode ser escrita agora como: n n ans + an s + L+ as + a0 = 0 Portanto, o efeito do coeficiente a pode ser verificado a partir da equação de Lugar da raízes a s + = 0 n a s + a s + + a s + a n n 2 n L 2 0 Se o parâmetro de interesse α não aparecer sozinho como um coeficiente, é isolado como em a s + a s + L+ ( a α) s + αs + L+ a s + a = 0 n n n q n q n n n q 0 2

3 Exemplo, uma EC de 3a. ordem 3 2 s α s s + (3 + ) = 0 Isola-se o termo e se reescreve a EC na forma de Lugar das raízes, como: α = s s s s 2 αs + = s + 3s + 3s + 6 Exemplo de sistemas de dois parâmetros e β, seja o sistema + + β + α = 3 2 s s s Agora, os parâmetros aparecem como coeficientes da EC. O efeito da variável β de zero a infinito é determinado a partir de lugar das raízes β s + = s + s + α Percebe-se que o denominador é a EC do sistema com β=0. Portanto, calcula-se primeiro o efeito da variação de α de zero a infinito utilizando a equação α + + = 0 + = 0 2 s ( s + ) 3 2 s s α 0 3

4 Tendo calculado o efeito de α, um valor de α é selecionado para calcular o efeito de. Este método de dois passos para calcular o efeito de α e em seguida o de β pode ser realizado como um procedimento de lugar de duas raízes. Lugar das raízes como função de α e de β Limitação desta abordagem é que nem sempre é possível obter uma EC que seja linear no parâmetro em consideração. Um valor adequado de α e β pode ser selecionado com base na localização das raízes. 4

5 Controle de Maçarico de solda Um maçarico de solda para a carroceria de um automóvel requer um sistema de controle preciso para posicioná-lo. O sistema de controle com retroação deve ser projetado para satisfazer as seguintes especificações:. Erro de RP para uma entrada em rampa <35% de inclinação de entrada; 2. Coeficiente de amortecimento das raízes dominantes >0,707; 3. Tempo de assentamento no interior da faixa de 2% do valor final < 3segundos. Onde, o ganho de G(s) e de H (s) devem ser selecionados. A especificação de Erro do estado estacionário será: ss 2 s( R / s ) lim ( ) lim ( ) lim t s 0 s 0 + G2 ( s ) e = e t = se s = 2 + K K = 0,35 K Onde G2(s)=G(s)/(+G(s)H(s)). Assim, ss 2 e R 5

6 Será escolhido um pequeno valor para K 2, para se obter um valor baixo de erro em RP. A especificação de requer que as raízes estejam abaixo da linha de A especificação de T s pode ser escrita em termos da parte real das raízes dominantes 4 4 Ts = 3 segundos σ σ 3 Para satisfazer as especificações, todas as raízes devem ficar dentro da área em azul. Os parâmetros a serem selecionados são =K e β=k K 2. A EC é GH ( s) = s + s + β s + α = 0 O lugar das Raízes a medida que α =K varia (fazendo β=0) é α + = 0 s( s + 2) 6

7 Para um ganho K=α=20. O efeito de variação de β=20k 2 é determinado pela equação 2 β s + = 0 s + 2s + α Lugar da Raízes em função de α Lugar da Raízes em função de β As Raízes para ζ=0,707, quando β=4,3=20k 2 K 2 =0,25 Para a parte real igual a σ=3,5 T s =2%=,27 segundos 7

8 Estendendo para 2 parâmetros: Pode ser gerada uma família de lugares das raízes a fim de se determinar o efeito total da variação de dois parâmetros. Por exemplo: 3 2 s + 3s + 2s + β s + α = 0 A equação do LR como função de α (β=0) é α + = 0 s( s + )( s + 2) A equação do LR como função de β é β s + = s + 3s + 2s + α Esta família de LR é chamada de CONTORNO DAS RAÍZES. 8

9 Sensibilidade e Lugar das Raízes Uma das principais razoes para a utilização de retroação negativa nos sistemas de controle é reduzir o efeito das variações de parâmetros. Este efeito pode ser uma medida de sensibilidade do desempenho do sistema a mudanças de um parâmetro específico. Sensibilidade Logarítmica originalmente sugerida por Bode Onde a FT é T(s) e o parâmetro e interesse é K. S T K d ln T T / T = = d ln K K / K Como as raízes da EC representam os modos dominantes da resposta transitória, o efeito das variações de parâmetros sobre a posição das raízes é uma medida importante e útil da sensibilidade. A sensibilidade de raiz de um sistema T(s) pode ser definida como S r r = = ln K K / K ri i i K 9

10 K Onde r i é igual a i-ésima raiz do sistema de modo que ( s + z j) j= T ( s) = n ( s + r ) A sensibilidade de raiz se relaciona com a sensibilidade logarítmica por meio da expressão n S T K d ln K r d ln K ln K ( s + r ) i = i= Quando os zeros de T(s) são independentes do parâmetros de K de modo que d Para o caso particular, quando o ganho do sistema é independente do parâmetro K, tem-se n T r E as duas medidas de i SK = SK i= ( s + ri ) sensibilidade são diretamente relacionadas A sensibilidade de raiz S ri K pode ser calculada na raiz r i examinando-se contornos da raiz para o parâmetro K. É possível variar K de uma pequena quantidade K, finita e calcular a nova raiz modificada (r i + r i ) em K+ K. Então, z j ln i K = 0 m i= S ri K i ri K / K 0

11 Controladores de Três Termos PID Uma forma de controlador usado amplamente no controle de processos industriais é chamado de controlador de três termos ou controlador PID. Este controlador tem uma FT I Gc ( s) = K K p + + KDs s A equação para saída no domínio do tempo é de( t) u( t) = K pe( t) + KI e( t) dt + KD dt Na realidade a FT do Termos derivativo é G d KDs ( s) = τ s + Onde τ é muito menor que as constantes de tempo do próprio processo e, em conseqüência pode ser desprezada. Se se fizer K D =0, tem-se o controlador Proporcional e Integral (PI) Quando K I =0, resulta G ( s) = K + K s c p D KI Gc ( s) = K p + s d Chamado Controlador Proporcional Derivativo (PD)

12 Para implementar um controlador PID, há a necessidade de serem determinados, para um dado processo: o ganho proporcional, o ganho integral e o ganho derivativo. Considere-se o controlador PID Onde a=k /K 3 e b=k 2 /K 3. 2 K2 K3s + Ks + K2 Gc ( s) = K + + K3s = s s 2 K3( s + as + b) K3( s + z)( s + z2) = = s s Um controlador PID introduz uma FT com um pólo da origem e dois zeros que podem ser posicionados em qualquer lugar do semiplano s da esquerda. Exemplo, sendo os sistema G( s) = ( s + 2)( s + 3) 2

13 Um PID com zeros complexos, z=-3±j. À medida que o ganho K 3, for aumentado, as raízes complexas tendem para os zeros. A FT a malha fechada é G( s) Gc ( s) T ( s) = + G( s) G ( s) = c K3( s + z ˆ )( s + z) ( s + r )( s + r )( s + rˆ ) 2 A seleção do ganho K 3 será em função das especificações de saída do sistema. 3

14 Lugar da Raízes usando MATLAB Obtendo um Gráfico do Lugar da Raízes. Considere um sistema a malha fechada como A EC pode ser escrita como ( s + ) + K = 0 s ( s + 2)( s + 3) Y ( s) K( s + )( s + 3) T ( s) = = R( s) s( s + 2)( s + 3) + K( s + ) Para a aplicação da função rlocus, a forma geral da EC necessária é p( s) + K = 0 Onde K é variado de 0<K< q ( s ) 4

15 Lugar da Raízes para a Equação Característica 5

16 Supondo que se deseje achar o valor de K correspondente a um par de raízes complexas. A função rlocfind pode obter este valor, somente após o uso de rlocus. 6