Exercício. Alexandre Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo

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1 1 Exercício Calcular os polinómios R,S,T de um controlador discreto com acção integral para um sistema do tipo integrador duplo. Faça o período de amostragem igual a 0.5 s. Coloque os polos desejados para o sistema em malha fechada nas localizações z j e z j. Coloque todos os polos de um eventual observador em z 0.

2 2 Resolução É pedido que os polos da FT desejada sejam colocados em: ± Portanto: Esta colocação de pólos discretos corresponde às seguintes especificações contínuas (mostre!): ξ ω A relação entre a frequência dos pólos dominantes e a frequência de amostragem é de: ω ω π Atenção: A frequência de amostragem é apenas de 7x superior à frequência dos pólos (deveria ser entre 10 a 30 x superior). Não poderemos esperar uma boa aproximação entre as respostas discretas e contínuas! Vamos no entanto continuar com o projecto.

3 3 Integrador duplo discreto: ( ) ( ) Fazendo h 0.5, obtemos: ( ) Não devemos cancelar nenhum zero de G(q), uma vez que não são suficientemente amortecidos. Factoriza-se BB B - da seguinte forma:

4 4 Quanto aos zeros, os que não são cancelados, têm que fazer parte dos zeros desejados: ( ) Não se pretendendo impôr mais nenhums zeros à FT desejada, faz-se: β O escalar β é calculado de modo a definir o ganho estático da FT desejada. Por exemplo, se se pretende ganho estático unitário, faz-se: β

5 5 Polinómio observador O polinómio observador tem que satisfazer a condição de grau: λ Portanto: É pedido que todos os polos do observador sejam colocados na origem, logo: Notar que em termos de desempenho, a colocação de todos os pólos do observador na origem poderá não ser a melhor solução!

6 6 Cálculo do controlador Temos que resolver a equação: λ ( ) ( ) Para o numerador, a solução é simples: Para o denominador temos que resolver uma equação Diofantina. Como é pedido que o controlador tenha uma acção integral, faz-se λ 1 e a equação Diofantina vem dada por: ( ) ( )

7 7 Solução da equação Diofantina Com: ( ) 1. Resolver A XB YG, (G escalar), aplicando o algoritmo de Euclides extendido. Obtêm-se soluções particulares deste problema (X, Y), e as soluções do espaço nulo (U,V). 2. As soluções particulares de são R 0 XC div G, S 0 YC div G 3. As soluções gerais são: R 0 QU, S S 0 QV. A solução mínima relativamente a S é obtida fazendo Q -S 0 div V.

8 8 1. Algoritmo de Euclides Multiplicar segunda linha por q 2-4q7 e subtrair na primeira. Trocar linhas. Multiplicar segunda linha por (q1)/8 e subtrair na primeira. Trocar linhas. ( ) ( ) Obtêm-se um zero no canto inferior esquerdo da matriz. Pára-se o algoritmo.

9 9 G -8, X 1, Y, U ( ), V ( ) 2. Soluções particulares R 0 XC div G ( ) ( ) S 0 YC div G ( )( ) ( ) 3. Solução de ordem mínima de S Q -S 0 div V R 0 QU S S 0 QV

10 10 Solução da Equação Diofantina com a polbox (toolbox matlab) % conversão dos polinómios para o formato da polbox % CUIDADO! Os coeficientes dos polinómios são dados por ordem inversa Apppck(fliplr([ ]), 3); Bpppck(fliplr([1 1]), 1); Cpppck(fliplr([ ], 4)); % Resolução da Eq. Diofantina [R1, S] axbyc(ap,bp,cp); Finalização dos cálculos: ( ) ( ) ( )