TRANSFORMADA DE LAPLACE E OPERADORES LINEARES

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1 TRANSFORMADA DE LAPLACE E OPERADORES LINEARES

2 O DOMÍNIO DE LAPLACE Usualmente trabalhamos com situações que variam no tempo (t), ou seja, trabalhamos no domínio do tempo. O domínio de Laplace é um domínio imaginário, onde no lugar de t temos uma variável s. 2

3 O DOMÍNIO DE LAPLACE É possível converter uma função no domínio do tempo para uma função no domínio de Laplace e, da mesma forma, é possível converter uma função no domínio de Laplace para uma função no domínio do tempo. A ferramenta utilizada nessa conversão é a chamada Transformada de Laplace L f t = F s L 1 F s = f t 3

4 O DOMÍNIO DE LAPLACE A grande vantagem do domínio de Laplace é que podemos aplicar a transformada de Laplace em um determinado problema, resolver o problema, muitas vezes de uma maneira mais fácil no domínio de Laplace, e aplicar a transformada inversa no resultado, obtendo assim o resultado no domínio do tempo. 4

5 CONCEITO DE DERIVAÇÃO A velocidade média de um carro é denotada como: Δv = Δx Δt Usualmente, velocímetros de carros não medem velocidade média, e sim velocidade instantânea. Para calcular a velocidade instantânea precisamos considerar Δt 0, ou seja, tão próximo de zero quanto possível. 5

6 CONCEITO DE DERIVAÇÃO Quando medimos velocidade instantânea, utilizamos como notação: v = dx dt O operador d especifica infinitesimais, valores que são tão próximos de zero quanto possível. 6

7 CONCEITO DE DERIVAÇÃO Considere um função qualquer f(t), a derivada dessa função é dada por: f df t t = dt Onde f (t) é chamada derivada de f(t) e retorna a inclinação de f(t) em um instante t qualquer. 7

8 OPERADOR DE DERIVAÇÃO Encontrar a derivada de uma função nem sempre é simples. Para evitar trabalhar com derivadas, podemos trabalhar no domínio de Laplace, onde a derivada de uma função é representada por um operador s aplicado àquela função no domínio de Laplace 8

9 OPERADOR DE DERIVAÇÃO Considere uma função f(t), cuja transformada de Laplace é dada por F(s). A derivada de f(t) é definida no domínio de Laplace como: L f t = sf s Dessa forma podemos fazer contas que envolvam derivadas sem ter que calculá-las de fato. 9

10 CONCEITO DE INTEGRAÇÃO Em um gráfico de velocidade tempo, a área sob a curva do gráfico é a distância percorrida. Na matemática, a área abaixo da curva de um gráfico é dada pela operação de integração: x t = න v τ dτ 0 Onde x(t) é a distância percorrida até o tempo t e v t é a velocidade no tempo t. t 10

11 OPERADOR DE INTEGRAÇÃO A integração é uma operação difícil, nem sempre tem solução exata. É possível, porém, resolver alguns problemas de integração no domínio de Laplace. Realizar a integração, no domínio de Laplace, é equivalente a dividir a função pelo operador s. 11

12 OPERADOR INTEGRAÇÃO Considere uma função f(t) cuja transformada de Laplace é dada por F(s). A transformada de Laplace da integral de f(t) é dada por: F s L න tf τ dτ = 0 s Possibilitando trabalharmos com integrais sem resolvê-las no tempo. 12

13 EQUAÇÕES COM DERIVADAS (EQUAÇÕES DIFERENCIAIS) Podemos ter equações utilizando derivadas, onde o objetivo não é encontrar um valor, e sim uma função que atenda aquela equação, como por exemplo: df t = f t dt 13

14 EQUAÇÕES COM DERIVADAS (EQUAÇÕES DIFERENCIAIS) Nessas equações podemos ter derivadas de ordens mais elevadas: d 2 f t df t dt 2 + = f(t) dt Onde d2 f t dt 2 é a derivada da derivada de f t. 14

15 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM TEORIA DE CONTROLE Cada bloco dos diagramas que desenhamos pode ser definido por uma equação diferencial, por exemplo: du t u t = + e(t) dt Usualmente, aplicados a Transformada de Laplace a essas equações diferenciais, trabalhando com controle no domínio de Laplace. 15

16 TRANSFORMADA DE LAPLACE EM TEORIA DE CONTROLE Aplicando a transformada em: du t u t = + e t dt Onde u(t) é a saída e e(t) é a entrada do sistema. Obtemos U s = su s + E(s) Aplicando os operadores a cada parte da equação. 16

17 CONCEITO DE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Considere o Transformada de Laplace obtida: U s = su s + E(s) Damos o nome de função de transferência à divisão da saída pela entrada no domínio de Laplace: U s E(s) = 1 1 s 17

18 CONCEITO DE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Dessa forma, os operadores que definimos podem ser representados como funções da variável s. Nosso controlador então passa a ser representado por C s e a planta por P s r(t) e(t) u(t) y(t) r(t) C(s) P(s) e(t) 10 s + 2 u(t) s 3s + 1 y(t) 18

19 MANIPULAÇÃO DE BLOCOS E SIMPLIFICAÇÃO DE SISTEMAS 19

20 POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Trabalhamos em controle com funções de transferência racionais, ou seja, elas são representadas pela divisão de dois polinômios em s. Para que o sistema possa ser implementado no mundo real, é necessário que o grau do polinômio do denominador seja maior ou igual ao grau do polinômio do numerador. 20

21 POLOS E ZEROS DE UMA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Os valores de s que zeram o numerador da FT são chamados de zeros. Os valores de s que zeram o denominador da FT são chamados de polos. Esses valores pertencem ao conjunto dos números complexos (s C). 21

22 ESTABILIDADE COM BASE NOS POLOS Se todos os polos do sistema tem parte real negativa, o sistema é assintoticamente estável. Se existem um ou mais polos com parte real nula, mas os demais tem parte real negativa, o sistema é marginalmente estável. Caso ao menos um polo tenha parte real positiva, o sistema é instável. 22

23 SISTEMAS DE 1ª ORDEM Sistemas de 1ª ordem apresentam a seguinte função de transferência: G s = k τs

24 CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE 1ª ORDEM O ganho em estado estacionário é dado por k e representa o ganho que o sistema aplica na entrada. A constante de tempo é dada por τ e representa o tempo necessário para o sistema alcançar aproximadamente 63% do valor final. 24

25 SISTEMAS DE 2ª ORDEM Um sistema de 2ª ordem é definido pela seguinte função de transferência: G s = ω n 2 s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Onde ω n é a frequência natural e ζ é a constante de amortecimento. 25

26 CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE 2ª ORDEM Os sistemas de segunda ordem podem ser classificador em três categorias, dependendo do valor de ζ Superamortecido se ζ > 1 Criticamente amortecido se ζ = 1 Subamortecido se 0 < ζ < 1 26

27 CARACTERÍSTICAS DOS SISTEMAS DE 2ª ORDEM Sistema Superamortecido Sistema Criticamente Amortecido Sistema Subamortecido 27

28 CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOS TEMPO DE SUBIDA O tempo de subida t r ("rise time") é o tempo necessário para o sinal de saída variar de 10% a 90% do valor final (ou para sistemas subamortecidos de 0% a 100%). t r = 1,8 ω n 28

29 CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOS CONSTANTE DE TEMPO A constante de tempo de um sistema é dada pelo expoente do envelope exponencial que acompanha o decaimento de um sistema subamortecido de um processo de segunda ordem. τ = 1 ζ ω n 29

30 CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOS SOBRELEVAÇÃO MÁXIMA A sobrelevação máxima percentual M p é a diferença entre o valor máximo de pico atingido e o valor final em percentual do valor final. M p = 100e ζπ 1 ζ 2 % 30

31 CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOS TEMPO DE ACOMODAÇÃO O tempo de acomodação t a ("settling time" t s ) é o tempo gasto para o sinal acomodar (entrar e não sair mais) da faixa de ±2% ou ±5% do valor final. t a2% 4 ζω n 31

32 CARACTERÍSTICAS DOS PROCESSOS 32