Controle de Processos

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1 17484 Controle de Processos Aula: Função de Transferência Prof. Eduardo Stockler Tognetti Departamento de Engenharia Elétrica Universidade de Brasília UnB 1 o Semestre 217 E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 1/18

2 Sumário 1 Transformada de Laplace 2 Propriedades da Transformada de Laplace 3 Aplicações da Transformada de Laplace 4 Sistema linear invariante no tempo E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 1/18

3 Função de Transferência Seja um sistema não-linear contínuo e invariante no tempo Entrada f(t) Sistema não-linear Saída y(t) Um correspondente sistema linear invariante no tempo (SLIT) em torno de um ponto de operação (equiĺıbrio) pode ser expresso em termos de suas variáveis de desvio 1 Entrada f(t) Sistema linear Saída ỹ(t) O sistema pode ser analisado pela sua função de transferência (FT) se as condições iniciais são nulas relação algébrica entre a transf. de Laplace (operador L{ }) da entrada e da saída Entrada L{ f(t)} = F(s) Função de Transferência Saída L{ỹ(t)} = Ỹ(s) 1 Análise de estabilidade válida se a matriz Jacobiana não tem nenhum autovalor no eixo imaginário [Khalil, 22]. E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 2/18

4 Função de Transferência Seja um sistema linear invariante no tempo (SLIT) Entrada f(t) Sistema (SLIT) Saída y(t) Se o sistema linear é obtido a partir da linearização de dinâmica não linear então entrada f(t) e saída y(t) são expressas em termos de variáveis de desvio. Função de transferência do sistema Relação da transformada de Laplace da saída y(t) pela transformada de Laplace da entrada f(t), para condições iniciais nulas, ou seja, G(s) = Y(s) F(s), s C em que s é uma variável no plano complexo, s = σ +jω. E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 3/18

5 Função de Transferência Relembrando Transformada de Laplace unilateral F(s) de uma função f(t): L{f(t)} = F(s) = Classe de funções: f(t) =, t < Observações: f(t)e st dt 1 L{f(t)} definida quando a integral é limitada Ex.: f(t) = e at raio de convergência a s < ou s > a 2 L{ } é um operador linear L{af 1(t)+bf 2(t)} = af 1(s)+bF 2(s) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 4/18

6 Transformada de Laplace Degrau unitário, t u (t) = (1/ )t, < t 1, t > u(t) = lim +u (t) = { u(t) =, t u(t) = 1, t > u() =, u( + ) = lim t +u(t) = 1 Transformada de Laplace: L{u(t)} = Para uma dada contante A, tem-se u(t)e st dt = 1 s e st = 1 s L{Au(t)} = AL{u(t)} = A s E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 5/18

7 Transformada de Laplace Impulso unitário (Delta de Dirac) δ (t) = du, t (t) = 1/, < t dt, t > δ(t) = lim +δ (t) δ(t) = du(t) dt Como consequência u(t) = O impulso ocorre em + e δ() = Transformada de Laplace: t L{δ(t)} = 1 δ(β)dβ L{δ(t)} = δ(t)e st dt = 1 pois δ(t)f(t) = δ(t)f() e + δ(t)dt = 1 E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 6/18

8 Transformada de Laplace Função exponencial f(t) = e at, t ou f(t) = e at u(t), t, u(t) sinal degrau unitário L{e at u(t)} = 1 s +a pois e at e st dt = e (s+a)t dt = 1 s +a e (s+a)t = 1 s +a Obs.: Para f(t) = e at u(t), L{e at } existe somente se a s < ou s > a (indefinida para s < a). E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 7/18

9 Convolução Para uma função Φ(t) contínua em t = + Φ(t)δ(t)dt = Φ() + δ(t)dt = Φ() pois Φ(t)δ(t) = Φ()δ(t) Deslocando δ(t) em T: Logo, + Φ(t)δ(t T)dt = Φ(T) Φ(t) = + (Propriedade da Amostragem) Φ(τ)δ(t τ)dτ = Φ(t) δ(t) Φ(t) δ(t) = Φ(t), Φ(t) δ(t T) = Φ(t T) Definição de convolução no tempo contínuo f(t) g(t) + f(τ)g(t τ)dτ, f(t) g(t) = g(t) f(t) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 8/18

10 Sumário 1 Transformada de Laplace 2 Propriedades da Transformada de Laplace 3 Aplicações da Transformada de Laplace 4 Sistema linear invariante no tempo E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 8/18

11 Propriedades da Transformada de Laplace L{f 1(t) f 2(t)} = F 1(s)F 2(s) Ex.: SLIT y(t) = g(t) f(t) Y(s) = G(s)F(s) Linearidade: com a e b constantes. L{af 1(t)+bf 2(t)} = af 1(s)+bF 2(s) Derivadas: { } df(t) L = sf(s) f() dt { } df(t) df(t) L = e st dt dt dt = e st f(t) f(t)( se st )dt (int. por partes) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 9/18

12 Propriedades da Transformada de Laplace Similarmente, { } d 2 f(t) L = s 2 F(s) sf() df dt 2 dt Para condições iniciais nulas, tem-se { } d n f(t) L = s n F(s) dt n Integração: { t L } f(t)dt = 1 s F(s) Deslocamento no tempo: L{f(t t )} = e st F(s) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 1/18

13 Propriedades da Transformada de Laplace Obs.: Como consideramos f(τ) =, τ < m(t) f(t t ), m(t) =, t < t Translação complexa: L{e at f(t)} = F(s a) Teorema do Valor Inicial Teorema do Valor Final lim f(t) = lim sf(s) t s lim f(t) = lim sf(s) t s Obs.: Importante verificar se s = está dentro do raio de convergência da transformada de Laplace de f(t), ou seja, todas as raízes do denominador de F(s) devem ter parte real negativa, e no máximo uma raíz na origem. E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 11/18

14 Propriedades da Transformada de Laplace Prova: Para s { } df(t) L = dt lim t df(t) e st dt = sf(s) f() dt df(t) = lim s (sf(s) f()) f(t) f() = lim s sf(s) f() E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 12/18

15 Sumário 1 Transformada de Laplace 2 Propriedades da Transformada de Laplace 3 Aplicações da Transformada de Laplace 4 Sistema linear invariante no tempo E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 12/18

16 Exemplo: solução de EDO linear Seja a equação do balanço de energia do tanque de aquecimento com agitação com fluxo constante a = 1 τ +K dt(t) dt +at(t) = 1 τ Te(t)+KTv(t) em que Q(t) = UA t(t v(t) T(t)). A t: área de transferência (contato) U: coeficiente de transferência de calor 1 τ = fe V K = UAt Vρc p Problema 1: Ache a função de transferência entre a temperatura do tanque T e as temperaturas T e e T v Problema 2: Ache a expressão de T(t) para um aumento na temperatura da corrente de entrada T e(t) em 1 C E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 13/18

17 Exemplo: solução de EDO linear Expressando em termos de variáveis de desvio: T(t) = T(t) T, T e(t) = T e(t) T e, Tv(t) = T v(t) T v d T(t) dt +a T(t) = 1 τ T e(t)+k T v(t) Assumindo que o aquecedor está inicialmente em estado estacionário T() = T, T e() = T e e T v() = T v T() = T e() = T v() =. Aplicando a transformada de Laplace na edo { } d T(t) L +al{ T(t)} = 1 dt τ L{ T e(t)}+kl{ T v(t)} (s T(s) T())+a T(s) = 1 τ T e(s)+k T v(s) T(s)(s +a) = 1 τ T e(s)+k T v(s) T(s) = 1/τ T K e(s)+ T v(s) s +a s +a }{{}}{{} G 1 (s) G 2 (s) G 1(s) e G 2(s) são as funções de transferência G 1(s) = T(s) T(s) e G2(s) = T e(s) T. v(s) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 14/18

18 Exemplo: solução de EDO linear Considerando temperatura da corrente de vapor constante: T v(t) = T v() =, t (T v(t) = T v) degrau na temperatura da corrente entrada em t = : T e() = C e T e( + ) = 1 C Tem-se T(s) = 1/τ s +a T K e(s)+ s +a T v(s) T(s) = 1/τ 1 s +a s + K s +a T(s) = 1 1 τs s +a = 1 ( 1 τa s 1 ) (expansão em frações parciais) s +a T(t) = 1 τa (1 e at ), t T(t) = T()+ 1 τa (1 e at ), t Resposta em regime permanente Teorema do Valor Final T(t = ) = lim T(t) = lim s T(s) = lim s 1 t s s τs 1 s +a = lim s 1 τ 1 s +a = 1 τa E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 15/18

19 Sumário 1 Transformada de Laplace 2 Propriedades da Transformada de Laplace 3 Aplicações da Transformada de Laplace 4 Sistema linear invariante no tempo E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 15/18

20 Sistema linear invariante no tempo Seja um operador linear G( ) representando um sistema linear contínuo invariante no tempo (SLIT). Seja y(t) a saída do sistema a uma entrada f(t). y(t) = G{f(t)} Propriedades: G{a 1f 1(t)+a 2f 2(t)} = a 1G{f 1(t)}+a 2G{f 2(t)} G{} = Invariância no tempo: y(t a) = G{f(t a)}, a R Resposta ao impulso Seja g(t) a resposta a uma entrada impulso para o sistema em repouso (condições iniciais nulas): g(t) = G{δ(t)} Logo, y(t) = G{f(t)} = G{f(t) δ(t)} = G = + f(τ)g{δ(t τ)}dτ = { + + } f(τ)δ(t τ)dτ f(τ)g(t τ)dτ = f(t) g(t) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 16/18

21 Sistema linear invariante no tempo Resposta ao impulso e função de transferência A função de transferência G(s) entre uma certa entrada e uma certa saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) é a resposta do sistema à aplicação de um impulso nesta entrada, ou seja, G(s) = L{g(t)} em que g(t) = G{δ(t)} Teorema A saída de um sistema linear invariante no tempo (SLIT) é a convolução da resposta ao impulso com a entrada, y(t) = G{f(t)} = g(t) f(t) y(t) = g(t) f(t) Y(s) = G(s)F(s) Para entrada impulso f(t) = δ(t) y(t) = g(t) δ(t) = g(t) Y(s) = G(s)L{δ(t)} = G(s) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 17/18

22 Sistema linear invariante no tempo Exemplo: Seja o sinal de entrada e st, s Ω g, Ω g (domínio) é o conjunto de valores de s para os quais transformada de Laplace G(s) é definida (integral é finita) y(t) = e st g(t) = = + = G(s)e st g(τ)e s(t τ) dτ g(τ)e sτ dτe st Obs.: e st é chamada de auto-função do sistema. G(s) é chamada função de transferência do sistema, G(s) = g(τ)e sτ dτ E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 18/18