Controle de Processos Aula: Sistemas dinâmicos de ordem superior

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1 Controle de Processos Aula: Sistemas dinâmicos de ordem superior Prof. Eduardo Stockler Tognetti Departamento de Engenharia Elétrica Universidade de Brasília UnB 2 o Semestre 2017 E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 1/17

2 Sumário 1 Sistemas não-interativos 2 Sistemas interativos E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 1/17

3 Sistemas não-interativos Em processos não-interativos mudanças em unidades downstream não influenciam unidades upstream, ou seja, há influência ocorre apenas em um sentido. Pode-se estabelecer uma associação em cascata no diagrama de blocos das funções de transferências dos processos pois não há efeito de carga Exemplo de processo não-interativo: f e(t) f 0(t) h 1(t) c v1 f 1(t) h 2(t) c v2 f 2(t) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 2/17

4 Sistemas não-interativos Exemplo: Reservatório térmico em série Considere o sistema T 2(t) T 4(t) f A +f B c p c p V 1 V 2 ρ T 1(t) ρ T 3(t) c p f A c p f B f A, f B constantes V 1, V 2 constantes ρ, c p constantes Como T 4(t) é afetado por T 1(t) e T 3(t)? E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 3/17

5 Sistemas não-interativos Balanço de energia VC1: Balanço de energia VC2: m 1 dĥ 2 dt = m A Ĥ 1 m A Ĥ 2 d ρv 1 (cpt2(t)) = ρfacpt1(t) ρfacpt2(t) dt d ρv 2 (cpt4(t)) = ρfacpt2(t)+ρfbcpt3(t) ρ(fa +fb)cpt4(t) dt E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 4/17

6 Sistemas não-interativos Em estado estacionário: { T 1 T 2 = 0 f A T 2 +f B T 3 (f A +f B) T 4 = 0 Definindo variáveis de desvio: T i(t) = T i(t) T i, i = 1,...,4 Reescrevendo, V 1 d T 2(t) + T 2(t) = T 1(t) f A dt V 2 d T 4(t) + T 4(t) = f A +f B dt f A f A +F B T 2(t)+ fb f A +F B T 3(t) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 5/17

7 Sistemas não-interativos d T 2(t) τ 1 + T 2(t) = T 1(t) dt d T 4(t) τ 2 + T 4(t) = K 2 T 2(t)+K 3 T 3(t) dt 1 T 2(s) = τ 1s +1 T 1(s) T 4(s) = T 4(s) = K2 τ 2s +1 T 2(s)+ K3 τ 2s +1 T 3(s) K 2 (τ 1s +1)(τ 2s +1) T 1(s)+ K3 τ 2s +1 T 3(s) Como seria o diagrama de blocos se f A e f B não fossem constantes? E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 6/17

8 Sistemas não-interativos Exemplo: processo de nível não-interativo Seja o processo f e(t) f 0(t) h 1(t) c v1 f 1(t) h 2(t) c v2 f 2(t) Deseja-se saber como h 2(t) é afetado por f e(t) e f o(t)? O fluxo através das válvulas é dado por f(t) = C v P(t) G f C v: coeficiente de vazão da válvula G f: densidade relativa [adm] E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 7/17

9 Sistemas não-interativos Considere: P i(t) = P a +ρgh i(t) P a = ρgh i(t) Logo, ρghi(t) ρg f i(t) = C vi = C v G i hi(t), C v i = C vi f G f dh 1(t) A 1 = f e(t) f o(t) C v dt 1 h1(t) dh 2(t) A 2 = C v dt 1 h1(t) C v 2 h2(t) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 8/17

10 Sistemas não-interativos Análise de graus de liberdade Parâmetros: A 1, A 2, C v 1, C v 2 Número de equações: N E = 2 Número de variáveis: N V = 4 (h 1, h 2, f e, f o) Graus de liberdade: f = N V N E = 2 Classificação das varáveis: Variáveis de saída: h 1 e h 2 Variáveis de entrada: f e e f o distúrbio ou var. manipulada f e distúrbio escolha do projetista f o var. manipulada (MV) escolha do projetista Obs.: Mesmo que f e e f o sejam MV, não é possível controlar h 1 e h 2 simultaneamente. Por que? Opção para controle de h 1 e h 2: C v 1 C v 1 (t) C v 2 C v 2 (t) NE = 2 { N V = 6 f = 4 distúrbio: f e,f o var. manipulada (MV): C v 1 (t),c v 1 (t) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 9/17

11 Sistemas não-interativos Linearizando em torno de h 1 e h 2: f i(t) f i +c i(h i(t) h i), c i = fi = 1 h i h i 2 C v i ( h i) 1/2, i = 1,2 Tem-se H 1(s) = K1 τ 1s +1 F e(s) K1 τ 1s +1 F o(s) H 2(s) = K2 τ 2s +1 H K 1K 2 1(s) = (τ 1s +1)(τ 2s +1) ( F e(s) F o(s)) em que τ i = Ai c i, K 1 = 1 c 1, K 2 = c1 c 2, i =1,2. Obs.: Sistema pode ser de n-ésima ordem porém os polos serão sempres reais nesse caso (resposta sobreamortecida ou criticamente amortecida) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 10/17

12 Sumário 1 Sistemas não-interativos 2 Sistemas interativos E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 10/17

13 Sistemas interativos Em processos interativos mudanças em unidades downstream influenciam unidades upstream e vice-versa. Exemplo de processo interativo Seja o sistema de nível interativo f e(t) f 0(t) h 1(t) c v1 h 2(t) c v2 f 2(t) f 1(t) Verifique como o nível do segundo reservatório h 2(t) é influenciado pelos fluxos f e(t) e f 0(t). E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 11/17

14 Sistemas interativos Assuma regime de escoamento turbulento, logo { f 1(t) = C v 1 h1(t) h 2(t) f 2(t) = C v 2 h2(t) dh 1(t) A 1 = f e(t) f 0(t) f 1(t) dt dh 2(t) A 2 = f 1(t) f 2(t) dt Linearizando em torno de h 1 e h 2: f 2(t) f 2 +c 2(h 2(t) h 2), c 2 = f2 h 2 = 1 h 2 2 C v 2 ( h 2) 1/2 f 1(t) f 1+c 11(h 1(t) h 1)+c 12(h 2(t) h 2), c 11 = f1 h 1, h 1, h 2 c 12 = f1 h 2 h 1, h 2 E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 12/17

15 Sistemas interativos Logo, c 1 = c 11 = c 12 = 1 2 C v 1 ( h 1 h 2) 1/2 H 1(s) = K1 τ 1s +1 [ 1 F e(s) F 0(s)]+ τ 1s +1 H 2(s), (1) e τ 1 = A1 c 1, K 1 = 1 c 1 H 2(s) = K2 τ 2s +1 H 1(s), (2) τ 2 = A2 c 1 +c 2, K 2 = c1 c 1 +c 2 E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 13/17

16 Sistemas interativos Substituindo (1) em (2), H 2(s) = Observe que H 1(s) = K 1K 2 (τ 1s +1)(τ 2s +1) [ F K 2 e(s) F 0(s)]+ (τ 1s +1)(τ 2s +1) H 2(s) K 1K 2 1 K H 2(s) = ( ) ( 2 ) [ F e(s) F 0(s)] τ1τ 2 τ1 +τ s 1 K s K 2 H 1(s) = K1 τ 1s +1 [ K 2 F e(s) F 0(s)]+ (τ 1s +1)(τ 2s +1) H 1(s) K 1(τ 2s +1) (τ 1s +1)(τ 2s +1) K 2 [ F e(s) F 0(s)] (sistema de 2ª ordem com zero) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 14/17

17 Sistemas interativos Processos com reciclo Exercício Seja o sistema com reciclo de 20% do fluxo total para fora do processo T 1(t) f A, c p f R Reciclo, f R = 20% f s(t) T 3(t), f B, c p V 1 T 2(t) c p T 2(t) f 1 V 2 T 4(t) c p T 4(t), f 2 f s(t) Verifique como a temperatura do segundo reservatório T 4(t) é influenciada pelas temperaturas dos fluxos de entrada T 1(t) e T 3(t). Observe que f s = f A +f B, f R = 0,2f s, f 1 = f A +f R f 2 = f B +f 1 = f s +0,2f s E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 15/17

18 Sistemas interativos Exercício Equações diferenciais do processo V dt2(t) 1ρcp dt V dt4(t) 2ρcp dt Dinâmica no domínio s = f AρcpT 1(t)+[0.2(f A +f B)]ρcpT 4(t) [f A +0.2(f A +f B)]ρcpT 2(t) = [f A +0.2(f A +f B)]ρcpT 2(t)+f BρcpT 3(t) [1.2(f A +f B)]ρcpT 4(t) Funções de transferência T 2(s) = K1 τ 1s +1 T 1(s)+ K2 τ 1s +1 T 4(s) T 4(s) = K3 τ 2s +1 T 2(s)+ K4 τ 2s +1 T 3(s) T 4(s) T 1(s) = K 1K 3 (τ 1s +1)(τ 2s +1) K 2K 3, T 4(s) T 3(s) = K 4(τ 1s +1) (τ 1s +1)(τ 2s +1) K 2K 3 E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 16/17

19 Sistemas interativos Exercício Diagrama de blocos do sistema T 3(s) K 4 T 1(s) 1 K 1 + τ 1s +1 T 2(s) K τ 2s +1 T 4(s) K 2 K 1 = f A f A +0,2(f A +f B), 0,2(fA +fb) K2 = f A +0,2(f A +f B) f B 1,2(f A +f B) fa +0,2(fA +fb) K 3 =, K 4 = 1,2(f A +f B) V 1 τ 1 = f A +0,2(f A +f, B) τ2 = V 2 1,2(f A +f B) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 17/17