Escoamento interno viscoso e incompressível

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1 Escoamento interno viscoso e incompressível Paulo R. de Souza Mendes Grupo de Reologia Departamento de Engenharia Mecânica Pontifícia Universidade Católica - RJ agosto de 200

2 Sumário o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico definição de escoamento desenvolvido escoamento laminar desenvolvido em tubo análise de energia em escoamentos internos balanço de energia avaliação da perda de carga distribuída avaliação das perdas de carga localizadas solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas distribuição das energias mecânicas seleção de bombas

3 definição de escoamento desenvolvido: caso laminar u(r,z) u(r) r z comprimento de entrada L D /D = Re/20 região de esc.desenvolvido na entrada do tubo, forma-se uma camada limite que cresce na direção axial nesta região de entrada, a velocidade muda com z quando a camada limite alcança o centro do tubo, não há mais variação com z a partir desta posição diz-se que o escoamento é hidrodinamicamente desenvolvido

4 escoamento desenvolvido turbulento laminar turbulento - u(r,z) turbulento - u(r) (-r/r) /7 r z comprimento de entrada L D /D 0 a 60 região de esc.desenvolvido na entrada do tubo, a camada limite é laminar antes do desenvolvimento a c.l. torna-se turbulenta a espessura da c.l. turbulenta cresce mais rápido logo, o compr. de desenvolvimento é menor o perfil de velocidade é mais chato

5 balanço de força em um elemento de fluido: esc. laminar τ rz r+ r p z r p z+ τ rz r u(r) r R z L p L p z 2πr r + (rτ rz ) r+ r 2π p z+ 2πr r (rτ rz ) r 2π = 0

6 balanço de força em um elemento de fluido τ rz r+ r p z r p z+ τ rz r u(r) r z R L p L p z 2π/ r r + (rτ rz ) r+ r 2π/ p z+ 2π/ r r (rτ rz ) r 2π/ = 0

7 expansão em série de Taylor: e substituindo, p z+ = p z + dp dz (rτ rz ) r+ r = (rτ rz ) r + d(rτ rz) r dr [ p z r r + (rτ rz ) r + d(rτ rz) r dr ] [ p z + dp ] dz rdr (rτ rz ) r = 0

8 logo, ou d(rτ rz ) dr dp dz r = 0 d(rτ rz ) = dp r dr dz mas, como p = p(z) e τ rz = τ rz (r), então ambos os lados têm que ser constantes: integrando dp dz = C, obtemos d(rτ rz ) = dp r dr dz = C pl dp = C L 0 dz C = p L L p L

9 integrando r d(rτ rz) dr = p L, obtemos rτrz 0 d(rτ rz ) = p L r 0 r dr rτ rz = p r 2 L 2 para um fluido newtoniano, ou τ rz = p L r 2 nesse caso, integrando, 0 u τ rz = µ du dr µ du dr = p r L 2 du = p L R rdr 2µ r

10 ou velocidade máxima: vazão volumétrica: Q = u = p L u = p L 4µ (R2 r 2 ) R 2 [ ( r ) 2 ] 4µ R u max = u(0) ou u max = p L A V n da = A = πr 2 é a área de secção reta R 0 u(r)2πrdr R 2 4µ

11 ou Q = p L velocidade média: ū Q A = πr 4 2µ 0 = p L [ ( r ) 2 ] ( r ) ( r ) d R R R πr 4 2µ Q = πr4 8µ [ 2 ] 4 p L Q πr 2 ou ū = R2 p 8µ L

12 fator de atrito o fator de atrito f para um tubo de diâmetro D = 2R é uma queda de pressão (perda de carga) adimensionalizada pela pressão dinâmica: p L f D 2 ρū2 para o escoamento laminar desenvolvido, ou f = 8µū R 2 D = 6µ 4D D 2 2 ρū2 ρū f = 64 Re = 64 ρūd µ

13 Hipóteses: balanço de energia em uma tubulação típica Q Ẇeixo Ẇoutros = ( d u + V V dt C 2 + SC escoamento permanente propriedades uniformes ) + gz ρd ( u + p ρ + V V 2 ) + gz ρv n da Ẇ eixo = 0; Ẇ outros = 0 g x z escoamento VC y 2

14 Q = ṁ [(u + pρ + V 2 ) 2 + gz rearranjando, ( p ρ + V 2 ) 2 + gz }{{} energia mecânica que entra ( p 2 (u + pρ + V 2 ) ] 2 + gz ) 2 + gz ρ + V 2 2 }{{} energia mecânica que sai = (u 2 u ) Q ṁ }{{} energia térmica a equação acima tem dimensões de energia por unidade de massa. desta equação vemos que a energia mecânica perdida por um kg de massa ao escoar pelo tubo tem dois destinos possíveis: ou sai pelas paredes na forma de calor ou se armazena na forma de energia interna. g 2 z y x VC escoamento

15 equação de energia onde ( p ρ + V 2 ) ( p 2 + gz ρ + V 2 ) 2 + gz = h lt 2 h lt (u 2 u ) Q ṁ > 0 é a perda de carga total obs: carga = energia mecânica g x z escoamento VC y 2 Decomposição de h lt h lt = h l }{{} perda distribuída + h lm }{{} perdas localizadas

16 equação de energia em função de alturas dividindo a eq. de energia por g, temos ( p ρg + V 2 ) ( p 2g + z ρg + V 2 ) 2g + z = H lt = h lt 2 g os termos têm dimensões de comprimento esta forma da eq. de energia é ainda bastante utilizada em manuais de bombas e tubulações as diferentes energias e a perda de carga são dadas em termos de alturas, o que pode facilitar a interpretação física

17 perda distribuída a perda de carga distribuída (ou perdas maiores ) ocorre ao longo dos trechos de tubo reto está relacionada ao cisalhamento viscoso para escoamento turbulento tem que ser determinada experimentalmente p p = p p 2 - p 2 z L z 2 = z V V 2 = V

18 análise dimensional p p = p p 2 - p 2 z L z 2 = z V V 2 = V p = φ 2 (D, L, e, V, ρ, µ) onde e é a rugosidade da parede interna do tubo Da análise dimensional, p ρv 2 = φ ( ρvd µ, L D, e D )

19 Nos experimentos, nota-se que a dependência com L/D é linear. Logo, f p L D ( ρvd 2 ρv = φ 2 µ, e ) D onde f é o fator de atrito, ρvd µ Re é o número de Reynolds, e e D é a rugosidade relativa Portanto, ( f = φ Re, e ) D Em 44, a função φ foi determinada experimentalmente por Moody e apresentada em forma gráfica

20 o diagrama de Moody

21 correlações Colebrook (transcendental) f = { ( e/d 2 log )} 2 Re f Blasius, para tubos lisos (e/d = 0) f = 0.36 Re 0.2

22 obtenção da rugosidade relativa

23 cálculo da perda distribuída ( p ρ + V 2 ) ( p 2 + gz ρ + V 2 ) 2 + gz = h l + h lm 2 simplificando (note que h lm = 0), h l = p ρ Portanto, com este experimento podemos medir h l f pode também ser escrito em função de h l : logo, f p L D 2 ρv 2 = 2h l h l = f L D V 2 2 D L V 2

24 perdas localizadas as perdas de carga localizadas (ou perdas menores ) ocorrem em posições axiais específicas da tubulação são causadas por joelhos, válvulas, contrações, espansões e outros acidentes estão normalmente relacionadas a recirculações ou escoamentos secundários têm que ser determinadas experimentalmente p p 2 válvula p 3 p 4 p p p 2 h lm = p/ρ p p 3 p 4 L eq

25 formas de apresentar as perdas localizadas coeficiente de perda K : h lm K V 2 2 comprimento equivalente de tubo reto L eq : h lm f L eq D V 2 2

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31 para difusores, a energia cinética em 2 é menor que em, causando aumento da pressão: ( ) ( ) p ρ + V p 2 ρ + V = h lm 2 se h lm fosse zero, a pressão em 2 seria p 2 ideal > p 2. Logo, h lm = p 2,ideal p 2 ρ Definindo o coeficiente de recuperação C p como temos h lm = V 2 2 ( ( A A 2 C p p 2 p 2 ρv 2 ) 2 C p ) = V 2 2 ( Cp,ideal C p )

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33 em geral, problemas típicos p = φ (L, Q, D, e,, configuração, ρ, µ) para uma dada tubulação (material e finalidade) e um dado fluido, são parâmetros fixos: e,, configuração, ρ, µ. Logo, a forma funcional se reduz a: p = φ 2 (L, Q, D) ou φ( p, L, Q, D) = 0 quatro casos: caso dados incógnita (a) L, Q, D p (b) p, Q, D L (c) p, L, D Q (d) p, L, Q D

34 procedimento para solução Caso (a): L, Q, D dados, p incógnita. calcular Re e e/d com Q e D mais os parâmetros fixos; 2. do diagrama de Moody ou da eq. de Colebrook, obter f ; 3. calcular h l e h lm ; 4. da eq. de energia, calcular p. Caso (b): p, Q, D dados, L incógnita. da eq. de energia, calcular h lt ; 2. calcular Re e e/d com Q e D mais os parâmetros fixos; 3. do diagrama de Moody ou da eq. de Colebrook, obter f ; 4. obter L a partir da expressão para h lt.

35 Caso (c): p, L, D dados, Q incógnita. obter V em função de f, usando a eq. de energia e as expressões para h l e h lm ; 2. chutar um valor para f, (0.02 é um bom chute); 3. obter V usando a expressão do item ; 4. calcular Re com o valor presente de V ;. com e/d e o valor presente de Re, obter f ; 6. se f f anterior > ε (e.g. ε = 0.0f ), voltar ao item 3. Caso contrário, terminar.

36 Caso (d): p, L, Q dados, D incógnita. chutar um valor para D; 2. calcular Re e e/d com o valor presente de D; 3. obter f, h l e h lm ; 4. da eq. de energia, obter p calculado ;. se p calculado p dado > ε (e.g. ε = 0.0 p), voltar ao item. Caso contrário, terminar. Nota-se que, se p calculado < p dado, deve-se diminuir o valor chutado para D, e vice-versa.

37 uma tubulação típica

38 uma tubulação típica

39 equação de energia para tubulações com bomba ( p ρ + V 2 ) ( 2 + gz Ẇbomba p ṁ ρ + V 2 ) 2 + gz = h lt 2 onde Ẇbomba < 0, pois a bomba adiciona energia ao fluido no C. Logo, o termo Ẇbomba/ṁ é positivo.

40 distribuição das energias energia mecânica total energia de pressão energia potencial energia cinética 2 3,4,6 7,8, 0, 2,