Controle de Processos Aula 14: Critério de Estabilidade (Bode)

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1 Controle de Processos Aula 14: Critério de Estabilidade (Bode) Prof. Eduardo Stockler Tognetti Departamento de Engenharia Elétrica Universidade de Brasília UnB 1 o Semestre 2018 E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 1/11

2 Sumário 1 Critério de Estabilidade 2 Critério de Estabilidade de Bode E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 1/11

3 Critério de Estabilidade Razões para análise de estabilidade via resposta em frequência: 1 Indicadores mais representativos para caracterizar robustez 2 Análise de funções de transferência com tempo morto sem aproximações 3 Identificação de sistemas via reposta em frequência Considere o sistema abaixo R(s) + K c 1 0,5s +1 e 0,1s Y(s) Função de transferência de malha aberta: G MA (s) = G c(s)g p(s). Considere a frequência ω co = {ω : G MA(jω) = 180 } E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 2/11

4 Critério de Estabilidade RA (abs) X: Y: X: Y: Kc=20 Kc=8.56 Kc= Fase (graus) X: Y: Kc=20 Kc=8.56 Kc= ω (rad/s) Resposta em frequência de G MA (s) = K c 0.5s +1 e 0,1s. ω co = {ω : G MA(jω) = 180 } : RA 1 = K c (0,5ωco) ,12 RA = 1 K c = 8,56 E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 3/11

5 Critério de Estabilidade Em malha aberta No caso RA = 1 (K c = 8,56) em ω co r(t) = sen(ω ct) y MA(t) = sen(ω cot 180 ) = sen(ω cot) Se em t = 0 zerar entrada (r = 0) e fechar a malha y MF(t) = y MA(t) Contudo se K c > 8,56 (RA > 1 em ω co) em MF amplitude aumenta (sistema instável em MF) K c < 8,56 (RA < 1 em ω co) sistema estável em MF E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 4/11

6 Critério de Estabilidade Observação Polos em MF: Raízes de: 1+G MA(s) = 0 Assumindo raízes imaginárias: s = jω (limite de estabilidade) 1+G MA(jω) = 0 G MA(jω) = 1 { G(jω) = 1 G(jω) = 180 Se existir K c tal que isso acontece { K c = K u ω co = ω u E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 5/11

7 Critério de Estabilidade Definições 1 Frequência crítica ou frequência de cruzamento de fase (ω co): ω co {ω : G MA(jω) = 180 } 2 Frequência de cruzamento de ganho (ω g): ω g {ω : G MA(jω) = 1} Num sistema marginalmente estável: ω co = ω g Obs.: Pode ocorrer múltiplos valores de ω co ou ω g. E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 6/11

8 Sumário 1 Critério de Estabilidade 2 Critério de Estabilidade de Bode E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 6/11

9 Critério de Estabilidade de Bode Critério de estabilidade de Bode O sistema em malha fechada é estável se a resposta em frequência de malha aberta atende a condição Caso contrário, o sistema é instável. RA MA(ω co) = G MA(jω co) < 1. Condições para aplicar o critério de estabilidade de Bode Considere uma função de transferência de malha aberta estritamente própria (np > nz) e de fase mínima (sem pólos e zeros no SPD e sem polos no eixo imaginário, exceção de polo simples na origem). A resposta em frequência de malha aberta tem apenas um único ω co e um único ω g. Obs.: Se as condições acima não são atendidas Critério de Nyquist E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 7/11

10 Exemplos 1 G c = K c G p = Kp τs +1 G m = K m G MA = G cg pg m = KcKpKm τs +1 = K τs +1 Fase: φ = G MA(jω) = tg 1 ωτ [0, 90 ) sistema sempre estável pois ω co 2 G m = Km τ ms +1 G MA = K (τs +1)(τ ms +1) φ [0, 180 ) φ = 180 quando ω sistema sempre estável pois ω co finito E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 8/11

11 Exemplos 3 G m = Km τ ms +1 e G f = Kf τ fs +1 G MA = K (τs +1)(τ ms +1)(τ fs +1) φ [0, 270 ) K c tal que o sistema é instável 4 G m = K me 0,5s G MA = Ke 0,5s τs +1 φ = tg 1 ( τω)+( 0,5ω) [0, ) K c tal que o sistema é instável (atraso: principal fonte de instabilidade em processos químicos) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 9/11

12 Exemplos Cálculo ω co: tg 1 (τω co) 0,5ω co = 180 Cálculo de K u (K c = K u): G(jω co) = K u 1+jω coτ = 1, Ku = K u K pk m Restrições do critério de estabilidade de Bode Apenas para sistemas de fase mínima caso contrário critério de Nyquist Somente quando RA e φ de malha aberta decrescem continuamente quando ω aumenta E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 10/11

13 Critério de Estabilidade de Bode Observações: Grande maioria dos processos químicos RA, φ ω Critério de Bode apropriado e poderosa ferramenta Para usar o critério de Bode opções: 1 Numérica: conhecimento das FTs. 2 Experimental: gráfico a partir de ensaios experimentais via aplicação de senóides em várias frequências. E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 11/11