Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus)

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1 Lugar Geométrico das Raízes (Root Locus) ENGC4: Sistemas de Controle I Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 18 de janeiro de 016 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 57

2 Sumário 1 Introdução Lugar das Raízes para Sistemas de Controle 3 Regras para gerar o traçado do Lugar das Raízes 4 Comentários f inais Prof. Tito Luís Maia Santos / 57

3 Sumário 1 Introdução Lugar das Raízes para Sistemas de Controle 3 Regras para gerar o traçado do Lugar das Raízes 4 Comentários f inais Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 57

4 Introdução Lugar Geométrico das Raízes Objetivos da aula de hoje: Apresentar o método de Evans para obtenção do Lugar das Raízes; Discutir a respeito do Lugar das Raízes no contexto de sistemas de controle. Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 57

5 Sumário 1 Introdução Lugar das Raízes para Sistemas de Controle 3 Regras para gerar o traçado do Lugar das Raízes 4 Comentários f inais Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 57

6 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle Walter Richard Evans (Estados Unidos, 15/01/190-10/07/1999) 1948: propôs o método conhecido como lugar das raízes; Evans precisou de um novo método porque ele estava lidando com sistemas instáveis ou marginalmente estáveis, o que torna o uso de métodos no domínio da frequência difíceis de serem aplicados. Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 57

7 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle Lugar das Raízes: estuda a posição dos pólos do sistema em malha fechada quando um determinado parâmetro (em C(s), G(s) ou H(s)) varia. R(s) + C(s) G(s) Y(s) H(s) Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 57

8 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle Função de transferência em malha fechada Logo, a equação característica é: Assim, pode-se considerar: Y(s) R(s) = C(s)G(s) 1+C(s)G(s)H(s) 1+C(s)G(s)H(s) = 0 K L(s) = C(s)G(s)H(s). Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 57

9 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle Considerando K L(s) = C(s)G(s)H(s), temos que: 1+K L(s) = 1+C(s)G(s)H(s) = 0. Assumindo L(s) como uma função racional, tem-se: Alternativamente: 1+K L(s) = 1+K b(s) a(s) = 0. a(s)+k b(s) = 1+K L(s) = 1+C(s)G(s)H(s) = 0, sendo a(s) e b(s) polinômios mônicos de graus n e m respectivamente com n m. Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 57

10 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle As seguintes equações têm as mesmas raízes 1 + C(s)G(s)H(s) = 0 1+K L(s) = 0 1+K b(s) = 0 a(s) a(s)+k b(s) = 0 K = 1 L(s) As raízes das equações acima correspondem aos pólos da F.T. em malha fechada. Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 57

11 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle Def inição: O lugar das raízes é o conjunto de valores de s que satisfazem 1+K L(s) = 0 quando o parâmetro real K varia de 0 a +. Reescrevendo a Equação característica como: K = 1 L(s) Considerando K real e positivo, L(s) deve ser real e negativo Representando L(s) na forma polar a fase de L(s) deve ser 180 Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 57

12 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle Condição de Fase: O lugar das raízes de L(s) é o conjunto de pontos no plano-s que satisfazem L(s) = 180. LR a partir da E.C.: encontrar as raízes da E.C. para inf initos valores de K LR a partir da Condição de Fase: calcular a fase de L(s) para inf initos pontos no plano-s Ramo é o caminho que o pólo percorre quando varia-se o ganho K O número de ramos corresponde ao número de raízes da E.C. (pólos de M.F.) avaliados. Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 57

13 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle Seja ψ i o ângulo entre um ponto de teste s 0 e um zero de L(s) Seja φ i o ângulo entre um ponto de teste s 0 e um pólo de L(s) Então, devido a Condição de Ângulo temos que L(s 0 ) = ψ i φ i = k k Z Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 57

14 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle Exemplo Determine se s 0 = 1+j pertence ao lugar das raízes da função de transferência L(s) = s+1 s(s + 5)[(s + ) + 4] Usando a Condição de Fase, basta verif icar se L(s 0 ) = (s 0 + 1) s 0 (s 0 + 5) [(s 0 + ) + 4] = k? Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 57

15 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle Exemplo Usando a Condição de Fase, basta verif icar se L(s 0 ) = ψ 1 φ {}}{ 1 φ {}}{{}}{ (s 0 + 1) s 0 (s 0 + 5) [(s 0 + ) + 4] }{{} φ 3,φ 4 = k? Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 57

16 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle Exemplo ψ 1 = (s 0 + 1) = ( 1+j+1) = j s 0 = ψ Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 57

17 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle φ 1 = s 0 = ( 1+j) s 0 = 116, φ 1 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 57

18 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle φ = (s 0 ( +j)) = ( 1+j ( +j)) = 1 φ =0 = 0 1 s Prof. Tito Luís Maia Santos 18/ 57

19 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle φ 3 = (s 0 ( j)) = ( 1+j ( j)) = 1+j4 = s φ 3 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 19/ 57

20 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle φ 4 = (s 0 ( 5)) = ( 1+j ( 5)) = 4+j = 6,6 1 φ 4 s Prof. Tito Luís Maia Santos 0/ 57

21 Lugar das Raízes para Sistemas de Controle ψ 1 φ 1 φ = 90 = 116,6 = 0 φ =0 φ 3 = 76 1 φ 4 = 6,6 φ 1 φ ψ1 L(s) = ψ 1 φ 1 φ φ 3 φ 4 = , ,6 s 0 = 19, k / Lugar das Raízes s φ 3 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 57

22 Sumário 1 Introdução Lugar das Raízes para Sistemas de Controle 3 Regras para gerar o traçado do Lugar das Raízes 4 Comentários f inais Prof. Tito Luís Maia Santos / 57

23 A Condição de Fase por si só não fornece um método prático para obter o Lugar das Raízes Evans desenvolveu um método prático para esboçar o Lugar das Raízes Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 57

24 Regra 1: efeito de pólos e zeros de malha aberta Regra 1: Os n ramos do lugar das raízes partem dos pólos de L(s) e m ramos terminam nos zeros de L(s) 1+C(s)G(s)H(s) = 1+K L(s)=1+K b(s) a(s) = 0 a(s)+ K }{{} =0 b(s)=0 e b(s) = a(s) K }{{} = a(s) e b(s) são polinômios de graus n e m, respectivamente; Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 57

25 Regra 1: efeito de pólos e zeros de malha aberta Considere a função de transferência em malha aberta G(s) = Pólos: s 1 = 0, s 1, = 4±j4 Zeros: s 1,,3 = 1 s(s + 8s+3) Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 57

26 Regra : segmentos sobre o eixo real Regra : O trecho no eixo real a esquerda de um número ímpar de zeros e pólos no eixo real pertence ao lugar das raízes Condição de Ângulo: a contribuição de um par de pólos/zeros complexos conjugados em um ponto de teste no eixo real é nula. Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 57

27 Regra : segmentos sobre o eixo real p 1 = +j φ 1 = φ φ 1 +φ = 0 1 s 0 φ φ 3 1 p 1 = j 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 57

28 Regra : segmentos sobre o eixo real p 1 = 4+j φ 1 = φ φ 1 +φ = s 0 φ φ 1 p 1 = 4 j 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 57

29 Regra : segmentos sobre o eixo real p 1 = +j φ 1 = φ φ 1 +φ = 0 1 s 0 φ φ 3 1 p 1 = j 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 57

30 Regra : segmentos sobre o eixo real p 1 = 4+j φ 1 = φ φ 1 +φ = s 0 φ φ 1 p 1 = 4 j 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 30/ 57

31 Regra : segmentos sobre o eixo real p 1 = 6+j s 0 φ 1 = φ φ 1 +φ = 0 φ φ p 1 = 6 j 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 31/ 57

32 Regra : segmentos sobre o eixo real φ 5 = 0 φ 4 = 0 s 0 3 φ = 180 φ 3 = φ 1 = Cada pólo a direita de um ponto de teste contribui em 180. Portanto, é necessário um número ímpar de pólos a direita do ponto de teste para que: L(s 0 ) = k. Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 57

33 Regra : segmentos sobre o eixo real ψ 5 = 0 ψ 4 = 0 s 0 3 ψ = 180 ψ 3 = Cada zero a direta de um ponto de teste contribui em 180. Portanto, é necessário um número ímpar de zeros a direita do ponto de teste para que: L(s 0 ) = k ψ 1 = 180 Prof. Tito Luís Maia Santos 33/ 57

34 Regra : segmentos sobre o eixo real s 0 3 ψ 1 = 180 φ = A contribuição total será nula se existir 1 o mesmo número de pólos e zeros no eixo real a direita do ponto de teste: L(s 0 ) = ψ i φ i = k 1 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 34/ 57

35 Regra : segmentos sobre o eixo real O ponto de teste pertence ao lugar das raízes se estiver a esquerda de um número ímpar de pólos ou zeros; A contribuição total é nula se existir o mesmo número de pólos e zeros no eixo real a direita do ponto de teste; O número de pólos (N pr ) menos o número de zeros (N zr ) no eixo real a direita do ponto de teste deve ser um número ímpar; N pr N zr = ímpar Prof. Tito Luís Maia Santos 35/ 57

36 Regra : segmentos sobre o eixo real Considere a função de transferência em malha aberta G(s) = Pólos: s 1 = 0, s 1, = 4±j4 Zeros: s 1,,3 = 1 s(s + 8s+3) 4 ao L.R. ւ ր 4 Ângulo de partida jω 4 Prof. Tito Luís Maia Santos 36/ 57

37 Regra 3: comportamento assintótico no inf inito Regra 3: Se houver zeros no, o LR tende a aproximando-se assintoticamente a retas centradas em α e com ângulo φ l, sendo n j=1 α = p j m i=1 z i e n m φ l = (l 1), l = 1,,...,n m n m Prof. Tito Luís Maia Santos 37/ 57

38 Regra 3: comportamento assintótico no inf inito Considere a E.C. 1+K sm + b 1 s m b m s n + a 1 s n a n = 0 1+K (s z 1)(s z ) (s z m ) (s p 1 )(s p ) (s p n ) = 0 Para K e um ponto de teste s 0 muito longe da origem a E.C. pode ser aproximada por 1+K (s α)m (s α) n = 1+K 1 (s α) n m = 0 Prof. Tito Luís Maia Santos 38/ 57

39 Regra 3: comportamento assintótico no inf inito Considere a E.C. 1+K 1 (s α) n m = 0 representa um sistema com n m pólos em α, sendo que cada pólo contribui com o mesmo ângulo φ l (l = 1,,...,n m). Logo n m l=1 φ l = (n m)φ l = (l 1). φ l = (l 1) n m Prof. Tito Luís Maia Santos 39/ 57

40 Regra 3: comportamento assintótico no inf inito Para a E.C. em malha aberta: a(s) = s n + a 1 s n 1 + a s n + a 3 s n 3 + +a n = (s p 1 )(s p ) (s p n ) = s n (p 1 + p + +p n )s n 1 a 1 = (p 1 + p + +p n ) +(p 1 p + p p 3 + )s n (p 1 p p 3 + p 1 p p 4 + )s n 3 + +( 1) n (p 1 p p 3 p n ) = 0 Prof. Tito Luís Maia Santos 40/ 57

41 Regra 3: comportamento assintótico no inf inito Para a E.C. em malha fechada: 0 = a(s)+k b(s) = s n (r 1 + +r n )s n 1 + +( 1) n (r 1 r r 3 r n ) = s n + a 1 s n 1 + +a n + K(s m + b 1 s m 1 + +b n ) = s n (p 1 + +p n )s n 1 + +( 1) n (p 1 p p 3 p n ) +K[s m (z 1 + +z m )s m 1 + +( 1) m (z 1 z r n )] Note que se n 1 > m, então ri = p i Prof. Tito Luís Maia Santos 41/ 57

42 Regra 3: comportamento assintótico no inf inito ri = p i (n 1>m) Para K, m raízes tendem aos zeros f initos z i e n m tendem aos pólos do sistema assintótico logo 1+K 1 (s α) n m = 0 ri = (n m)α+ z i = p i então α = pi z i n m Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 57

43 Regra 3: comportamento assintótico no inf inito Considere a função de transferência em malha aberta Regra 3: G(s) = 1 s(s + 8s + 3) Pólos: s 1 = 0, s,3 = 4±j4 4 jω α = φ l pi z i n m = = (l 1) n m = 60 (l = 1), 180 (l = ), 300 (l = 3) Prof. Tito Luís Maia Santos 43/ 57

44 Regra 4: ângulos de partida e chegada Regra 4: O(s) ângulo(s) de partida do(s) ramo(s) no lugar das raízes no(s) pólo(s) de multiplicidade q é(são) dado(s) por qφ l = ψ i i l φ i (l 1) O(s) ângulo(s) de chegada de um ramo no(s) zero(s) de multiplicidade q é(são) dado(s) por qψ l = φ i i l ψ i (l 1) Prof. Tito Luís Maia Santos 44/ 57

45 Regra 4: ângulos de partida e chegada s 0 3 L(s 0 ) = (l 1) = ψ 1 φ l φ 1 φ φ l 1 φ ψ1 1 φ 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 45/ 57

46 Regra 4: ângulos de partida e chegada L(s 0 ) = (l 1) = ψ 1 φ l φ 1 φ φ l = ψ 1 φ 1 φ (l 1) φ ψ1 φ l = ψ i i l s 0 φ l φ i (l 1) 3 1 φ 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 46/ 57

47 Regra 4: ângulos de partida e chegada s 0 3 Pólo de multiplicidade q φ l qφ l 1 φ ψ1 = ψ i φ i (l 1) i l 1 φ 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 47/ 57

48 Regra 4: ângulos de partida e chegada L(s 0 ) = (l 1) qψ l = ψ 1 +ψ l φ 1 φ ψ l = ψ 1 +φ 1 +φ (l 1) 1 φ φ = φ i i l s 0 ψ i (l 1) ψ l 3 1 ψ 1 3 Prof. Tito Luís Maia Santos 48/ 57

49 Regra 4: ângulos de partida e chegada Considere a função de transferência em malha aberta G(s) = Regra 4: 1 s(s + 8s+3), Pólos: s 1 = 0, s,3 = 4±j4 φ 1 4 jω qφ l 1φ 1 φ 1 = ψ i φ i 180 i l 360 (l 1) = 0 φ φ (1 1) = = 45 4 φ = 90 φ 3 = 13 4 Prof. Tito Luís Maia Santos 49/ 57

50 Regra 4: ângulos de partida e chegada Considere a função de transferência em malha aberta G(s) = Regra 4: 1 s(s + 8s+3), Pólos: s 1 = 0, s,3 = 4±j4 φ 1 = 90 4 jω qφ l = ψ i φ i 180 i l 1φ φ 360 (l 1) = 0 φ 1 φ ( 1) = = φ φ 3 = 1 4 Prof. Tito Luís Maia Santos 50/ 57

51 Regra 4: ângulos de partida e chegada 4 jω 4 4 Prof. Tito Luís Maia Santos 51/ 57

52 Regra 5: pontos de bifurcação ou ramif icação (entrada e saída sobre eixo real) Dada a Eq. Característica, tem-se: 1+K L(s) = 1+K b(s) a(s) K = a(s) b(s). Na presença de raízes múltiplas, sabe-se que: d ds (K) = d ( a(s) ) [ a(s) b(s) a(s)b ] (s) = ds b(s) b(s) = 0. Conclusão, um ponto candidato é bifurcação é dado pela condição: a(s)b (s) a (s)b(s) = 0. Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 57

53 Regra 5: pontos de bifurcação ou ramif icação (entrada e saída sobre eixo real) Dada a Eq. Característica, tem-se: 1+K L(s) = 1+K b(s) a(s) K = a(s) b(s). Na presença de raízes múltiplas, sabe-se que: d ds (K) = d ( a(s) ) [ a(s) b(s) a(s)b ] (s) = ds b(s) b(s) = 0. Conclusão, um ponto candidato é bifurcação é dado pela condição: a(s)b (s) a (s)b(s) = 0. Prof. Tito Luís Maia Santos 53/ 57

54 Regra 6: Cruzamento com o eixo imaginário Dada a Eq. Característica, tem-se: 1+K L(s) = 1+K b(s) a(s) = 0 Pode-se obter um candidato a cruzamento com o eixo imaginário fazendo s = jω: 1+K L(jω) = 1+K b(jω) a(jω) = 0 Neste caso deve-se atender simultaneamente (K real): Re{1+K L(jω)} = 0 Im{1+K L(jω)} = 0 Alternativamente, pode-se utilizar o critério de Routh. Prof. Tito Luís Maia Santos 54/ 57

55 Sumário 1 Introdução Lugar das Raízes para Sistemas de Controle 3 Regras para gerar o traçado do Lugar das Raízes 4 Comentários f inais Prof. Tito Luís Maia Santos 55/ 57

56 Comentários f inais Agradecimentos Prof. Fernando Oliveira de Souza (DEE-UFMG) por ter preparado o material didático da presente aula. Prof. Tito Luís Maia Santos 56/ 57

57 Comentários f inais Nesta aula apresentou-se uma revisão de requisitos de controle Na próxima aula iniciaremos a discussão sobre: Lugar Geométrico das Raízes. Prof. Tito Luís Maia Santos 57/ 57