Análise do Lugar das Raízes

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1 Análise do Lugar das Raízes A característica básica da resposta transitória de um sistema de malha fechada, depende essencialmente da localização dos pólos de malha fechada. É importante, então, que o projetista saiba como os pólos de malha fechada se movem no plano s, a medida que o ganho de malha varia. Limitações e dificuldades da análise dos pólos através da solução da equação característica:. Equações características de grau superior a 3, são muito trabalhosas requerendo o uso de métodos computacionais pra a solução. 2. É uma análise estática, pois, se o ganho variar, os cálculos deverão ser refeitos. O método do Lugar das raízes permite que as raízes da equação característica sejam representadas graficamente para todos os valores do ganho k. O gráfico do Lugar geométrico das raízes, consiste no desenho de todos os valores que os pólos de malha fechada de uma função de transferência assumirão num plano de coordenadas complexas (portanto traçaremos o gráfico sobre um plano complexo) quando variarmos o ganho k. Considere o sistema abaixo:

2 Diagrama dos pólos Lugar das Raízes

3 Propriedades Importantes Considere o seguinte sistema básico como exemplo:. Condições de ângulo e módulo + KG( s) 0 KG( s) KG ( s) KG( s) + j0 () KG( s) Condição de Módulo o KG ( s) (2k + )80, onde k 0, ±, ±2, ±3,... Condição de ângulo A equação () estabelece que se um valor de s for substituído na função KG( s) obtém-se um número complexo, se o ângulo desse número complexo for múltiplo impar de 80 o, então este valor de s será um pólo do sistema para um valor particular de k. Mostrar que cada caso do o exemplo conduz para KG( s).

4 Propriedades Importantes Por exemplo se KG( s), for dado por: KG( s) ( s + p k( s + z) )( s + p )( s + p 2 3 )( s + p 4 ) Os ângulos dos vetores no plano complexo se originam nos pólos e zeros e vão até um ponto s medidos no sentido anti-horário. Portanto o ângulo de KG( s), será: KG( s) φ θ θ θ θ e o Módulo de KG( s), será: KB KG ( s) A A A A >>Fazer um exemplo. 2. Definição de ramo: Ramo é o caminho percorrido pelo pólo quando variamos o ganho k. (observar na figura do quadro os dois ramos criados pela variação do valor de k).

5 Propriedades Importantes 3. Análise dos pólos e zeros no infinito de uma função de transferência. Toda função de s possuirá um número igual de pólos e de zeros, se for levado em conta os pólos e zeros infinitos. Por exemplo, a Função de Transferência KG( s) K s( s + )( s + 2) tem 3 pólos finitos e nenhum zero finito, mas se analisarmos o comportamento desta função no infinito veremos que: Se a função tender ao infinito, quando s tender ao infinito, então a função terá um pólo no infinito. Se a função tender a zero quando s tender ao infinito, então a função terá um zero no infinito. Fazendo s tender ao infinito, a função se tornará KG ( s ) H ( s ) K s s s K s Cada s do denominador faz com que a função se torne nula quando s tende ao infinito, portanto esta função possui 3 zeros no infinito, como era de se esperar. 4. Simetria O lugar geométrico das Raízes é simétrico em relação ao eixo real.

6 Representação do Gráfico do Lugar das Raízes Vamos estipular 7 passos para traçarmos completamente o gráfico que representa o Lugar geométrico das raízes de uma dada equação característica. Passo : Determinar o número de ramos. O número de ramos do lugar geométrico das raízes é igual ao número de pólos de malha fechada. Passo 2: Determinar os segmentos sobre o eixo real. Neste caso utiliza-se a propriedade de ângulo. Como regra geral, assuma: que No eixo real, o lugar geométrico das raízes existe à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou raízes finitos sobre o eixo real. Passo 3: Determinar os pontos de partida e de término. O lugar geométrico das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s).

7 Representação do Gráfico do Lugar das Raízes (cont.) Passo 4: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito. O Lugar geométrico das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar das raízes tende ao infinito. Além disso, a equação das assíntotas é dada pelo ponto de interseção sobre o eixo real σ e o ângulo, da seguinte forma: pólos finitos zeros σ a # pólos finitos # zeros a, θ a finitos finitos θ a # pólos o (2k + )80 finitos # zeros finitos onde k 0, ±, ±2, ±3,... Fazer exemplo no quadro. Nota-se que ainda ficam faltando alguns detalhes no gráfico: a) Qual o ponto e o ângulo de partida no eixo real? b) Se fosse o caso, qual o ponto e o ângulo de chegada no eixo real? c) Se houvesse pólos e zeros complexos, quais seriam os ângulos de Partida (no caso de pólos) e os ângulos de chegada (no caso de zeros)? d) Qual o valor no eixo imaginário que o lugar das raízes toca? Passo 5: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real. O ponto onde o lugar das raízes deixa o eixo real é chamado de ponto de partida. O ponto onde o lugar das raízes retorna ao eixo real é chamado de ponto de chegada Nesses pontos os ramos do lugar das raízes formam um ângulo de 80 o /n com o eixo real, onde né o número de pólos de malha fechada chegando ou saindo de um ponto de chegada ou de partida no eixo real.

8 Representação do Gráfico do Lugar das Raízes (cont.) Exemplo: Nessecasoosângulosdepartidaechegada,serãode90 º. Os pontos de partida e de chegada são encontrados resolvendo-se a equação: m σ n zi σ p i Os valores de σ a, eixo real. após analisados serão os pontos de partida e/ou chegada no Façamosumexemploparaocasodafiguraacima: Osistematem2pólos,-e-2.Epossui2zeros,3e5.substituindofica: + σ 3 σ 5 + σ + σ + 2 σ 2 26σ 6 0 σ,45, e 3,82

9 Representação do Gráfico do Lugar das Raízes (cont.) Passo 6: Determinar os pontos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos. Para encontrarmos o ângulo de partida de um pólo complexo, primeiramente pegamosumpontode teste,bempróximodopólo que desejamos encontrar o ângulo de partida. Depois sabemos que pela condição de ângulo, a soma dos ângulos formados pelos zeros, menos a soma dos ângulos formados pelos pólos do sistema em estudo deve ser igual a(2k+)80. Fazer um exemplo no Quadro.

10 Representação do Gráfico do Lugar das Raízes (cont.) Passo 7: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários Para se determinar o ponto de interseção no eixo imaginário pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz da seguinte forma: a) escreve-se a matriz de Routh normalmente. b) Encontra-seovalordoGanhoK,fazendoalinhas igualazero. c) Ospontosdecruzamentocomoeixoimaginárioéentãodeterminadocom aresoluçãodaequaçãoauxiliarobtidaapartirdalinhas 2. Fazer um exemplo no Quadro. Configurações Típicas de pólos e zeros e o lugar das raízes correspondentes