Sistemas de Controle 2

Transcrição

1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 2 Cap.10 Técnicas de Resposta em Frequência Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

2 10. Técnicas de Resposta de Frequência 10.1 Introdução Sistemas de Controle 2 Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro Cap.10 Técnicas de Resposta em Frequência 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode 10.3 Introdução ao Critério de Nyquist 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist 10.5 Estabilidade por Intermédio do Diagrama de Nyquist 10.6 Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio do Diagrama de Nyquist 10.7 Estabilidade, Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio dos Gráficos de Bode 10.8 Relação entre Resposta Transitória a Malha Fechada e Resposta de Frequência a Malha Fechada 10.9 Relação entre Respostas de Frequência a Malha Aberta e a Malha Fechada Relação entre Respostas Transitória a Malha Fechada e de Frequência a Malha Aberta Características de Erro do Estado Estacionário a Partir da Resposta de Frequência Sistemas com Retardo Obtendo Funções de Transferência Experimentalmente

3 Gráficos de Bode para G s = s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Polinômios de segunda ordem: A diferença entre a aproximação assintótica e a resposta de frequência real pode ser grande para alguns valores de ζ. Após desenhar as assíntotas uma correção nos diagramas pode ser feita para melhorar a exatidão.

4 Gráficos de Bode para G s = s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Nas baixas frequências: Magnitude, M, em db: Nas altas frequências: s 2 muito grande Reta como dobro da inclinação de um termo de primeira ordem: 12dB/oitava ou 40dB/década Magnitude, M, em db: Frequência de quebra:

5 Gráficos de Bode para G s = s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Normalizando o sistema: Por conveniência, ao representar sistemas com diferentes ω n, normalizamos e colocamos em escala os resultados conhecidos antes de esboçar as assíntotas. Normalizando a magnitude: G s ω n 2 = s2 2 ω + 2ζω ns n ω n Dividir por ω n 2 G s ω n 2 = s ω n 2 + 2ζ s ω n + 1 Substituir s ω n por s 1 G s 1 = s ζs G s 1 tem uma assíntota de baixas frequências em 0 db e uma frequência de quebra em 1 rad/s.

6 Gráficos de Bode para G s = s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Assíntotas do gráfico de magnitude normalizado e em escala. Inclinação de 40dB/década o dobro da inclinação para o sistema de primeira ordem (20dB/década)

7 Gráficos de Bode para G s = s ζω n s + ω n Gráfico de fase Nas baixas frequências: fase 0 Nas altas frequências: fase 180 Determinando demais frequências: G s = s 2 + 2ζω n s + ω2 n G jω = (jω) ζω n (jω) + ω n G jω = (ω) 2 + 2ζω n jω + ω2 n G jω = (ω 2 n ω 2 ) + j2ζω n ω Substituindo: ω = ω n G jω n = j2ζω2 n Fase=+90

8 Gráficos de Bode para G s = s 2 + 2ζω n s + ω n 2 Gráfico de fase O gráfico de fase aumenta a uma taxa de 90 /década a partir de 0,1 até 10 e passa por 90 em 1. Dobro da inclinação do sistema de primeira ordem (45 /década)

9 Correções para Gráficos de Bode de Segunda Ordem Análise do erro entre a resposta real e a aproximação assintótica do polinômio de segunda ordem. Disparidade máxima do polinômio de 1 ordem Magnitude: 3,01 db Fase: 5,71

10 Correções para Gráficos de Bode de Segunda Ordem Análise do erro entre a resposta real e a aproximação assintótica do polinômio de segunda ordem. Disparidade máxima do polinômio de 1 ordem Magnitude: 3,01 db Fase: 5,71 Disparidade do polinômio de 2 ordem: Dependente da relação de amortecimento ζ. G jω = (ω n 2 ω 2 ) + j2ζω n ω Lembrando que ζ para um sistema subamortecido varia de 0 a 1, podemos ter uma boa noção das possíveis variações da resposta através do gráficos a seguir variando de 0 até 1,5. Ponto de correção para o sistema normalizado = -20.log(2* ζ) na frequência de quebra ω= ω n

11 Correções para Gráficos de Bode de Segunda Ordem Logaritmo da magnitude da resposta normalizada e escalonada para

12 Correções para Gráficos de Bode de Segunda Ordem Fase da resposta escalonada para

13 Gráficos de Bode para G s = 1/(s 2 + 2ζω n s + ω n 2 ) Dedução de forma semelhante ao sistema G s = (s 2 + 2ζω n s + ω n 2 ). A frequência de quebra é ω n e o gráfico diminui com uma taxa de -40dB/década. O gráfico de fase apresenta 0 em baixas frequências Magnitude: Reduz com a taxa de -40dB/década após a frequência de quebra Fase: Em baixas frequências: 0 Em 0,1 ω n começa a cair com -90 /década e continua até ω = 10ω n, onde se nivela em A resposta em frequência exata também segue a mesma dedução do sistema G s = (s 2 + 2ζω n s + ω n 2 ).

14 Gráficos de Bode para G s = 1/(s 2 + 2ζω n s + ω n 2 )

15 Gráficos de Bode para G s = 1/(s 2 + 2ζω n s + ω n 2 )

16 G s = (s + 3) (s + 2)(s 2 + 2s + 25)

17 G s = Passo 1) Normalizar G(s) (s + 3) (s + 2)(s 2 + 2s + 25) G s = 3 (2)(25) G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s ) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s )

18 Passo 2) Esboçar gráfico isolados de cada termo de G(s) G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s )

19 Passo 2) Esboçar gráfico isolados de cada termo de G(s) G s = 3 (50) Reta constante em db ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s ) 2 3 5

20 Passo 2) Esboçar gráfico isolados de cada termo de G(s) G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s ) Frequência de quebra = 3 rad/s com -20dB/dec 2 3 5

21 Passo 2) Esboçar gráfico isolados de cada termo de G(s) G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s ) Frequência de quebra = 2 rad/s com -20dB/dec 2 3 5

22 Passo 2) Esboçar gráfico isolados de cada termo de G(s) G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s ) Frequência de quebra = 5 rad/s com -40dB/dec 2 3 5

23 Passo 2) Esboçar gráfico isolados de cada termo de G(s) G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s ) Ponto de correção = -20.log(2* ζ) = -20.log(2* 0.2) = 7.96 db Correção da função de 2 ordem: 2 = 2ζω n = (2)(ζ)(5) ζ = 0.2 Ponto de correção 7.96dB acima do ponto de quebra 2 3 5

24 Passo 2) Esboçar gráfico isolados de cada termo de G(s) G s = 3 (50) Reta constante em db ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s ) Frequência de quebra = 2 rad/s com -20dB/dec Frequência de quebra = 3 rad/s com -20dB/dec Frequência de quebra = 5 rad/s com -40dB/dec 2 3 5

25 Passo 3) Somar efeitos de cada componente do gráfico. Uma tabela pode auxiliar. G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s )

26 Passo 3) Somar efeitos de cada componente do gráfico. G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s )

27 Passo 4) Gráfico de fase G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s )

28 Passo 4) Gráfico de fase G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s ) O pólo de primeira ordem em -2 produz um ângulo de fase que começa em 0 e termina em -90 por intermédio de uma inclinação de - 45 /década começando uma década abaixo e terminando uma década acima da frequência de quebra. 0,2 20

29 Passo 4) Gráfico de fase G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s ) O zero de primeira ordem produz um ângulo de fase que começa em 0 e termina em +90 por intermédio de uma inclinação de +45 /década começando uma década abaixo e terminando uma década acima da sua frequência de quebra. 0,3 30

30 Passo 4) Gráfico de fase G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s ) Os pólos de segunda ordem produzem um ângulo de fase que começa em 0 e termina em -180 por intermédio de uma inclinação de -90 /década começando uma década abaixo da frequência natural (ω n = 5) e terminando uma década acima desta frequência natural. 0,5 50

31 Passo 4) Gráfico de fase G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s )

32 Passo 4) Gráfico de fase G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s )

33 Passo 4) Gráfico de fase G s = 3 (50) ( s 3 + 1) ( s 2 + 1)(s s )

34 10.3 Introdução ao Critério de Nyquist O critério de Nyquist relaciona a estabilidade de um sistema a malha fechada à resposta de frequência a malha aberta e à localização dos pólos a malha aberta. Resposta de frequência a malha aberta Estabilidade do sistema a malha fechada Critério de Nyquist Pólos a malha aberta O critério de Nyquist pode nos dizer quantos pólos a malha fechada estão no semiplano da direita, indicando assim a estabilidade.

35 Dedução do Critério de Nyquist 4 conceitos importantes para a dedução: (1) a relação entre os pólos de 1+G(s)H(s) e os pólos de G(s)H(s); pólos 1+G(s)H(s) pólos G(s)H(s) (2) a relação entre os zeros de 1+G(s)H(s) e os pólos da função de transferência a malha fechada, T(s); zeros 1+G(s)H(s) pólos T(s)= G s 1+G s H(s) (3) o conceito de mapear pontos (4) o conceito de mapear contornos F(s)=s 2 + 2s + 1

36 Seção 10.3 Dedução do critério de Nyquist Dedução longa e detalhada, deve ser estudada no livro. Seu uso será visto em forma de exemplos.

37 10.3 Introdução ao Critério de Nyquist Aplicando o Critério de Nyquist para Determinar a Estabilidade P= número de pólos em malha aberta no interior do contorno que cobre o lado direito do plano s. N= número de rotações em torno de -1 no diagrama de Nyquist. Considerar N positivo se as rotações forem no sentido anti-horário e como negativo se as rotações forem no sentido horário. Z= número de pólos em malha fechada dentro do contorno que cobre o lado direito do plano s. Z=P-N Se Z>0 o sistema é instável

38 10.3 Introdução ao Critério de Nyquist Aplicando o Critério de Nyquist para Determinar a Estabilidade P=0 Não envolve nenhum pólo em malha aberta N=0 Não envolve o -1 no eixo real Z = P N Z = 0 0 = 0 Z=0, não há nenhum pólo em malha fechada do lado direito do plano s. Sistema estável

39 10.3 Introdução ao Critério de Nyquist Aplicando o Critério de Nyquist para Determinar a Estabilidade P=0 Não envolve nenhum pólo em malha aberta N=-2 Envolve o -1 no eixo real 2 vezes no sentido horário Z = P N Z = 0 (-2) = 2 Z=2, há 2 pólos em malha fechada do lado direito do plano s. Sistema instável

40 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Método para esboçar o diagrama de Nyquist: Considere um semi-círculo com raio infinito que cobre todo o plano s da direta. Mapear cada ponto do contorno pela função G(s)H(s) T(s)= Função para mapeamento G s H(s) G s 1+G s H(s) Novos pontos são gerados. Escrever esses pontos na forma polar. Plotar em um gráfico polar. Diagrama de Nyquist

41 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Problema O controle de velocidade encontra uma aplicação ampla na indústria e nas utilidades domésticas. A Fig (a) mostra uma aplicação: o controle da frequência de saída de um sistema de energia elétrica formado por um par turbina-gerador. Regulando a velocidade, o sistema de controle assegura que a frequência gerada se mantém dentro da tolerância. Os desvios em relação à velocidade desejada são captados por sensores, e uma válvula age sobre o vapor para compensar o erro de velocidade. O diagrama de blocos do sistema é mostrado na Fig (b). Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema da Fig

42 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Problema O controle de velocidade encontra uma aplicação ampla na indústria e nas utilidades domésticas. A Fig (a) mostra uma aplicação: o controle da frequência de saída de um sistema de energia elétrica formado por um par turbina-gerador. Regulando a velocidade, o sistema de controle assegura que a frequência gerada se mantém dentro da tolerância. Os desvios em relação à velocidade desejada são captados por sensores, e uma válvula age sobre o vapor para compensar o erro de velocidade. O diagrama de blocos do sistema é mostrado na Fig (b). Esboce o diagrama de Nyquist para o sistema da Fig

43 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist O diagrama de Nyquist é traçado substituindo-se os pontos do contorno mostrado na figura abaixo em G(s) = 500/[(s + 1)(s + 3)(1 + 10)]. A magnitude da resultante é o produto dos comprimentos dos vetores devidos aos zeros dividido pelo produto dos comprimentos dos vetores devidos aos pólos. O ângulo da resultante é a soma dos ângulos devidos aos zeros menos a soma dos ângulos devidos aos pólos.

44 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Deslocando de A (na origem) até C (localizado no infinito): O ângulo resultante vai de 0 a -3 x 90 =-270 (ângulo negativo pois são ângulos de pólos) A magnitude varia do valor 500/(10)(3) = 50/3 (na origem frequência zero) até o limite de zero (na frequência infinita). 500 G s = [(s + 1)(s + 3)(s + 10)]

45 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Deslocando de A (na origem) até C (localizado no infinito): Analiticamente: 500 G s = [(s + 1)(s + 3)(s + 10)] 500 G jω = [(jω + 1)(jω + 3)(jω + 10)] G jω = G jω = ω j(43ω ω 3 ) ω j(43ω ω 3 ) Distributiva Separando parte real e imaginária no denominador 14ω j(43ω ω 3 ) 14ω j(43ω ω 3 ) Racionalizando G jω = ω j(43ω ω 3 ) 14ω ω ω 3 2

46 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Deslocando de A (na origem) até C (localizado no infinito): Na frequência zero: G jω = ω j(43ω ω 3 ) 14ω ω ω 3 2 = = = 50 3 Frequência 0

47 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Deslocando de A (na origem) até C (localizado no infinito): À medida que ω aumenta, a parte real se mantém positiva (produto dos módulos), e a parte imaginária, negativa (soma dos ângulos dos pólos ângulos negativos).

48 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Deslocando de A (na origem) até C (localizado no infinito): Em Q a parte imaginária se torna zero. G jω = ω j(43ω ω 3 ) 14ω ω ω (43ω ω 3 ) 14ω = ω ω3 2 ω = 43

49 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Deslocando de A (na origem) até C (localizado no infinito): Em C a parte imaginária se torna infinita. G jω = ω j(43ω ω 3 ) 14ω ω ω 3 2 G jω = 500j ω3 = 0 com fase 90

50 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Deslocando sobre o semi-circulo infinito de C (no infinito positivo) até D (localizado no infinito negativo): Os 3 vetores saem de +90 e giram até -90, percorrendo no sentido horário então 180 no plano s. No plano GH, o ângulo realiza uma rotação de 180 no sentido anti-horário indo de C até D.

51 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Deslocando sobre o semi-circulo infinito de C (no infinito positivo) até D (localizado no infinito negativo): Analiticamente: G s = 500 [(s + 1)(s + 3)(s + 10)] Todos os módulos são infinitos. A magnitude resultante é zero.

52 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Deslocando sobre o semi-circulo infinito de C (no infinito positivo) até D (localizado no infinito negativo): Analiticamente: Ângulo parte de -270 graus (em C) e vai até +270 graus (em D)

53 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Deslocando de D (no infinito negativo) até A (na origem): A função é impar Sua parte real não mudará de sinal e sua parte imaginária sim. De forma simétrica é desenhada então o restante do Diagrama de Nyquist.

54 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist Quando existem pólos sobre o eixo imaginário é preciso desviar deles de uma distância infinitesimal para impedir que o resultado seja indeterminado e não consigamos determinar o número de rotações em torno de -1. O desvio pode ser feito pela direita ou pela esquerda.

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59 10.5 Estabilidade por Intermédio do Diagrama de Nyquist 10.6 Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio do Diagrama de Nyquist Conteúdos vistos no laboratório