Método de Margem de Ganho

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1 Departamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS custo Método de Margem de Ganho Outros Processos e de de Fase Separação Prof a Ninoska Bojorge Resposta de Frequência malha fechada Métodos de Margem de Ganho e Fase

2 Resposta de Frequência malha aberta 3 Resposta de Frequência malha aberta Margem de ganho (Gm) Define-se como a variação requerida no ganho da malha aberta para levar o sistema à instabilidade. Sistemas com margens de ganho grande podem suportar grandes mudanças nos parâmetros do sistema antes de atingir a instabilidade em malha fechada. Tenha em conta que um ganho unitário na magnitude equivale a zero db. 4

3 Resposta de Frequência malha aberta Margem de ganho (MG) A margem do ganho de um sistema de primeira ou segunda ordem é infinito, mas os diagramas polares para esses sistemas não cruzam o eixo real negativo. Por tanto, em teoria os sistemas de primeira ou segunda ordem não podem ser instáveis. Não obstante, nota-se que tais sistemas de 1ª e 2ª ordem são só aproximações no sentido de que se desprezam pequenos retardos ao deduzir as equações do sistema. Si se tem em conta esses pequenos retardos, os sistemas de primeira ou segunda ordem podem tornar-se instáveis. 5 Margem de ganho (MG ou K g ) A margem de ganho é o reciproco de fase é -180 º. na frequência onde o ângulo de Se define como frequência de oscilação como a frequência na qual o ângulo de fase da função na malha aberta é igual a -180 º. A margem de ganho K g, se expressa como : 1 Kg = G( jw) Em termos de decibelios será: 1 Kg[ db] = 20 log Kg = 20 log = 20 log G( jw) G( jw) Para um sistema estável de fase mínima, a margem do ganho indica quanto ganho se pode aumentar antes de que se torne instável o sistema. 6

4 Parâmetros Críticos Para um sistema instável, a margem de ganho é indicativo de quanta ganho se deve diminuir para fazer estável o sistema. No diagrama de Bode é possível visualizar estes margens. Tal como se vê na seguinte figura encontramos a margem de ganho quando a fase atinge os -180º e encontramos a margem de fase quando o ganho atinge os 0 db. 7 Chapter 14 Características R.F dos Controladores Lembre-se que a R. F caracteriza-se por 1. Razão de Amplitude (AR) 2. Ângulo de fase (φ) Para qq F.T, G(s) AR= G( jω) φ = G( jω) A) Controlador Proportional G () s = K AR = K, φ = 0 C C C B) Controlador PI Para 1 1 GC() s = KC 1+ AR = KC 2 2 τis ω τi φ = tan τω I O diagrama de Bode de um controlador PI é mostrado no próximo slide. Note ω b = 1/τ I. Inclinação assintótica (ω 0) é -1 no plote log-log. 8

5 ω b : frequência de interrupção 9 Controlador Ideal PID. Re-lembrando 1 Gc( s) = Kc(1 + + τ Ds) (14 48) τ s I Controlador PID em Series. A versão mais simples do controlador PID em série é τi s + 1 Gc( s) = Kc ( τ Ds+ 1 ) (14-50) τi s Controlador PID em Série com um filtro da ação derivativa. τis+ 1 τds+ 1 Gc( s) = Kc τis ατds+ 1 (14-51) 10

6 G c Curvas de Bode do controlador PID ideal paralela e do controlador PID série com filtro derivativo (α = 1). Ideal paralelo: Série com Filtro derivativos : 10s+ 1 4s+ 1 s = 2 10s 0.4s+ 1 ( ) 1 Gc ( s) = s 10s 11 Vantagens da Análise de R.F. para o projeto do controlador 1) Aplicável ao modelo dinâmico de qualquer ordem (incluindo não-polinômios). 2) Projetista de controle de processos pode especificar a resposta característica desejada em malha fechada. 3) Informações sobre a estabilidade e sensibilidade / robustez são fornecidos. Desvantagem: A abordagem tende a ser repetitiva e, portanto demorada. - Usar Computação Gráfica interativa é desejável (MATLAB) 12

7 Resposta de Frequência de Controlador - Margens de Estabilidade - Analisar G OL (s) = G C G V G P G M (ganho malha aberta) Três métodos em uso: (1) Diagrama de Bode G, φ vs. ω (R.F. malha aberta) (2) Diagrama de Nyquist gráfico polar de G(jω) - Anexo J (Seborg) (3) Carta de Nichols chart G, φ vs. G/(1+G) (R.F. malha fechada) - Anexo J (Seborg) Vantagens: não necessitam de calcular raízes da equação característica podem ser aplicadas a sistemas com tempo morto pode identificar margem de estabilidade, ou seja, que tão perto se esta da instabilidade

8 Critérios de Estabilidade de Resposta de Frequência Dois resultados principais: 1. Critério de estabilidade de Bode 2. Critério de Estabilidade de Nyquist I) Critério de estabilidade de Bode Um sistema de malha fechada é instável se a RF da F.T malha aberta. G OL =G C G P G V G M, tem uma razão de amplitude maior que 1 na frequência critica, ω c. Caso contrário, o sistema de malha fechada é estável. 15 Note: ω C = valor de ω quando o ângulo de fase em malha aberta é -180º. Assim O Critério de Estabilidade de Bode fornece informação sobre malha fechada e informação da estabilidade da R.F malha aberta. 16

9 Exemplo 1: Seja um processo que tem a F.T, G p (s) = 2 (0.5s + 1)3 E GV = 0.1, GM = 10. Se o controle proporcional é usado, determine A estabilidade malha fechada para 3 valores de Kc: 1, 4, e 20. Solução: A FTMA é GOL=GCGPGVGM ou... GOL ( s ) = 2 KC (0.5s + 1)3 Os diagramas de Bode para os 3 valores de Kc são apresentados na seguinte figura. Nota: As curvas de ângulo de fase são idênticas. A partir do diagrama de Bode observa-se: KC 1 4 AROL 0,25 1,0 20 5,0 estável? sim condicionalmente estável Não Chapter Figura - Diagrama de Bode para GOL = 2Kc/(0.5s + 1)3. 18

10 Para o controle Proporcional, o melhor ganho K cu é definido como sendo o maior valor de K c que resulta em um sistema malha fechada estável. Para o controle Proporcional, G OL = K c G e G = G v G p G m. AR OL (ω)=k c AR G (ω) onde AR G denota a razão de amplitude de G. no limite da estabilidade, ω = ω c, AR OL (ω c ) = 1 e K c = K cu. K CU = 1 AR ( ω ) G c 19 Exemplo 2 Determine a estabilidade do sistema malha fechada, G p s 4e ( s) = 5s + 1 onde G V = 2.0, G M = 0.25 e G C =K C. Encontrar ω C do diagrama de Bode. Qual é o valor maximo de K c para um sistema estável? Solução: O diagrama de Bode para K c = 1 é mostrado na seguinte figura Note que: ω = 1.69rad min C AR OL ω= ω C = KC max = = = 4.25 AR OL 20

11 Ganho ultimo e período críticos Ganho último: K CU = valor máximo de K C que resulta em um sistema em malha fechada estável quando é usado somente o controle proporcional. Período ultimo: P U 2π ω C K CU pode ser determinado da RFMA quando o controle usado é proporcional com K C =1. Assim K CU 1 = for KC = 1 AR OL ω= ω C Nota: sistemas de primeiro e de segunda ordem (sem tempo morto) não têm um valor K CU se a ação do controlador PID é incorreto. 22

12 Margem de Ganho e Margem de Fase A margem de ganho (MG) e margem de fase (MF) fornecem medidas do sistema malha fechada no seu limite de estabilidade. Margem de ganho : seja A C = AR OL em ω = ω C. Logo, a margem do ganho é definido como: MG = 1/A C Critério de estabilidade do Bode, MG >1 estabilidade Margem de fase : seja ω g = frequência na qual AR OL = 1.0 e o correspondente do angulo de fase angulo é φ g. A margem de fase é definida como: MF = φ g Critério de estabilidade Bode, MF >0 estabilidade ver Figure (Seborg) 23 24

13 Regras de ouro: Um sistema de controle FB bem projetado terá: 1,7 MG 2,0 30º MF 45º R.F. Característica malha fechada: Uma análise dos RFMF fornece informação útil sobre o desempenho do sistema de controle e sua robustez. As RFMF desejadas típicas para perturbação e para mudanças no setpoint são mostradas no Apêndice J do livro de Seborg. 25 Para obter o diagrama de Bode de uma função de transferência, podemos usar a função bode do MATLAB. Por exemplo: >> num = 50; >> den = [ ]; >> sys = tf(num,den); >> bode(sys) ou com a única ordem: >>bode(50,[ ]) 26

14 Também se podem achar diretamente as margens de fase e de ganho utilizando a função margin. Esta função Matlab devolve os valores das márgens de fase (MF) e de ganho (MG nas frequências critica da fase (ω FC ) e de ganho (ω GC ), estas últimas entre parênteses, e sua representação num diagrama de Bode. >> margin(sys) ω FC ω GC 27 Obtenha os márgens de fase e ganho do sistema para os casos em que K = 10 e K = 100. >> num = 10; >> den = conv([1 0],conv([1 1],[1 5])) >> sys = tf(num,den); >> bode(sys) >> margin(sys) 28

15 Obtenha os márgens de fase e ganho do sistema para os casos em que K = 10 e K = 100. >> num = 100; >> den = conv([1 0],conv([1 1],[1 5])) >> sys = tf(num,den); >> bode(sys) >> margin(sys) Resultados: MG MF db 25.39º (at rad/sec) (at rad/sec) db º (at rad/sec) (at rad/sec) 29 Obtenha os márgens de fase e ganho do sistema para os casos em que K = 10 e K = 100. Conclusão: K MG MF db 25.39º (at rad/sec) (at rad/sec) Estável db º (at rad/sec) (at rad/sec) Inestável 30