Projeto através de resposta em frequência

Transcrição

1 Guilherme Luiz Moritz 1 1 DAELT - Universidade Tecnológica Federal do Paraná 04 de 2013

2 Objetivos Refoçar o conceito das características da resposta em frequência Saber utilizar o diagrama para projeto de compensadores

3 Revisão de resposta em frequência Sinais estreitos no domínio no tempo têm banda larga As componentes de alta frequência fazem o sistema reagir mais rapidamente. Os compensadores atuam como filtros que atenuam ou amplificam as componentes que nos interessam para melhorar a resposta do sistema!

4 Características dos filtros PI e Atraso de fase Reduzem o erro de estado estacionário mas deixam o sistema mais lento Passabaixa PD e Avanço de Fase Melhoram a resposta transitória (tempo de estabelecimento e tempo de subida) Passa-alta

5 Análise de estabilidade U(S) + - K G(S) Y(S) H(S) A análise de estabilidade deve avaliar o ganho quando a fase é 180 o (inversão de fase) Ganhos maiores que 1 indicam instabilidade!

6 Margens do sistema Margem de Ganho: Quanto de ganho que pode ser adicionado ao sistema para que ele continue estável. Margem de Fase: Quanto de fase falta para levar um ganho positivo a -180 o

7 Coeficiente de amortecimento e K p O coeficiente de amortecimento está relacionado à margem de fase (consequentemente o sobresinal): ζ MF 100 (1) A constante de erro de posição pode ser deduzida do valor de partida do diagrama já que K p = lim jω 0 G(S)

8 Revisão de equações ζ = ln(%p.o./100) π 2 + ln 2 (%P.O./100) (2) 2ζ Φ m = arctg 2ζ 2 + (3) 1 + 4ζ 4 ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4ζ (4) T s = 4 (5) ζω n π T p = (6) ω n 1 ζ 2

9 Motivações A margem de fase está relacionada com o coeficiente de amortecimento do sistema (3), assim como o %P.O. Podemos ajustar o ganho para fazer a margem ter o valor que quisermos, a fim de ajustar o %P.O. do sistema!

10 Procedimento Trace o diagrama de Bode com um valor conveniente de ganho Usando (2) e (3) determine a margem de fase requerida Determine a frequência ω Φm que leva a margem para o valor desejado Ajuste o ganho para que o diagrama de bode cruze 0dB em ω Φm

11 Procedimento

12 Exemplo Dado o sistema abaixo, determinar o valor do ganho para que o sistema apresente uma ultrapassagem percentual de 9.5%. K = 3, 6 para iniciar o diagrama em 0dB para ω = 0, 1 %P.O = 9, 5% ζ = 0, 6 Φ m = 59, 2 o

13 Procedimento Procurar Φ m = 59, 2 o no diagrama de bode Ajustar o ganho para o diagrama cruzar 0dB nesta frequência (44, 2dB) 0 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s)

14 Revisão Quando projetamos pela técnica do lugar das raízes projetamos controladores PI e PD Agora estuda-se controladores por atraso e avanço de fase Qual a diferença entre eles? com α > 1 G c (s) = s + 1 T s + 1 αt (7)

15 Motivações Melhorar a constante de erro estático alterando apenas o ganho nas baixas frequências (para não resultar em instabilidade) Aumentar a margem de fase do sistema para atender uma especificação de resposta transitória.

16 Procedimento Ajuste o ganho K para que o sistema atinja a especificação de erro desejada. Determine uma frequência de corte ω 1 que atinja a Φ m desejada (adiciona-se 5 o a 12 o para também compensar a contribuição do controlador)

17 Procedimento A frequência de corte do zero do compensador é uma década inferior a frequência ω 1 : ω z = ω 1 10 (8) A frequência do polo é determinada pela equação: ω p = ω z G(jω 1 ) (9)

18 Exemplo U(S) + - K G(S) Y(S) Se G(s) = 1 s(s+2) Projetar um compensador de atraso de fase para que o sistema possua erro em regime permanente de 0.05 para uma entrada em rampa e tenha Φ m = 35 o.

19 Exemplo Passo 1, determinar o K v : sk K v = lim sg(s) = lim s 0 s 0 s(s + 2) = k 2 (10) E = 1 K v = 1 k 2 = 0.05 k = 40 (11)

20 Exemplo Procurar a frequência que atende os requisitos de margem de fase (+ margem de segurança 10 o no caso) G(jω) = Φ m = 135 o ω 1 = 2 (12) Obter também a magnitude neste ponto 17dB 50 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s)

21 Exemplo A frequência de corte do zero do compensador é uma década inferior a frequência ω 1 : ω z = ω 1 10 = 2 = 0.2 (13) 10 A frequência do polo é determinada pela equação: ω p = ω z G(jω 1 ) = dB = = (14) s 0.2 C(s) = s (15)

22 Exemplo 35 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s)

23 Exemplo 150 Bode Diagram 100 Magnitude (db) Phase (deg) 135 System: untitled2 Phase Margin (deg): 40 Delay Margin (sec): At frequency (rad/s): 2.01 Closed loop stable? Yes Frequency (rad/s)

24 Exemplo 1.8 Step Response Amplitude Time (seconds)

25 Motivações Aumenta a margem de fase do sistema, melhorando a resposta transitória do sistema Implementado como um filtro passa-alta. sendo Z c < P c C(s) = k s + Z c s + P c (16)

26 Procedimento Ajuste o ganho K para que o sistema atinja a especificação de erro desejada. Determine uma frequência de corte ω 1 que atinja a Φ m desejada (adiciona-se 5 o a 12 o para também compensar a contribuição do controlador)

27 Procedimento Projetar um compensador de avanço de fase consiste em achar dois parâmetros: constante de tempo (T ) e ganho de alta frequência (α) onde: C(s) = k αts + 1 Ts + 1 (17)

28 Apresentação O pico da contribuição de fase deve ocorrer no ponto onde o ganho vale 0dB O valor do pico deve se alto o suficiente para atender os requisitos da nova margem

29 Procedimento Ajuste o ganho K para que o sistema atinja a especificação de erro desejada. Determinar a margem de fase atual do sistema, com o ganho ajustado. Determinar a contribuição do compensador: θ max = ( Φ m(desejado) Φ m(atual) ) + 10% (18)

30 Procedimento Ajuste o ganho K para que o sistema atinja a especificação de erro desejada. Determinar a margem de fase atual do sistema, com o ganho ajustado. Determinar a contribuição do compensador: θ max = ( Φ m(desejado) Φ m(atual) ) + 10% (19)

31 Procedimento Determinar α: sen(θ max ) = α 1 α + 1 Determinar a frequência ω max : A máxima contribuição de fase do compensador deve se dar no ponto de interesse para aproveitar ao máximo o compensador: O ganho máximo do compensador é: (20) C(ω max ) = 20log α (21) Assim, escolhemos o ponto de ω max sendo C(ω max ) na função não compensada: G(s) = 20log α (22)

32 Procedimento Sabendo-se α e ω max, calcula-se T da relação: T = 1 ω max α (23) E assim: C(s) = k αts + 1 Ts + 1 (24)

33 Exemplo U(S) + - K G(S) Y(S) Se G(s) = 1 s(s+2) Projetar um compensador de avanço de fase para que o sistema possua erro em regime permanente de 0.05 para uma entrada em rampa e tenha Φ m = 45 o.

34 Exemplo Passo 1, determinar o K v : sk K v = lim sg(s) = lim s 0 s 0 s(s + 2) = k 2 (25) E = 1 K v = 1 k 2 = 0.05 k = 40 (26)

35 Exemplo Bode Diagram Frequency (rad/s) System: untitled1 Phase Margin (deg): 18 Delay Margin (sec): At frequency (rad/s): 6.17 Closed loop stable? Yes Verificar a margem de fase atual do sistema para o ganho calculado (18dB): Phase (deg) Magnitude (db)

36 Exemplo Fazer: θ max = ( Φ m(desejado) Φ m(atual) ) +10% = (45 18) 1.1 = 30 o Calculo do α: (27) sen(θ max ) = α 1 α + 1 = sen(30o ) α = 3 (28) Agora se encontra a frequência ω max : Assim: ω max = 8, 3rad/s 20log α = 4.77dB (29)

37 Exemplo Achar o T : T = Encontrar a função de transferência: 1 ω max α = 0, (30) C(S) = k αts + 1 TS + 1 O que resulta em: = 40 30, 06956S + 1 0, 06956S + 1 (31) S + 4, 792 C(S) = 120 S + 14, 376 (32)

38 Exemplo 50 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s)

39 Exemplo 42 Bode Diagram 40 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s)

40 Exemplo Step Response Amplitude Time (seconds)

41 Atraso e avanço de fase Projetar um compensador por atraso de fase para reduzir o ganho nas altas frequências, estabilizar o sistema e melhorar o erro. Em seguida projetar um compensador por avanço de fase para atender o requisito de margem de fase.