2 a Prova - CONTROLE DINÂMICO - 2 /2017

Transcrição

1 ENE/FT/UnB Departamento de Engenharia Elétrica Prova individual, sem consulta. Faculdade de Tecnologia Só é permitido o uso de calculadora científica básica. Universidade de Brasília (Números complexos & funções trigonométricas) Prof. Adolfo Bauchspiess Sala AT-15, 16/1/217, a Prova - CONTROLE DINÂMICO - 2 /217 Prova Tipo Especificações M p 1% 1% 1% 16% 16% 16% 25% 25% 25% Questão 2: e ss,15,2,25,15,2,25,15,2,25 Parâmetros p Questão 3: p MF 1 ζ; D s = K '()* ()- = K, +'()* (). Z = N + P N Env. Horários 1 α = p z = 1 + senφ 8 1 senφ 8 fator de avanço max D jω = D jω 8 = φ 8 Mp(%) Sobrepasso Percentual Processo 2a ordem sem zeros t r(1-9%) 1,8/ω n σ = ζω n t s(2%) = 4/σ ω 8 = pz = * +' ; D(jω 8) = p/z z - Fator de Amortecimento 1 a Questão (2,) O diagrama de Bode de um sistema, que possui um polo no semi-plano direito, em malha aberta, é mostrado na folha de respostas. Para operação em malha fechada: a) (,6) Quais a Margem de Fase e a Margem de Ganho? b) (1,4) Via critério de Nyquist, para quais valores de K este sistema é estável. 2 a Questão (3,5) Projete um compensador em avanço, D(s), no domínio-ω, para que o sistema mostrado na folha de respostas (sem polos de malha aberta no SPD) apresente: M p e e ss (cf tabela). Referência r e u K Gain zeros(s) poles(s) Modelo: Resp. Freq - Bode y Saída a) (,5) Verifique, inicialmente, para quais valores de K, o sistema é estável. b) (,6) Ajuste o valor de K para atender e ss. Qual a Margem de Fase obtida? ω c (KG=dB)? c) (,4) Calcule o avanço de fase necessário = φ MN(NOPMQ φ PRSPT + φ RQT. Como a queda de fase é acentuada em torno da região de interesse, adote φ RQT = 4. d) (,5) Obtenha ω m, a frequência central de D(s) tal que D(jω 8 ) MY = KG(jω 8 ) MY. e) (1,) Complete o projeto D s = [ ()- ().. f) (,5) Qual a margem de fase obtida, de fato, por este projeto?

2 2ª Prova- 2 Sem CONTROLE DINÂMICO ENE/UnB 2 3 a Questão (4,5) Considere o projeto de um controlador para um processo industrial com as seguintes especificações: - Sobrepasso percentual, M p 1%. - Tempo de acomodação, t s(2%) 1 s. - Erro nulo em regime para um degrau de perturbação. Terminologia Controlador Industrial: SV - SetPoint Value = sinal referência, r PV Process Variable = variável controlada, y MV- Manipulated Variable = sinal de controle, u DV Disturbance Variable = perturbação, w Adaptado de DV w r SV K(s+z)(s+z) s Controlador, D(s) MV +sat/-sat us 1 (s+p1) Processo, G(s) y Osc. Controlador Automático PV p2 (s+p2) Sensor, H(s) a) (,5) Qual a posição do pólo dominante s, que atende às especificações de projeto? b) (,5) Dentre os controladores (P, I, D, PI, PD, PID, Avanço, Atraso, Avanço-Atraso, Avanço-Avanço), quais poderiam ser utilizados? Justifique. c) (2,) Projete um controlador D s = K(s + z) ] /s que atenda todas as especificações. d) (1,) Degraus de referência r, de que amplitude, não sofreriam saturação, se sat=1 V? e) (,5) D(s) em c) não é realizável (função de transferência não própria). Acrecentando-se um polo rápido em s = -1, D s = [(()-)_, qual o polo dominante correspondente, s ` ( abb )* c,?

3 2ª Prova- 2 Sem CONTROLE DINÂMICO ENE/UnB 3 1 a Questão Gabarito a) (,6) MG = -1,9 db (26.6 db em 46 rad/s também apresenta -18 ); MF = 34,2 b) (1,4) P=1; Z= N=-1; Estável entre 1/1^(1,9/2) e 1/1^(-26,6/2):,285 K 21,38. >> g1=zpk([-3],[ ],1);figure(1);nyqlog(g1);figure(2);margin(g1) 1 Gm = -1.9 db (at 1.89 rad/s), Pm = 34.2 deg (at 4.62 rad/s) N=1 N=-1 N=1 N= System: g3 : 46.1 : System: g3 : 46 : db a Questão (3,5) a) (,5) Verifique, inicialmente, para quais valores de K, o sistema é estável. Estável para K 3, 55 (29,7 db), (1/1^(-29,7/2)=3,55 >>g2=zpk([-1],[ ],2); db +6

4 2ª Prova- 2 Sem CONTROLE DINÂMICO ENE/UnB 4 b) (,6) Ajuste o valor de K para atender e ss. Qual a Margem de Fase obtida? ω c (KG=dB)? c) (,4) Calcule o avanço de fase necessário = φ MN(NOPMQ φ PRSPT + φ RQT. Como a queda de fase é acentuada em torno da região de interesse, adote φ RQT = 4. d) (,5) Obtenha ω m, a frequência central de D(s) tal que D(jω 8 ) MY = KG(jω 8 ) MY. e) (1,) Complete o projeto D s = [ ()- ().. f) (,5) Qual a margem de fase obtida, de fato, por este projeto? I) Projeto D(s) = K(s+z)/(s+p) Prova M p 1% 1% 1% 16% 16% 16% 25% 25% 25% e ss,15,2,25,15,2,25,15,2,25 MF 1ζ K (ess) 26,78 2,9 16,7 26,78 2,9 16,7 26,78 2,9 16,7 b) MF atual 4,32 15,1 24,58 4,32 15,1 24,58 4,32 15,1 24,58 ω c 33,87 33,87 33,87 33,87 33,87 33,87 33,87 33,87 33,87 c) φ Pq 95,68* 84,9 75,41 85,68 74,9 65,41 75,68 64,9 55,41 1/α 46,49 53,58 61,67 72,62 56,9 21,6 63,36 2,17 1,32 d) 1/α 26,9 27,2 17,86 28,47 17,55 13,24 18,2 13,5 1,14 ω m 1, 95, 59,8 11, 64, 48,8 72,3 52, 45, z 4,95 4,23 7,65 4,14 8,48 1,63 9,8 11,57 14, e) p 216,2 2131,9 467,3 2915,8 482,8 224, 575,5 233,6 144,5 K f) MF f 27,36 3,23 39,89 25,82 35,93 4,93 31,4 35,53 41,6 *Avanço máximo possível com uma rede em avanço = 9 o. φ Pq 75 o, ainda podem ser realizados de forma prática. II) Projeto D(s) = K(s+z) 2 /(s+p) 2 Prova c) φ Pq /2 47,83 42,44 37,7 42,83 37,44 32,7 37,83 32,44 27,7 1/α 6,73 5,15 4,14 5,24 4,1 3,35 4,17 3,31 2,73 d) 1/α}dB 16,56 14,24 12, ,26 1,5 12,41 1,41 8,74 ω m 68,3 55,6 47, 63, 51, 43, 57,5 47, 4, z 1,14 1,79 11,32 12, 12,43 12,83 13,77 14,17 14,6 e) p 459,65 286,47 195,3 33,68 29,23 144,1 24, 155,82 19,52 K 45,29 26,54 17,22 27,55 16,83 11,23 17,42 1,99 7,49 f) MF f 24,9 25,55 27,52 26,13 27,1 29,1 26,55 28,52 31,75 III) Projeto D(s) = K(s+z) 2 /(s+p) 2 com heurística ω m = 2ω m (fase de G(s) bem definida), Prova d), ω 8 136,6 111,2 94, 126, 12, 86, 115, 94, 8, z 2, , , ,47 24, , , , ,2179 e) p 919,31 572,95 39,7 661,36 418,47 288,2 48, 311,64 219,4 K 45, , ,226 27, , ,233 17,4222 1,9917 7,4969 f) MF f 82, , , , , , , , ,2782 Note que, neste caso, em que a queda da fase é acentuada na região de interesse a estratégia de projeto de se alocar ω 8 segundo D(jω 8 ) MY = KG(jω 8 ) MY não é suficiente. Para efeitos de correção todas as estratégias (I, II e III) aqui apresentadas, foram consideradas. Considerações adicionais: - O aumento do erro aceitável em regime permanente perimitiria atender à margem de fase. - O projeto do compensador de avanço em regiões de acentuada queda de fase é muito sensível. Fase e ganho devem ser considerados em conjunto na escolha de ω 8.

5 2ª Prova- 2 Sem CONTROLE DINÂMICO ENE/UnB 5 Gm = 2.3 db (at 331 rad/s), Pm = 27.4 deg (at 11 rad/s) Gm = 22 db (at 41 rad/s), Pm = 25.8 deg (at 111 rad/s) Gm = 22 db (at 343 rad/s), Pm = 3.2 deg (at 94.3 rad/s) Gm = 15.1 db (at 158 rad/s), Pm = 35.9 deg (at 64.2 rad/s) Gm = 16.1 db (at 157 rad/s), Pm = 39.9 deg (at 59.8 rad/s) Gm = 12.9 db (at 17 rad/s), Pm = 4.9 deg (at 48.9 rad/s) Gm = 14.5 db (at 171 rad/s), Pm = 31 deg (at 72.7 rad/s) Gm = 11.8 db (at 18 rad/s), Pm = 35.5 deg (at 53.3 rad/s) Questão 2 Estratétiga de projeto I Provas tipo 1 a 9. Gm = 11.6 db (at 83.8 rad/s), Pm = 41.6 deg (at 41.2 rad/s) Gm = 23.4 db (at 938 rad/s), Pm = 82.7 deg (at 126 rad/s) Gm = 23.3 db (at 672 rad/s), Pm = 81.4 deg (at 9.9 rad/s) Gm = 22.9 db (at 589 rad/s), Pm = 84.4 deg (at 82.9 rad/s) Gm = 22.6 db (at 428 rad/s), Pm = 81.5 deg (at 63.6 rad/s) Gm = 22.5 db (at 44 rad/s), Pm = 85.6 deg (at 59.7 rad/s) Gm = 21.9 db (at 296 rad/s), Pm = 81.5 deg (at 48 rad/s) Gm = 22.8 db (at 484 rad/s), Pm = 77.2 deg (at 7.9 rad/s) Gm = 22 db (at 314 rad/s), Pm = 76.2 deg (at 51.4 rad/s) Questão 2 Estratétiga de projeto III Provas tipo 1 a 9. Gm = 21.3 db (at 22 rad/s), Pm = 75.3 deg (at 4 rad/s)

6 2ª Prova- 2 Sem CONTROLE DINÂMICO ENE/UnB 6 3a Questão a) (,5) s = -4 +5,33i b) (,5) Apenas PID. Justificativa: e ss = canali. Avanço necessário zero duplo. c) (2,) D s = K(s + z) ] /s d) (1,) r max = 1/K (com uso do teorema do valor inicial) e) (,5) 1/(s /1+1) = 1, i = 1,4 3,18. O polo adicional que torna o sistema realizável é adicionado de tal forma a alterar pouco o sistem já compensado. Considerando, de forma aproximada, a contribuição em módulo e fase em s c, s *(1,385-,577i) = i Solução extata (só com uso recursos computacionais): [ ()- Projeto inicial: _. _ =-1 K ( (). a (). c, z c (para K c, z c a eq. característica terá polos em s ). _ (b Raízes da eq. característica modificada: [ b ()- b _. _ ( *cc)* ( (). a (). _ =-1; roots(k c s + z c ] p ] + s s s + p * s + p ] ) Solução Exata s c, = 4,9 + 5,61i (erro p/ s, em módulo 4%, erro em fase,63%) Obs: De ambas as formas verifica-se que o polo adicional altera o projeto da ordem de 4%. Erro da ordem de grandeza típica, como a da utilização de valores comerciais em projetos reais. % ts=1 seg -> sigma=-4 s = i; % Mp=1% -> asind(.6)=36.87 (aproximação gráfica). s = i; % Mp=1% -> asind(.58)=35.45 (solução exata ) Zeta=, φ Pq z K r max Zeta=, φ Pq z K r max