Critério de Estabilidade: Routh-Hurwitz

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1 Critério de Estabilidade: Routh-Hurwitz O Critério de Nyquist foi apresentado anteriormente para determinar a estabilidade de um sistema em malha fechada analisando-se sua função de transferência em malha aberta Outro Critério de Estabilidade bastante conhecido é devido a Routh-Hurwitz Routh-Hurwitz encontraram condição necessária e suficiente para que um sistema LIT seja estável: precisa-se garantir que todos os polos da função de transferência de malha fechada tenham parte real negativa (pólos estejam localizados semiplano esquerdo do plano-s) 1 of 17

2 Critério de Estabilidade: Routh-Hurwitz Exemplo Considere G(s) = s 10 (s +2)(s 2 +s +2) Os pólos são 2, 1+ 7j Então G(s) é estável 2, 1 7j 2 e todos possuem parte real negativa Alerta Note que analisamos somente o denominador de G(s), pois somente ele determina os pólos A equação do denominador também é conhecida como Equação Característica 2 of 17

3 Critério de Estabilidade: Routh-Hurwitz Considere agora G(s) = s 10 s 7 +6s 6 +s 4 +9s 3 +s 2 +1 Para determinar a estabilidade, deve-se calcular todas as raízes da equação característica s 7 +6s 6 +s 4 +9s 3 +s 2 +1 = 0 Essa tarefa é difícil sem o auxílio do computador Routh-Hurwitz desenvolveram um método capaz de determinar a localização das raízes da equação característica sem necessidade de calcula-las explicitamente 3 of 17

4 (1) Escreva a equação característica da seguinte forma: a 0 s n +a 1 s n 1 + +a n 1 s +a n = 0 Veja se todos os coeficientes da equação característica são positivos (2) Caso a condição anterior seja satisfeita, arranje os coeficientes do polinômio de acordo com o seguinte padrão (Arranjo de Routh): b 1 = a1a2 a0a3 a 1 = 1 a 0 a 2 a 1 a 1 a 3 s n a 0 a 2 a 4 s n 1 a 1 a 3 a 5 s n 2 b b 1 b 2 b 3 2 = a1a4 a0a5 a 1 = 1 a 0 a 4 a 1 a 1 a 5 s n 3 c 1 c 2 c 3 s n 4 d 1 d 2 d 3 s 2 e 1 e 2 s 1 f 1 s 0 g 1 B A Angelico, P R Scalassara, A N Vargas, UTFPR, Brasil b 3 = a1a6 a0a7 a 1 = 1 a 1 a 0 a 6 a 1 a 7 c 1 = 1 b 1 a 1 a 3 b 1 b 2 4 of 17

5 O processo de formação das linhas continuará até que se esgotem todos os elementos, ou sejam até que a n-ésima linha seja completada (3) Critério de Routh-Hurwitz: o número de raízes com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinais dos elementos da primeira coluna do arranjo Exemplo Aplique o critério de Routh-Hurwitz para verificação da estabilidade de um sistema com a equação característica a seguir: s 4 +2s 3 +3s 2 +4s +5 = 0 s s s s 1-6 s 0 5 Há duas mudanças de sinal na primeira coluna, ou seja, há duas raízes com partes reais positivas 5 of 17

6 Para utilização do critério de Routh-Hurwitz, deve-se considerar alguns casos: Caso 1: Caso já discutido, onde não há elementos nulos na primeira coluna do arranjo Caso 2: Há um valor nulo na primeira coluna, porém alguns elementos dessa linha são não nulos Neste caso o zero é substituído por um parâmetro, ǫ > 0, suficientemente pequeno Exemplo Considere o seguinte polinômio: s s s 3 ǫ 6 s 2 c 1 10 s 1 d 1 s of 17 B A Angelico, P R Scalassara, A N Vargas, UTFPR, Brasil s 5 +2s 4 +2s 3 +4s 2 +11s +10 = 0 c 1 = 4ε 12 ε 12 ε d 1 = 6c 1 10ε c 1 6

7 Exemplo (Continuação) Há duas mudanças de sinal e, portanto, há duas raízes no semi-plano direito roots([ ]) ans = i i i i B A Angelico, P R Scalassara, A N Vargas, UTFPR, Brasil Caso 3: Linha com todos os elementos nulos - Essa condição ocorre quando a equação característica possui fatores do tipo (s + σ)(s σ) ou (s +jω)(s jω) ou duas/quatro raízes reais de igual valor e sinais opostos - O arranjo é continuado formando-se um polinômio auxiliar, P(s), com os coeficientes da última linha não-nula e utilizando os coeficientes da derivada de P(s) na próxima linha - A ordem do polinômio auxiliar é sempre par e indica o número de raízes simétricas 7 of 17

8 Exemplo Considere a seguinte equação característica: s 5 +2s 4 +24s 3 +48s 2 25s 50 = 0 s s Polinômio Auxiliar P(s) s s 2 s 1 s 0 Os termos na linha s 3 são todos nulos Isso, quando ocorre, é sempre em linhas ímpares O polinômio auxiliar é dado por: P(s) = 2s 4 +48s 2 50 A derivada de P(s) em relação a s é dada por: 8 of 17 dp(s) ds = 8s 3 +96s

9 Exemplo (Continuação) O arranjo então é completado da seguinte forma: s s s s s 1 112,7 0 s 0-50 Como há mudanças de sinal na primeira coluna, há raízes no semi-plano direito e, portanto, o sistema é instável Em casos como esse, o polinômio auxiliar é um polinômio par (possui expoentes de s que são inteiros pares ou zero) Sempre é um fator do polinômio original, ou seja, as raízes de P(s) também são raízes do polinômio original 9 of 17 B A Angelico, P R Scalassara, A N Vargas, UTFPR, Brasil s 5 +2s 4 +24s 3 +48s 2 +25s +50 = ( 2s 4 +48s ) (0,5s +1) }{{} P(s)

10 Exemplo (Continuação) As raízes de um polinômio par ocorrem em pares que são iguais em magnitude, mas com sinais opostos Tais raízes podem ser em pares puramente reais e/ou pares puramente imaginários e/ou complexas Se complexas, as raízes ocorrem sempre em grupos de quatro, devido às raízes complexas conjugadas Neste caso 3, haverá apenas sistemas instáveis ou marginalmente estáveis Caso 4: Raízes duplas, triplas, etc no eixo imaginário É um caso patológico e o critério de Routh-Hurwitz não revela este tipo de instabilidade 10 of 17

11 Exemplo Considere a seguinte equação característica: Q(s) = (s +1)(s +j)(s j)(s +j)(s j) = s 5 +s 4 +2s 3 +2s 2 +s +1 = 0 s s Polinômio auxiliar P(s) = s 4 +2s 2 +1 s coeficientes de P (s) s Polinômio auxiliar R(s) = s 2 +1 s 1 2 coeficientes de R (s) s 0 1 Notequenãohouveinversãodesinais, oquegera umasituaçãofalsade sistema marginalmente estável No entanto, raízes repetidasno eixo imagináriolevam a termos do tipotsin(t+ φ) na resposta temporal, o que não é estável 11 of 17

12 Exemplo (Continuação) Novamente, os polinômios pares são fatores de Q(x), pois, Q(s) = (s +1)(s +j)(s j) (s +j)(s j) }{{}}{{} } R(s) R(s) {{ } P(s) Exemplo Considerando o sistema abaixo, determine o intervalo de valores de K para que haja estabilidade 12 of 17

13 Exemplo (Continuação) A função de transferência de malha fechada é dada por: Y(s) R(s) = K s(s 2 +s +1)(s +2)+K A equação característica é s 4 +3s 3 +3s 2 +2s +K = 0 Tem-se o seguinte arranjo s K s s 2 7/3 K s 1 2 (9/7)K s 0 K B A Angelico, P R Scalassara, A N Vargas, UTFPR, Brasil Para sistema estável (sem troca de sinais na primeira coluna), tem-se: 14 9 > K > 0 13 of 17

14 Exemplo (Continuação) Quando K = 14 9, o sistema é marginalmente estável Resposta ao degrau para alguns valores de K: 14 of 17

15 Homework Determine se o sistema representado por cada equação característica abaixo é Estável, Marginalmente estável, ou Instável e a Qtde de polos no semiplano direito sobre jω e semiplano esquerdo 15 of 17

16 Homework Determine o intervalo de valores de K t de modo a garantir a estabilidade do sistema abaixo 16 of 17

17 Dica de atividades Dica 1 Fazer os Exercícios apresentados no livro K OGATA, Engenharia de Controle Moderno 17 of 17