AULA #12. Estabilidade de Sistemas de Controle por

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1 AULA #12 Estabilidade de Sistemas de Controle por Realimentação

2 Estabilidade de Sistemas de Controle por Realimentação A presença de medidores, controladores e elementos finais de controle afetam as características dinâmicas do processo em malha aberta. Por exemplo, a escolha inapropriada dos parâmetros de um controlador PI podem tornar a malha fechada instável. Portanto, é primordial analisar a estabilidade de sistemas de controle por realimentação antes de iniciar o seu projeto. Definição de Estabilidade Um sistema estável será aquele para o qual a sua resposta é limitada para todas as entradas limitadas, independente do seu estado inicial. Um sistema que apresenta uma resposta não limitada a um estímulo limitado é INSTÁVEL: estímulos limitados: degrau, senóide, pulso estímulos ilimitados: rampa Sistema Estável ou Auto-Regulável N J J após a perturbação, x retorna ao seu valor inicial

3 não necessita de controle para estabilização Sistema Instável N * ) + J J após a perturbação, x não retorna ao seu valor inicial necessita de controle para estabilização Se um sistema dinâmico, representado por uma função de transferência G(s) (malha aberta ou fechada), apresentar um pólo com parte real positiva, dará origem a um termo Ce pt : instável. Portanto, um sistema de controle será estável se todos os pólos da malha fechada (G carga (s) e G servo (s)) estiverem no semi-plano esquerdo do plano s. Caso #1 Estabilização de um Processo Instável Considere o seguinte processo y(s) = 10 s 1 m(s)+ 5 s 1 d(s) Claramente esse processo é instável em malha aberta, pois apresenta um pólo p =1> 0!

4 Introduzindo um controle por realimentação com açã o # I O I F I A I? I I 2 H? A I I?? B F I O I O I obtém-se a seguinte resposta em malha fechada y(s) = y(s) = 10 s s 1 Gservo(s) y sp (s)+ 10 s (1 10 ) y sp(s)+ 5 s s 1 Gcarga(s) d(s) 5 s (1 10 ) d(s) Observe que a estabilidade da resposta em malha fechada estará garantida, se o pólo da malha fechada for negativo p =1 10 < 0 > 1 10

5 Estabilizando um Processo Instável: P + reguladora =0 (sem controle) =0, y =0, y sp tempo Caso #2 Desestabilização de um Processo Estável Seja o seguinte processo representado pela função de transferência 1 G p (s) = s 2 +2s +1 Este processo é estável em malha aberta, pois apresenta dois pólos com parte real negativa: pólos p 1 = 1+ı e p 2 = 1 ı Acrescentam-se ao processo um controlador PI, um sensor e um elemento final de controle, constituindo o seguinte diagrama de blocos

6 @ I I O I F I A I? I I B?? J F 1 I I I O I O I a resposta em malha fechada assume a forma ) ( τ I s s y(s) = 2 +2s+2 ) y sp (s)+ 1+ ( τ I s s 2 +2s+2 Gservo (s) 1 s 2 +2s+2 ) 1+ ( τ I s s 2 +2s+2 Gcarga (s) d(s) (τ I s +1) y(s) = y τ I s 3 +2τ I s 2 sp (s)+ + τ I (2 + )s + τ I s d(s) τ I s 3 +2τ I s 2 + τ I (2 + )s + Observe que a estabilidade dependerá dos valores de e τ I, pois os pólos (raízes) da equação característica dependem dos parâmetros do controlador: = 100 e τ I =0, 1 p 1 = 7, 185 pólos p 2 =2, 59 + ı11, 5 p 3 =2, 59 ı11, 5 instável

7 p 2 e p 3 possuem parte real positiva =0, 1eτ I =0, 1 p 1 = 0, 90 pólos p 2 = 0, 55 + ı0, 9 estável p 3 = 0, 55 ı0, 9 todos os pólos possuem parte real negativa 1.5 Desestabilizando um Processo Estável: PI + reguladora 1 =100 τ I =0,1 =0 (sem controle) y 0.5 =0,1 τ I =0,1 0 y sp tempo Equação Característica A estabilidade do sistema em malha fechada será determinada pelos pólos das funções de transferência G carga (s) e G servo (s). Esses pólos são comuns a ambas as funções de transferência, sendo as raízes da equação característica da malha fechada

8 @ I O I F I A I? I I? I B I F I 2 H? A I I O I O I I y(s) = G c (s)g f (s)g p (s) y sp (s)+ 1+G c (s)g f (s)g p (s)g m (s) Gservo (s) G d (s) d(s) 1+G c (s)g f (s)g p (s)g m (s) Gcarga (s) Equação Característica 1+G c (s)g f (s)g p (s)g m (s) =0 Sejam p 1,p 2,,p n os n pólos da equação característica portanto, 1+G c G f G p G m =(s p 1 )(s p 2 ) (s p n )=0 um sistema de controle por realimentação será estável se todas as raízes da equação característica tiverem parte real negativa; caso contrário o sistema será instável

9 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz A fatoração da equação característica de ordem 3 ou superior pode ser trabalhosa. Uma alternativa é utilizar o Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz, que permite avaliar o número de raízes do polinômio característico com parte real negativa, sem fatorá-lo. Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz escrever a equação característica na forma polinomial a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 =0 a n deve ser positivo; caso contrário multiplicamse todos os membros da equação polinomial por 1 1 o teste: se qualquer um dos coeficientes a n,a n 1,, a 1,a 0 for negativo, existe no mínimo uma raíz com parte real positiva sistema instável (nenhuma a- nálise adicional é necessária) 2 o teste: se todos os coeficientes a n,a n 1,,a 1,a 0 são positivos, nada se pode concluir a respeito da localização das raízes construir o Arranjo de Routh linha 1 a n a n 2 a n 4 a n 6 2 a n 1 a n 3 a n 5 a n 7 3 A 1 A 2 A 3 A 4 4 B 1 B 2 B 3 5 C 1 C 2 C 3 n +1 W 1 W 2

10 onde A 1 = a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1 A 3 = a n 1a n 6 a n a n 7 a n 1 A 2 = a n 1a n 4 a n a n 5 a n 1 B 1 = A 1a n 3 a n 1 A 2 A 1 B 2 = A 1a n 5 a n 1 A 3 A 1 C 1 = B 1A 2 A 1 B 2 C 2 = B 1A 3 A 1 B 3 B 1 B 1 e assim por diante examinar os elementos da primeira coluna do Arranjo de Routh a n a n 1 A 1 B 1 C 1 W 1 se qualquer um dos elementos dessa primeira coluna do arranjo for negativo, tem-se no mínimo uma raíz com parte real positiva sistema instável o número de trocas de sinal nos elementos da primeira coluna do aranjo é igual ao número de raízes com parte real positiva se todos os elementos da primeira coluna do arranjo forem positivos sistema estável