ANÁLISE LINEAR DE SISTEMAS

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1 ANÁLISE LINEAR DE SISTEMAS JOSÉ C. GEROMEL DSCE / Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação UNICAMP, CP 6101, , Campinas, SP, Brasil, geromel@dsce.fee.unicamp.br Campinas, Janeiro de / 19

2 NOTA AO LEITOR Neste capítulo, os temas são tratados de forma introdutória pois serão estudados com maiores detalhes no curso seguinte : EA-721 Princípios de Controle e Servomecanismos. Este material foi preparado como suporte às aulas e é inteiramente baseado no livro texto, em fase de redação: José C. Geromel e Rubens H. Korogui, Controle Linear de Sistemas Dinâmicos : Teoria, Ensaios Práticos e Exercícios, onde o leitor deverá encontrar maiores informações e detalhes a respeito dos tópicos aqui abordados. Sugestões, de qualquer natureza, que permitam o aprimoramento deste texto serão muito apreciadas e desde já agradecidas. 2/ 19

3 Conteúdo 1 Capítulo IV - e Realimentação Critério de Routh-Hurwitz Exemplos Realimentação Estrutura básica Função de transferência Exemplo 3/ 19

4 Considere a seguinte equação algébrica com coeficientes reais (s) = n a i s i = 0, a n = 1 i=1 O estudo de estabilidade de sistemas dinâmicos a tempo contínuo se resume a: Testar se todas as raízes de (s) = 0 estão localizadas na região Re(s) < 0. Note que não é requerido saber as localizações exatas destas raízes no plano complexo. 4/ 19

5 A seguir vamos estudar um critério clássico de estabilidade de sistemas LIT. Trata-se de uma condição necessária e suficiente para assegurar que todas as raízes da equação (s) = 0 estejam localizadas na região Re(s) < 0. Uma condição apenas necessária mas não suficiente é a seguinte: Fato (Condição necessária) Se todas as raízes de (s) = 0 estão localizadas na região Re(s) < 0 então a n 1 > 0,,a 1 > 0,a 0 > 0. A prova é simples. Um polinômio de ordem qualquer pode ser decomposto no produto de polinômios de 1 a ordem (raízes reais) e de polinômios de 2 a (raízes complexas) cujos coeficientes devem ser positivos. 5/ 19

6 Critério de Routh-Hurwitz O critério de Routh-Hurwitz é baseado na chamada tabela de Routh: s n a n a n 2 a n 4 s n 1 a n 1 a n 3 a n 5 s n 2 b 1 b 2 b 3 s 1 s 0 As duas primeiras linhas são construídas com os coeficientes de (s) e qualquer linha subseqüente é determinada a partir das duas anteriores com a regra : b 1 b 2 = (a n 1 a n 2 a n a n 3 )/a n 1 = (a n 1 a n 4 a n a n 5 )/a n 1 b 3 = 6/ 19

7 Critério de Routh-Hurwitz O resultado importante, lembrando que sem perda de generalidade consideramos a n = 1, é o seguinte: Fato (Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz) Todas as raízes da equação algébrica (s) = 0 estão localizadas na região Re(s) < 0 se e somente se a 1 a coluna da tabela de Routh for positiva. Se (s) possuir algum coeficiente negativo ou nulo, não é preciso construir a tabela de Routh para concluir que alguma raíz de (s) = 0 estará fora do lado esquerdo de C. Se algum elemento da primeira coluna for nulo, conclui-se que alguma raíz de (s) = 0 estará fora do lado esquerdo de C. 7/ 19

8 Exemplos Exemplo 1 : Aplique o critério de Routh-Hurwitz em (s) = s 3 + 4s 2 + 5s + 2 A tabela de Routh fica na forma s s s 1 9/2 s 0 2 Nenhuma troca de sinal na primeira coluna. Todas as raízes estão situadas no semi-plano esquerdo complexo. 8/ 19

9 Exemplos Exemplo 2 : Aplique o critério de Routh-Hurwitz em (s) = s 4 + 6s 3 + (13 + κ)s 2 + (12 2κ)s + (4 + κ) A tabela de Routh fica na forma s κ 4 + κ s κ s κ κ s κ 2κ 2 s κ Impondo nenhuma troca de sinal na primeira coluna obtemos 4 < κ < 4.5 e todas as raízes estão situadas no semi-plano esquerdo complexo. 9/ 19

10 Routh-Hurwitz Conseqüências importantes: A função de transferência F(s) de um sistema dinâmico assintoticamente estável é anaĺıtica em Re(s) 0 então o seu domínio contém esta região e assim, s = 0 D(F) e o teorema do valor final fornece lim f (t) = lim sf(s) = 0 t s 0 Uma entrada limitada no tempo que, portanto, satisfaz r(t) R para todo t 0, y(t) = f (τ)r(t τ)dτ R 0 f (τ) dτ 0 } {{ } valor limitado sempre produz uma saída limitada no tempo. 10/ 19

11 Critério de Routh-Hurwitz Considere equação algébrica com coeficientes reais (z) = n a i z i = 0, a n = 1 i=1 O estudo de estabilidade de sistemas dinâmicos a tempo discreto se resume a: Testar se todas as raízes de (z) = 0 estão localizadas na região z < 1. Note que não é requerido saber as localizações exatas destas raízes no plano complexo. 11/ 19

12 Critério de Routh-Hurwitz A estabilidade de sistemas a tempo discreto é estudada a partir da transformação bilinear definida por z = 1 + s 1 s que mapeia todos os pontos da região Re(s) 0 na região z 1. Com esta transformação, determinamos mod (s) = 0 (z) = 0 e aplicamos o critério de Routh-Hurwitz em mod (s) = 0. As conclusões obtidas para as raízes de mod (s) = 0 em relação à região Re(s) < 0, são válidas para as raízes de (z) = 0 em relação à região z < 1. 12/ 19

13 Critério de Routh-Hurwitz Conseqüências importantes: A função de transferência F(z) de um sistema dinâmico assintoticamente estável é anaĺıtica em z 1 então o seu domínio contém esta região e assim, z = 1 D(F) e o teorema do valor final fornece lim k f (k) = lim(z 1)F(z) = 0 z 1 Uma entrada limitada no tempo que, portanto, satisfaz r(k) R para todo k N, y(k) = f (i)r(k i) i=0 R f (i) i=0 } {{ } valor limitado sempre produz uma saída limitada no tempo. 13/ 19

14 Realimentação Estrutura básica A estrutura simplificada de controle com realimentação (também denominada em malha fechada) pode ser representada através do seguinte diagrama de blocos : ˆr ê + C(s) G(s) ŷ H(s) onde consideramos um sistema a tempo contínuo. Entretanto, a mesma estrutura, sem nenhuma modificação, também é adotada para representar sistemas a tempo discreto. 14/ 19

15 Realimentação Estrutura básica As seguintes considerações são relevantes : O sinal r define a referência, o paradigma. y é o sinal de saída a ser controlado. O objetivo é fazer com que o erro ε = r y seja o menor possível. Note que e e ε são grandezas distintas! H(s) é a função de transferência do dispositivo que mede y. Um bom medidor geralmente tem H(s) 1 (realimentação unitária). G(s) é a função de transferência em malha aberta do sistema que se deseja controlar, isto é ŷ(s) = G(s)ĝ(s) C(s) é a função de transferência do controlador que se quer projetar. O objetivo é cumprir as especificações de transitório e de regime permanente para que ε 0. 15/ 19

16 Realimentação Função de transferência A partir do diagrama de blocos, com a Transformada de Laplace (ou Transformada Z), obtemos ŷ = GCê ê = ˆr Hŷ que permitem determinar a função de transferência em malha fechada que satisfaz ŷ = F ˆr CG F = 1 + CGH A equação algébrica (na variável s ou z) que define os pólos do sistema em malha fechada 1 + CGH = 0 é denominada equação característica do sistema em malha fechada. 16/ 19

17 Realimentação Função de transferência Para que um sistema de controle em malha fechada siga com erro nulo um degrau unitário ˆr(s) = 1/s, devemos impor que lim F(s) = F(0) = 1 s 0 Para que esta igualdade seja verdadeira é imperativo que s = 0 D(F). Ou seja, o sistema em malha fechada deve ser assintoticamente estável. Propriedade similar ocorre para os sistemas a tempo discreto. é um atributo básico de qualquer sistema de controle! 17/ 19

18 Realimentação Exemplo Deseja-se determinar todos os controladores da forma C(s) = (αs + β)/s que são capazes de estabilizar, com realimentação unitária, um sistema com função de transferência G(s) = 1/(s + 1) 2. A função de transferência em malha fechada é F(s) = αs + β s 3 + 2s 2 + (α + 1)s + β e notamos que F(0) = 1 para todo α,β R. Entretanto, para isto ocorrer é necessário que ele seja assintoticamente estável. 18/ 19

19 Realimentação Exemplo A sua equação característica é dada por s 3 + 2s 2 + (α + 1)s + β = 0 e a tabela de Routh fica na forma s 3 1 α + 1 s 2 2 β s 1 2α + 2 β s 0 β Pelo critério de Routh-Hurwitz, a estabilidade é assegurada para todo α,β R tais que 0 < β < 2(1 + α) 19/ 19