Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace

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1 Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. rcbeltrame@gmail.com

2 Conteúdo da unidade Introdução Definição da Transformada de Laplace Solução de equações diferenciais lineares e invariante no tempo Função de Transferência Conceito de pólos e zeros Estabilidade de sistemas Sistemas com atraso de transporte Análise da resposta transitória Análise da resposta em regime permanente Resposta em frequência e Diagrama de Bode Aulas 0 e 0 Aula 03 Aula 04 Aulas 05 e 06

3 Aula 04 Sistemas com atraso de transporte Definição do atraso de transporte Exemplo de sistemas com atraso de transporte Aproximação de Padé Análise da resposta transitória Sistemas de primeira ordem Sistemas de segunda ordem Resposta ao impulso, degrau e rampa Análise da resposta em regime permanente 3

4 Sistemas com atraso de transporte Atraso de transporte: é o tempo decorrente para que uma variação no sinal de entrada (excitação) seja efetivamente percebida pela variável vel de saída (resposta) y(t) T a 4

5 Sistemas com atraso de transporte Exemplos Sistemas térmicos Sistemas hidráulicos Sistemas pneumáticos Resposta de sensores Tem grande impacto na estabilidade de sistemas operando em malha fechada 5

6 Sistemas com atraso de transporte Modelagem a G s e st Aproximação de Padé a G s e st a a TsTs 3 a Ts a a Ts a Ts a Ts a 8 48 st Ts a a Ga se Truncando no º termo Ts a 6

7 Sistemas com atraso de transporte Exemplo G s 35 Y s s s e X s s s 05, s 3.5 Sem atraso Com atraso Aprox. Padé

8 Análise da resposta transitória Objetivo Comparar o desempenho de diferentes sistemas com base em sinais padrão de teste aplicados na entrada Função degrau Função rampa Função impulso Função senoidal Resposta transitória Função do tempo que vai do estado inicial até o final Resposta estacionária (regime permanente) Maneira como o sinal de saída do sistema se comporta quanto t tende ao infinito 8

9 Resposta transitória Sistema de ª ordem Resposta ao degrau unitário Seja o sistema de º ordem definido a seguir, com T constante G s Y s X s Ts Sua resposta ao degrau unitário édada por YsGsXsGsL t Ts s Logo, a resposta temporal édada por t y t L T Y s e, para t0 9

10 Resposta transitória Sistema de ª ordem Constante de tempo T T yt e e 0, 63 Ou seja, y(t) atinge 63,3% da excursão total y(t) Para t > 4T, a resposta permanece dentro de % de seu valor final 0

11 Resposta transitória Sistema de ª ordem Resposta àrampa unitária Seja o sistema de º ordem definido a seguir, com T constante G s Y s X s Ts Sua resposta à rampa unitária édada por Ts s Y s G s X s G s L t Logo, a resposta temporal édada por t y t L Y s t T Te T, para t 0

12 Resposta transitória Sistema de ª ordem Sinal de erro t t et xt yt t ttte T et T e T y(t) y(t) Quando t tende ao infinito, tem-se que e( ) = T

13 Resposta transitória Sistema de ª ordem Resposta ao impulso unitário Seja o sistema de º ordem definido a seguir, com T constante G s Y s X s Ts A excitação ao impulso unitário, que éa derivada do degrau unitário édada por y(t) yt e T, para t T t 0 3

14 Resposta transitória Sistema de ª ordem Resposta ao degrau unitário Seja o sistema de º ordem definido a seguir G s ωn n n Y s X s s ξω s ω ω n frequência natural não amortecida ζ coeficiente de amortecimento Classificação Sistema subamortecido (0 < ζ < ) Sistema criticamente amortecido (ζ = ) Sistema superamortecido (ζ > ) Comportamento oscilatório Não oscila 4

15 Resposta transitória Sistema de ª ordem Caso : Sistema subamortecido (0 < ζ < ) Dois pólos complexos G s Y s ω X s s ξω jω s ξω jω Onde ω ω ξ éafrequência natural amortecida d Excitação do tipo degrau GsXs Y s n n n d n d ω s ξω jω s ξω jω s n n d n d 5

16 Resposta transitória Sistema de ª ordem Logo, a resposta temporal édada por ξωnt e ξ yt L Ys sen ω arctg, para 0 dt t ξ ξ Sinal de erro e t x t y t y t ξωnt e ξ et sen ω arctg, para dt t ξ ξ 0 Observar que, em regime permanente, não existe erro entre entrada e saída 6

17 Resposta transitória Sistema de ª ordem Caso : Sistema criticamente amortecido (ζ = ) Dois pólos reais e iguais G s n Excitação do tipo degrau Logo, a resposta temporal édada por n Y s ω X s s ω GsXs Y s n ω s ω s ωnt y t L Y s e ωnt, para t0 n 7

18 Resposta transitória Sistema de ª ordem Caso 3: Sistema superamortecido (ζ > ) Dois pólos reais, negativos e distintos G s Y s ω X s s ξω ω ξ s ξω ω ξ n n n n n Excitação do tipo degrau ω s GsXs Y s s ξωnωn ξ s ξωnωn ξ n 8

19 Resposta transitória Sistema de ª ordem Logo, a resposta temporal édada por st st ω e e n s s y t L Y s, para t0 ξ s ξ ξ ω s ξ ξ ω n n 9

20 Resposta transitória Sistema de ª ordem Respostas de um sistema de ª ordem y(t) 0

21 Resposta transitória Sistema de ª ordem Especificações de regime transitório (Definidas no domínio do tempo) Tempo de atraso, t d Tempo para y(t) atingir metade do valor final Tempo de subida, t r Tempo para y(t) variar de 0% a 90% do valor final Instante de pico, t p Instante de tempo em que y(t) atinge o valor máximo Máxima ultrapassagem percentual p y Tempo de acomodação, t s Tempo para y(t) situar se na faixa entre % ou 5% do valor final M p y t y 00%

22 Resposta transitória Sistema de ª ordem Especificações de regime transitório y(t)

23 Bibliografia [] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, 000. [] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, 0. [3] FERREIRA, P. A. V. Princípios de controle e servomecanismos (notas de aula). Campinas: UNICAMP,