Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz

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1 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz Carlos Eduardo de Brito Novaes de agosto de 1 1 Introdução Edward Routh apresentou em 1877 um algorítimo matemático para identificar a estabilidade de polinômios [1] De modo independente, em 1895 Adolf Hurwitz também resolveu este problema de estabilidade [] Trata-se de uma importante ferramenta para identificar quantas são as raízes de um polinômio que possuem parte real positiva estão localizadas no semiplano direito do plano complexo e, em teoria de controle nos permite identificar as condições para garantir a estabilidade de um sistema Definição 1 Polinômio Hurwitz Um polinômio P s é dito do tipo Hurwitz ou estável no sentido de Hurwitz se: 1 P s R s R, para todo s real, P s é também um número real Todas as raízes de P s possuem parte real negativa ou nula Para que um polinômio seja do tipo Hurwitz, uma condição necessária é que todos os seus coeficientes sejam reais e tenham o mesmo sinal todos positivos ou todos negativos Esta condição entretanto não é suficiente, pois o contra exemplo: s 4 + s + s + s + 1 apesar de ter todos os coeficientes positivos, apresenta as raízes s cos 7 ± sin 7 j, 9 ±, 95j duas raízes com parte real positiva s cos 144 ± sin 144 j, 89 ±, 5878j Uma condição necessária e suficiente é que o polinômio atenda ao critério de Routh-Hurwitz ver Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz Para erminar se um polinômio é estável no sentido de Hurwitz deve-se realizar os seguintes passos capítulo 5 de []: 1

2 Casos especiais EXEMPLOS: 1 Passo 1 Escrever o polinômio na forma a n s n + a n 1 s n a 1 s + a Onde a, ou seja, retiramos todas as raízes nulas Também é interessante que a n seja positivo 1, então podemos multiplicar o polinômio por 1 sem alterar as suas raízes Passo Se os sinais dos coeficientes forem diferentes existem coeficientes a i positivos e negativos, então existem raízes no semiplano direito e o polinômio não é estável Quando estamos interessados apenas na estabilidade absoluta, podemos parar a análise por aqui Se desejamos saber quantas raízes são instáveis, devemos prosseguir para o próximo passo Se os sinais dos coeficientes forem iguais todos positivos ou todos negativos, então devemos prosseguir para o próximo passo Passo Arranjar os coeficientes conforme a seguinte tabela s n : a n a n a n 4 s n 1 : a n 1 a n a n 5 an a n an a n 4 an s n a n 1 a n a n 1 a n 5 a n 1 b b b? a n 1 a n 1 a n 1 an 1 a n an 1 a n 5 s n b 1 b b 1 b : c 1 c c b 1 b 1 b1 b b1 b s n 4 c 1 c c 1 c : d 1 d c 1 c 1 s : x 1 até que reste um valor diferente de zero apenas na primeira coluna da última linha linha s Observe que é possível multiplicar ou dividir uma linha inteira por um número real positivo se isso facilitar os cálculos, sem modificar a conclusão sobre a estabilidade do polinômio O critério de estabilidade de Routh nos diz que o número de raízes com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela construída A condição necessária e suficiente para a estabilidade todas as raízes com parte real negativa de um polinômio é então que não ocorra mudança de sinal na primeira coluna Casos especiais 1 Um elemento na primeira coluna é zero, mas o restante da linha não Neste caso, substituímos o elemento nulo por um valor hipotético + muito pequeno mas positivo Prosseguimos os cálculos normalmente Ver exemplo Uma linha inteira é nula Neste caso, substituímos a linha nula pela derivada da linha anterior em relação à s Ver exemplo 4 Exemplos: 1 Exemplo P s s + 1 s + s + s + 4 s + 5 s 5 +15s 4 +85s +5s +74s+ 1 O polinômio P s s + 1 s + s + s + 4 s + 5 s s s + 5s + 74s + 1 possui todas as raízes reais e negativas, vamos utilizar como primeiro exemplo de aplicação do critério de Routh 1 Além de facilitar os cálculos, garante que quando for preciso a modificação proposta em 1 seja válida

3 Exemplo P s s + 1 s + s s + 4 s 4 + 4s 7s 4s 4 EXEMPLOS: Todos os coeficientes são positivos, não há mudança de sinal, portanto, não podemos concluir nada sobre a estabilidade Devemos prosseguir com a construção da tabela s 5 : s 4 : s b 66 b s : c c 1 c s : d 1 16 d s : e 1 1 e Então, avaliando os termos da primeira coluna tem-se: Facilmente verificamos que não há trocas de sinal e portanto o polinômio possui todas as suas raízes no semiplano esquerdo todas as raízes tem parte real negativa Exemplo P s s + 1 s + s s + 4 s 4 + 4s 7s 4s 4 Existem coeficientes positivos e negativos, podemos concluir que o polinômio é instável Para saber quantas raízes tem parte real positiva, devemos construir a tabela: s 4 : s : s b 4 b s 1 : c c 4 s : d 1 4 Então, avaliando os termos da primeira coluna tem-se: Verifica-se que houve apenas uma troca de sinal de positivo para 4 negativo, como era esperado pois o polinômio possui apenas uma raiz positiva Exemplo P s s 4 + s + s + s + 1 Vamos avaliar o contra exemplo dado anteriormente e verificar que ocorre um zero na primeira coluna e ainda que critério de estabilidade de Routh indica as duas raízes com parte real positiva

4 4 Exemplo P s s 5 + s 4 + s + 6s + 4s + 8 : EXEMPLOS: s 4 : s : s b 1 c s : s 1 1 : c c s : d d 16 Avaliando a primeira coluna: 1 1 }{{} > }{{} < Como sabemos que é um número positivo, mas muito pequeno, conclui-se que 1 1 é negativo e portanto houveram duas trocas de sinal a primeira de positivo para 1 1 negativo; a segunda de 1 1 negativo para 1 positivo Como esperado, o polinômio possui duas raízes com parte real positiva 4 Exemplo P s s 5 + s 4 + s + 6s + 4s + 8 : s 5 : 1 4 s 4 : s 6 8 b b s : 8 1 d s 4 + 6s + 8 8s + 1s ds 6 8 s : c 1 c 8 c s 1 8 : d 1 8 d s : e 1 8 e 8 8 Observamos que a primeira coluna apresenta duas trocas de sinais: E portanto, o polinômio apresenta duas raízes com parte real positiva De fato, as raízes deste polinômio são: s s, 5 ± 19j s, 5 ± 19j duas raízes com parte real positiva 4

5 5 Exemplo: Obtenha para o sistema de controle ilustrado na figura 1, a faixa de valores do ganho K para que o sistema resultante em malha fechada seja estável EXEMPLOS: 5 Exemplo: Obtenha para o sistema de controle ilustrado na figura 1, a faixa de valores do ganho K para que o sistema resultante em malha fechada seja estável Figura 1: Sistema de Controle Como podemos ver, trata-se de um sistema de controle em malha fechada e a função de transferência de malha fechada pode ser obtida utilizando álgebra de blocos Na malha direta temos s + G s K s + s 6s 8 Na malha de realimentação, não há dinâmica ou ganho, portanto: H s 1 A função de transferência em malha fechada será: G cl s G 1 + GH K s + s + s 6s 8 K s s + s 6s 8 s + s 6s 8 s + s 6s 8 + s + s 6s 8 s + s + K 6 s + K 8 Para que o sistema seja estável, basta que sua função de transferência possua todos os polos raízes do denominador com parte real negativa Então podemos prosseguir com a construção da tabela de Routh: s : 1 K 6 s : K 8 1 K 6 1 s 1 K 8 K 1 b K 8 K 1 s : c 1 K 1 K 8 5

6 6 Exemplo: Obtenha para o sistema de controle ilustrado na figura, a faixa de valores do ganho K para que o sistema resultante em malha fechada seja estável EXEMPLOS: Avaliando a primeira coluna: 1 K 1 K 8 Observamos que para que todas as raízes estejam no semi-plano esquerdo polos estáveis, não deve haver troca de sinal e portanto, todos os valores na primeira coluna devem ser positivos Assim: K 1 > K 1 > K > 1 e K 8 > K > 8 K > 4 é possível satisfazer as duas condições se K > 1 e este é então o valor a partir do qual o sistema em malha fechada se torna estável 6 Exemplo: Obtenha para o sistema de controle ilustrado na figura, a faixa de valores do ganho K para que o sistema resultante em malha fechada seja estável Figura : Sistema de Controle De modo semelhante, a função de transferência do ramo direto é: G s s 4 + s + 58s 96s 144 Na malha de realimentação, não há dinâmica ou ganho, portanto: H s 1 A função de transferência em malha fechada será: G cl s G 1 + GH s 4 + s + 58s 96s s 4 + s + 58s + K 96 s + K 144 6

7 6 Exemplo: Obtenha para o sistema de controle ilustrado na figura, a faixa de valores do ganho K para que o sistema resultante em malha fechada seja estável EXEMPLOS: E montando o arranjo de Routh: s 4 : 1 58 K 144 s : K K 144 s K K b K 144 b K K 74 K K 144 s 1 : c 1 74 K K 588K + 54 c K K 74 K K 144 K 588K + 54 s K 74 : d 1 K 144 K 588K + 54 K 74 Avaliando a primeira coluna: 1 74 K Para que todos os termos sejam positivos temos: K 588K + 54 K 74 K K > 74 K > K > 74 K < 74 além disso: K 144 > K > 144 K > 7 E por fim, podemos avaliar a última condição de uma maneira mais simples, pois sabemos que 7 < K < 74 Assim, o denominador K 74 deve ser negativo Então: K 588K + 54 K 74 }{{} < > K 588K + 54 < Trata-se de uma parábola com concavidade voltada para cima Calculando as raízes encontramos K 94 ± 69 K 1, 5 K Como já observamos que a concavidade da parábola esta voltada para cima e que K 588K + 54 <, conclui-se que para satisfazer esta terceira condição, 1, 5 < K < Avaliando todas as restrições percebemos que esta última é a mais restritiva, ou seja, para 1, 5 < K < 47674, todos os termos da primeira coluna do arranjo de Routh serão positivos e o sistema em malha fechada será estável 7

8 REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS Referências [1] E Routh, A treatise on the stability of a given state of motion: particularly steady motion Macmillan and co, 1877 [Online] Available: 1 [] A Hurwitz, On the Conditions Under Which an Equation Has Only Roots With Negative Real Parts, in Mathematische Annalen, vol 46 Leipzig, 1895, pp 7 84 [Online] Available: de/dms/load/pdf 1 [] K Ogata, Engenharia de controle moderno, 5th ed Prentice Hall / SP, 1 8