Aula 8. Cristiano Quevedo Andrea 1. Curitiba, Abril de DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

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1 Classificaçã dos Sistemas de Controle Especificaçõe do Estado Estacionário de Erro Aula 8 Cristiano Quevedo Andrea 1 1 UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica Curitiba, Abril de 2012.

2 Resumo 1 Introdução: 2 3 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s)

3 Será analisado o erro estacionário para sistemas com realimentação unitária, Os erros em um sistema de controle podem ser atribuídos a muitos fatores, Alterações na entrada de referência, Imperfeições nos componentes do sistema, como atrito estático, folga e mau funcionamento de amplificadores, Desgaste ou deterioração do sistema. Na verdade, vamos estudar um tipo de erro estacionário que é causado pela incapacidade de um sistema em seguir determinados tipos de sinais de entrada, Qualquer sistema de controle físico apresenta, inerentemente, erros estacionários na resposta a certos tipos de entradas, Um sistema pode não apresentar um erro estacionário a uma entrada degrau, mas o mesmo sistema pode apresentar um erro estacionário não-nulo a uma entrada rampa.

4 Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com a habilidade em seguir os sinais de entrada em degrau, em rampa, em parábola, etc. Considere o sistema com realimentação unitária, com a seguinte função de transferência de malha aberta G(s): G(s) = K(Tas + 1)(T bs + 1) (T ms + 1) S N (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) (T ps + 1). (1)

5 A função de transferência da equação (1) contém o termo s N no denominador, A classif cação será realizada com base no número de integrações indicadas pela função de transferência de malha aberta, Um sistema é denominado de Tipo 0, Tipo 1, Tipo 2,,se N = 0, N = 1, N = 2,, respectivamente, Note que a classif cação é diferente da que ser refere à ordem do sistema, Conforme N aumenta, a precisão aumenta, mas por outro lado agrava a estabilidade do sistema, É sempre necessária uma conciliação entre precisão em regime permanente e estabilidade.

6 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Resumo 1 Introdução: 2 3 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s)

7 Considere a f gura abaixo: Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Então, temos: mas, Logo, E(s) = R(s) C(s), (2) C(s) = R(s)T(s). (3) E(s) = R(s)[1 T(s)]. (4)

8 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Aplicando-se o teorema do valor f nal em (4), tem-se: e( ) = lim e(t) = lim se(s), t s 0 (5) = lim sr(s)[1 T(s)]. s 0 (6) Exemplo 1: Determinar o erro de estado estacionário para o sistema ilustrado anteriormente se T(s) = 5/(s 2 + 7s + 10) e se a entrada for um degrau unitário. Neste exercício temos que: R(s) = 1/s e T(s) = 5/(s 2 + 7s+ 10). Então, podemos obter o valor do sinal de erro utilizando-se a equação (6), portanto, e( ) = lim s 0 s s 2 + 7s + 5 s(s 2 = 0, 5. (7) + 7s + 10)

9 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Resumo 1 Introdução: 2 3 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s)

10 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Considere o sistema ilustrado abaixo da equação (1). A função de transferência de malha fechada é: C(s) R(s) = G(s) 1+G(s) (8) A função de transferência entre o sinal de erro e(t) e o sinal de entrada r(t) é: E(s) C(s) = 1 R(s) R(s) = 1 1+G(s) sendo o erro e(t) a diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída. O teorema do valor f nal oferece um modo conveniente de determinar o desempenho em regime permanente de um sistema estável. Assim, E(s) é: E(s) = (9) 1 R(s). (10) 1+G(s)

11 O erro estacionário será: Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) sr(s) e ss = lim e(t) = lim se(s) = lim t s 0 s 0 1+G(s). (11) Deste modo, o erro depende do tipo de sinal de entrada aplicado no sistema, A seguir serão def nidas algumas constantes de erro estático relacionado ao tipo de erro devido a um tipo de entrada, Quanto mais alta as constantes, menor o erro estacionário, As constantes de erro estáticos abordadas neste estudo serão: K p constante de posição, K v constante de velocidade e K a constante de aceleração. As expressões deduzidas para o cálculo do erro estacionário podem ser aplicadas erroneamente aos sistemas instáveis. Assim, deve-se verif car a estabilidade do sistema.

12 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Constante de Erro Estático de Posição K p. O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em degrau é: e ss s 1 = lim s 0 1+G(s) s. 1 = 1+G(0) A constante de erro estático de posição K p é def nida como: (12) K p = lim s 0 G(s) = G(0). (13) Então, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro estático de posição K p é dado como: e ss = 1 1+K p. (14)

13 Para um sistema do Tipo 0, Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) K(T as + 1)(T b s + 1) K p = lim = K. (15) s 0 (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) Para um sistema do tipo 1 ou maior, K(T as + 1)(T b s + 1) K p = lim =, para N 1. (16) s 0 s N (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) Conclusão Para um sistema do Tipo 0, a constante de erro estático de posição K p é f nita, enquanto para um sistema do Tipo 1 ou maior K p é inf nita, então: 1 e ss =, para sistema do Tipo 0, 1+K e ss = 0, para sistema do Tipo 1 ou maior. (17)

14 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Constante de Erro Estático de Velocidade K v O erro de estado estacionário do sistema com uma entrada em rampa unitária é: e ss = lim s 0 s 1 1+G(s) s 2, = lim s 0 1 sg(s). (18) A constante de erro estático de velocidade K v é def nida como: K v = lim s 0 sg(s). (19) Assim, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro estático de velocidade K v é dado por: e ss = 1 K v. (20)

15 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) O termo erro de velocidade é empregado aqui para expressar o erro estacionário para uma entrada em rampa. A dimensão do erro de velocidade é mesmo do erro do sistema. Então, o erro de velocidade não é um erro na velocidade, mas um erro devido a uma entrada rampa. Para um sistema do Tipo 0, Para um sistema do Tipo 1, Para um sistema do Tipo 2, sk(t as + 1)(T b s + 1) K v = lim = 0. (21) s 0 (T 1 s + 1)(T 2 s + 2) sk(t as + 1)(T b s + 1) K v = lim = K. (22) s 0 s(t 1 s + 1)(T 2 s + 2) sk(t as + 1)(T b s + 1) K v = lim =, para N 2. (23) s 0 s 2 (T 1 s + 1)(T 2 s + 2)

16 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Em resumo, o erro estacionário e ss para uma entrada rampa unitária pode ser descrito da seguinte maneira: e ss = 1 K v =, para sistemas Tipo 0, (24) e ss = 1 = 1, para sistemas Tipo 1, (25) K v K e ss = 1 K v = 0, para sistemas Tipo 2 ou ordem maior. (26) (27) Constante de Erro Estático de Aceleração O erro de estado estacionário para um sistema considerando uma entrada do tipo parábola, o qual é def nido por: r(t) = t 2, para t 0, 2 r(t) = 0, para t < 0. (28)

17 é dado por: e ss = lim s 0 = Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) s 1 1+G(s) s 3, 1 lim s 0 s 2 G(s). (29) A constante de erro estático de aceleração K a é def nida pela seguinte equação: Então o erro de estado estacionário é dado por: K a = lim s 0 s 2 G(s). (30) e ss = 1 K a. (31) Os valores de K a podem ser obtidos da seguinte maneira: Para um sistema do Tipo 0, s 2 K(T as + 1)(T b s + 1) K a = lim = 0. (32) s 0 (T 1 s + 1)(T 2 s + 2)

18 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) Para um sistema do Tipo 1, Para um sistema do Tipo 2, s 2 K(T as + 1)(T b s + 1) K a = lim = 0. (33) s 0 s(t 1 s + 1)(T 2 s + 2) s 2 K(T as + 1)(T b s + 1) K a = lim = K. (34) s 0 s 2 (T 1 s + 1)(T 2 s + 2) Para um sistema do Tipo 3 ou ordem maior, s 2 K(T as + 1)(T b s + 1) K a = lim =, para N 3. (35) s 0 s N (T 1 s + 1)(T 2 s + 2) Assim o erro em regime para uma entrada do tipo parábola pode ser resumido da seguinte forma:

19 Erro Estacionário em Termos de T(s) Erro Estacionário em Termos de G(s) e ss = 1 K a =, para sistemas Tipo 0, (36) e ss = 1 K a =, para sistemas Tipo 1, (37) e ss = 1 = 1, para sistemas Tipo 2, (38) K a K e ss = 1 K a = 0, para sistemas Tipo 3 ou ordem maior. (39)

20 A constante de erro estático pode ser utilizada como especif cações em projeto de sistemas de controle, Então, K p, K v e K a são especif cações para desempenho de sistema de controle em malha fechada, Por exemplo, se considerarmos K v = 100 nós podemos realizar várias conclusões: 1 O sistema é estável, 2 O sistema é do Tipo 1, pois somente estes sistemas possuem K v como constantes f nitas, 3 A entrada rampa é o sinal de teste. Desde que K v é especif cado como uma constante f nita, e o erro de estado estacionário é inversamente proporcional a K v, nós podemos concluir que a entrada de teste é uma rampa, 4 O erro estacionário para esta entrada rampa é 1/K v.

21 Exemplo Encontre os erros de estado estacionário para as seguintes entradas: 5u(t), 5tu(t) e 5t 2 u(t), aplicadas no sistema ilustrado abaixo: Os pólos deste sistema em malha fechada tem parte real negativa, logo é estável. Portanto podemos analisar os erros estacionários.

22 Para a entrada 5u(t) 100(s + 2)(s + 6) K p = lim G(s) = lim = (40) s 0 s 0 s(s + 3)(s + 4) Então o erro de estado estacionário é dado por, Para a entrada 5tu(t) e( ) = 5 1+ = 0 (41) 100(s + 2)(s + 6) K v = lim sg(s) = lim s = 100 (42) s 0 s 0 s(s + 3)(s + 4) Então o erro de estado estacionário é dado por, e( ) = 5 = 0, 05 (43) 100

23 Para a entrada 5t 2 u(t) K a = lim s 2 G(s) = lim s 2 100(s + 2)(s + 6) = 0 (44) s 0 s 0 s(s + 3)(s + 4) Então o erro de estado estacionário é dado por, e( ) = 5 0 = (45)

24 Em geral utiliza-se sistema de controle com realimentação para atenuar o efeito do sinal de distúrbio na saída do sistema. Para a f gura acima, C(s) pode ser descrito como: C(s) = E(s)G 1 (s)g 2 (s)+d(s)g 2 (s), (46) mas, C(s) = R(s) E(s). (47)

25 Substituindo-se (47) em (46), obtemos a relação entre o sinal de erro e o sinal de entrada. E(s) = 1 1+G 1 (s)g 2 (s) R(s) G 2 (s) D(s). (48) 1+G 1 (s)g 2 (s) Assim podemos determinar o erro de estado estacionário da seguinte maneira: e ss = lim s 0 se(s) = lim s 0 Deste modo, denominando-se, e R = lim s 0 s R(s) lim 1+G 1 (s)g 2 (s) s 0 s 1+G 1 (s)g 2 (s) R(s), e D = lim s 0 sg 2 (s) 1+G 1 (s)g 2 (s) D(s). sg 2 (s) D(s). (49) 1+G 1 (s)g 2 (s)

26 Analisando-se o erro devido ao sinal de distúrbio, podemos escrever, 1 e D = 1 lim s 0 + lim G 2 (s) s 0 G 1 (s). (50) neste contexto foi considerado uma entrada de distúrbio como uma entrada degrau, isto é, D(s) = 1/s. Então, o erro estacionário pode ser reduzido pela diminuição da magnitude de G 2 (s) e pelo aumento da magnitude de G 1 (s). Uma sugestão é utilizar o seguinte sistema de controle.

27 Exemplo Encontre o erro de estado estacionário para o sistema ilustrado a seguir. Neste caso é considerado um sinal de distúrbio como um degrau: e D = lim s lim G 2 (s) s 0 G 1 (s) = = (51)

28 Em sistemas de controle podemos observar frequentemente realimentações que não são unitárias. Um diagrama de bloco de um sistema de controle generalizado é ilustrado a seguir. Deslocando G 1 (s) para o lado direito do somatório, temos: G(s) = G 1 (s)g 2 (s), H(s) = H 1(s) G 1 (s). (52)

29 Na f gura anterior podemos facilmente verif car que a realimentação não é unitária, pois existe um H(s) no ramo de retroação. O procedimento para reorganizar o diagrama de blocos objetivando-se que o sistema tenha realimentação unitária é descrito a seguir: 1) Soma-se e subtrai uma realimentação unitária no sistema conforme abaixo:

30 2) Simplif ca-se H(s) com a realimentação negativa conforme descrito a seguir: 3) Simplif ca-se H(s) 1 com G(s) de acordo com a ilustração abaixo:

31 Exemplo Considere o sistema ilustrado abaixo, determine o tipo do sistema, a constante de erro associada ao tipo de sistema e o erro estacionário para uma entrada degrau unitário. Para este exemplo temos: G(s) = 100 s(s + 10), H(s) = 1 (s + 5). (53) Assim, convertendo este sistema para um equivalente de retroação unitária, temos, G e(s) = G(s) 1+G(s)H(s) G(s) = 100(s + 5) s s 2 50s 400. (54)

32 Portanto, o sistema é Tipo 0, isto é, não possui nenhuma integração na malha direta. Deste modo, a constante de erro estático apropriada é, então, K p, cujo valor é: K p = lim s 0 G e(s) = = 5 4. (55) Logo o erro de estado estacionário vale, e ss = 1 = 1 1+K p = 4. (56) O valor negativo do erro de estado estacionário implica que o degrau de saída é maior que o degrau de entrada.

33 É sempre interessante o engenheiro avaliar em que extensão a variação de parâmetros afeta o comportamento do sistema, Idealmente, a variação de valores dos parâmetros devida à temperatura ou a outras causas não deve afetar sensivelmente o desempenho, O grau segundo o qual alterações nos parâmetros do sistema afetam as funções de transferência e, portanto, o desempenho, é chamado de sensibilidade, Considere: F = K K + a. (57) Se K = 10 e a = 100, então F = 0, 091. Se o parâmetro a triplicar de valor para 300, então F = 0, 032. Vemos que uma mudança relativa em a de ( )/100 = 2, isto é 200 % de alteração no valor de a, resulta em uma mudança na função F de (0, 032 0, 091)/0, 091 = 0, 65.

34 Na análise anterior, a função F possui um sensibilidade reduzida a mudanças de valores do parâmetro a. A sensibilidade pode ser calculada por: S F:P = P F δf δp. (58) Exemplo Qual a maneira de reduzir a sensibilidade do sistema ilustrado a seguir: A função de malha fechada é T(s) = S T:a = a T δt δa = ( a K s 2 +as+k K s 2 +as+k, assim, Ks ) (s 2 + as + K) = as 2 s 2 + as + K. (59) Logo, K para reduzir a sensibilidade de T(s) em relação a a.

35 Considere o seguinte sistema descrito na forma de espaço de estado: A transformada de Laplace do erro é: mas ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y = Cx(t). (60) E(s) = R(s) Y(s), (61) Y(s) = R(s)T(s). (62) sendo T(s) a função de transferência a malha fechada. Então, E(s) = R(s)[1 T(s)], Logo, aplicando-se o teorema do valor f nal temos, = R(s)[1 C(sI A) 1 B]. (63) e ss = lim s 0 se(s) = lim s 0 sr(s)[1 (si A) 1 B]. (64)

36 Exemplo Considere o sistema descrito na forma de espaço de estado abaixo: ẋ(t) = x(t)+ 0 u(t), y(t) = [ ]. (65) determine o erro de estado estacionário para uma entrada degrau unitário; ( ) s + 4 1, e ss e ss = lim sr(s) s 0 = lim s 0 s 1 s ( 1 s 3 + 6s s + 20 ), s + 4 s 3 + 6s s + 20 e ss = 4 5. (66)