(c) G d (z) = (d) G d (z) = A função de transferência do equivalente por invariância da resposta impulsional é = Z

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1 Parte I Escolha múltipla h Tópicos de resolução A função de transferência do sistema cuja resposta ao degrau unitário está representada na figura é 8 (a) G(s) = s + 6s (b) G(s) = s + 4s (c) G(s) = s + s + 4 (d) G(s) = 8 s + 4 y(t) Da análise da figura conclui-se que a resposta é subamortecida, pelo que o coeficiente de amortecimento deverá obedecer a < ζ <, ou seja, os pólos da função de transferência deverão ter parte real negativa e parte imaginária não nulas. Das possibilidades apresentadas a única que verifica esta condição é a (c). t A função de transferência do equivalente em tempo discreto do sistema G(s) = s+ resposta impulsional com período de amostragem. é (a) G d (z) =.z. z z (b) G d (z) = e. z. (c) G d (z) =. z (d) G d (z) = e. z A função de transferência do equivalente por invariância da resposta impulsional é G d (z) = Z {[ L (G(s)) ] t=kt } = Z {[ e t ] t=.k} = Z { e.k } = Z { (e. ) k } = pelo que a resposta correcta é a (d). obtido por invariância da e. z 3 Considere o sistema realimentado da figura com G(s) = s(s+). O erro em regime permanente para uma entrada em rampa unitária é E G( s) (a) (b) (c). (d). Num sistema realimentado estável, com realimentação unitária negativa como o da figura, o erro em regime permanente para uma entrada em rampa unitária é e ss = K v, onde K v = lim s sg(s). Neste caso temos e ss = lim s s s(s+) = 5 pelo que a resposta correcta é a (d). 4 A função de transferência do sistema representado pelo diagrama de blocos da figura é (a) (b) G +G G G 3+G G G 4+G G G 5 G +G G G 3 G 4 G 5 (c) (d) G G +G G (G 3 +G 4 G 5 ) G +G G (G 3+G 4G 5) - + G 5 G - G 3 G 4 G A função de transferência pode ser obtida por aplicação da fórmula de Mason. Neste caso há apenas um caminho directo de para, com ganho G e o seu cofactor é (eliminando G não fica qualquer anel). O diagrama de blocos apresenta dois anéis, de ganhos respectivos G G G 3 e G G G 4 G 5, os quais tocam pois têm em comum os blocos de ganhos G e G. Assim, a função de transferência será = G + G G G 3 + G G G 4 G 5 pelo que a resposta correcta será a (d). ACM PLS

2 Parte I Escolha múltipla h 5 Considere a função de transferência G(s) = afirmar-se o seguinte ω s +.ω s + ω. elativamente ao seu traçado de Bode pode (a) O traçado da fase é decrescente com a frequência. (b) O traçado do módulo é decrescente com a frequência. (c) O traçado da fase é crescente com a frequência. (d) O traçado do módulo é crescente com a frequência. Trata-se de uma função de transferência de um sistema de a ordem sem zeros e com coeficiente de amortecimento ζ =. =.5. Como ζ < / a resposta em frequência do sistema apresentará uma ressonância, pelo que o traçado de Bode do módulo será crescente desde até à frequência de ressonância e decrescente a partir dessa frequência. O traçado da fase é sempre decrescente, sendo a reposta correct a (a). 6 A função de transferência do sistema cuja resposta ao degrau unitário está representada na figura é (a) G(s) = 5s + (b) G(s) = 5 5s + (c) G(s) = 5 s + 5 (d) G(s) = s Da figura conclui-se que o valor final da resposta é 5; este valor corresponde ao ganho estático do sistema, ou seja, pode concluir-se que G() = 5. Como a recta tangente à resposta em t = intersecta o valor final em t = 5, conclui-se também que a constante de tempo do sistema é 5. Assim, a resposta correcta será a (b), visto ser a única que verifica ambas as condições. 5 y(t) t 7 A figura representa o traçado de Nyquist duma função de transferência G(s) estável. O sistema G m (s) = G(s) +G(s) tem I (a) MF = 6 o e MG = 3 (b) MF = 6 o e MG = 3 (c) MF = 3 o e MG = (d) MF = 3 o e MG = 3 Quando G(jω) = tem-se que G(jω) = 8 + arctan(/ 3) = 8 + 3, pelo que a margem de fase será 3. Uma vez que o traçado de G(jω) nunca cruza o eixo real negativo, nunca se verifica a condição G(jω) = 8 e assim a margem de ganho será infinita. Logo a resposta correcta será a (c). 8 A densidade espectral de potência da saída de um sistema com função de transferência G(s) = +s quando excitado por ruído branco unitário é (a) 4ω (b) + 4ω (c) jω (d) + jω A densidade espectral de potência da saída será G(jω), uma vez que a densidade espectral de potência do ruído branco unitário é. Assim, a resposta correcta será a (b). 9 Considere o sistema realimentado da figura com G(s) = k(s ) (s+5). Pode afirmar-se que (a) O sistema é estável se < k < 5 E G( s) (b) O sistema é estável para todo o k (c) O sistema é estável se k > 5 ou k < (d) Não há qualquer k para o qual o sistema seja estável ACM PLS

3 Parte I Escolha múltipla h A equação característica de malha fechada é + G(s) = que neste caso toma a forma (s + 5) + k(s ) =, ou ainda, s + ( + k)s + 5 k =. Construindo a tabela de outh, obtém-se s 5 k s + k s 5 k pelo que o sistema realimentado será estável sse + k > e 5 k >. Assim, a resposta correcta será a (a). A transformada de Laplace do sinal da figura é x(t) (a) X(s) = e,5s s 3 (b) X(s) = s + (c) X(s) = s+ s t (d) X(s) = e,5s s O sinal é soma de um degrau unitário com uma rampa de declive, ou seja, x(t) = ( + t) u(t). X(s) = s + s, pelo que a resposta correcta será a (c). Logo, 3 ACM PLS

4 Parte II Problemas h3min Tópicos de resolução Circuito com =, C =, L =, L = L L v i C v (a) Sendo v C a tensão aos terminais de C tem-se V (s) = + sl V C (s) Sendo Z a impedância equivalente do paralelo de C com a série de L e C tem-se Z = sc ( + sl ) + sl sc + + sl = + sc + s L C Podendo agora escrever-se V C (s) = Z + sl V i (s) = Z + sl + s(l + L ) + s CL + s 3 L L C V i(s) Finalmente a função de transferência pedida é resultando G(s) = V (s) V i (s) = V (s) V C (s) VC(s) V i (s) = + s(l + L ) + s CL + s 3 L L C G(s) = V (s) V i (s) = + 3s + 4s + s 3 = + 3 s + s + s 3. (b) Da função de transferência obtida atrás obtém-se (s 3 + s + 3 s + ) V (s) = V i (s) resultando (por aplicação da T. Laplace inversa com condições iniciais nulas) d 3 v dt 3 + d v dt + 3 dv + v = v i. dt (c) Em regime permanente, como o sistema é estável, ter-se-á Sendo resulta v (t) = G(j3) sin (t + G(j3)) G(j3) = + 4.5j 9 7j = 7 +.5j G(j3) =.355 G(j3) = 8 arctan.5 7 = 7 v (t) =.355 sin (t + 7 ). ACM PLS

5 Parte II Problemas h3min (a) k = G(s) = s + s G(jω) = jω + ω 4 + ω G(jω) = ω G(jω) = 8 + arctan ω para ω G(jω) ω decresce a 4 db/década para ω G(jω) 8 G(jω) ω decresce a db/década G(jω) 9 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) 5 8 Frequency (rad/sec) frequência de travessia de ganho: ω : G(jω ) = 4 + ω = ω 4 ω 4 = ω = 7 ± ω margem de fase MF = 8 + G(jω ) = arctan ω (b) Equação característica de malha fechada: + k s + s = zeros em malha aberta: m = pólos em malha aberta: (duplo) n = n m = assímptota quando k + ângulo da assímptota: 8 pontos no eixo real: ], [ pontos de entrada/saída do eixo real: dk/ds = s k = s + dk ds = s + 4s (s + ) s = s = 4 s = k = s = k = 8 ω =.6 = arctan.6 = 38.7 ACM PLS

6 Parte II Problemas h3min.5 oot Locus.5 Imaginary Axis.5 System: untitled Gain: 8 Pole: 4 Damping: Overshoot (%): Frequency (rad/sec): 4 System: untitled Gain: Pole: Damping: Overshoot (%): Frequency (rad/sec): eal Axis (c) Para k 8 (ponto de entrada do LG no eixo real) os pólos do sistema realimentado são reais pelo que a resposta ao degrau não apresentará oscilações. 3 (a) G(z) = (z) (z) = [ ] [ z.5 z +.5 ] [ ] = z.5 (b) r(k) = u(k) (z) = z z (z) = z.5 z [ z + z z = (z.5)(z ) + z z +.5 ( ).5 = z z +.5 z z.5 z +.5 = 4z z 4z z.5 z z +.5 ] [ z.5 z +.5 ] [ ] y(k) = [ 4 4 (.5) k (.5) k] u(k) (c) r(k) = ( ) k u(k) = cos(kπ)u(k) para k grande, como o sistema é estável, tem-se Sendo resulta y(k) = G ( e jπ) cos ( kπ + G ( e jπ)) G ( e jπ) = G( ) = = 4/3 = 4/3ejπ.5 y(k) = 4/3 cos(kπ + π) = 4/3( ) k. 3 ACM PLS