INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO CONTROLO. As questões assinaladas com * serão abordadas na correspondente aula de apoio.

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO ENGENHARIA ELECTROTÉCNICA E DE COMPUTADORES CONTROLO 3 a Série (root-locus, análise e projecto no plano-s) As questões assinaladas com * serão abordadas na correspondente aula de apoio. Os alunos devem procurar resolver as referidas questões antes das aulas. Nas aulas de apoio, a discussão dos problemas vai ser feita a partir das dúvidas surgidas nas resoluções previamente feitas pelos alunos. Para o seu estudo individual sugere-se ainda que os alunos procurem resolver mais problemas que podem ser encontrados nos livros apontados na bibliografia recomendada da cadeira. * 1. (E.Morgado, Controlo-problemas, 2001) Considere o sistema da Figura 1 que representa um sistema de controlo de posição angular de uma antena utilizando um motor D.C.-controlo de campo. amplificadores Motor + Antena K p + - K 1/ L K m / s R / L s /J J 1 s K p Figure 1: K p = 2V/rad, R = 3Ω, L = 0.5H, J = 0.1Kgm 2, β = 0.2Nms, K m = 0.1NmA 1. a) Trace o lugar geométrico das raízes da equação característica ( root-locus ) para K positivo, determinando os ângulos e pontos notáveis. b) Repita a alínea a) para o caso de K negativo. c) Determine os valores de K para os quais o sistema é estável. d) Considere agora retroacção positiva. Esboce o root-locus para K positivo. 1

2 * 2. (N. S. Nise, Control Systems Engineering, capítulo 8, problema 2) Esboce a forma do rootlocus para cada um dos sistemas com diagrama de polos-zeros apresentado na Figura 2. Figure 2: 2

3 * 3. (E. Morgado, Controlo-problemas, 1999) Considere o sistema da Figura 5 Para α = 0, Figure 3: a) Esboce o root-locus em função de K positivo. Conclua sobre a estabilidade do sistema em cadeia fechada para K > 0. Para estabilizar o sistema vamos utilizar a chamada retroacção de velocidade. Para α = 0.2, b) Esboce o root-locus em função de K positivo. Para α = 1, c) Esboce o root-locus em função de K positivo. d) Determine os valores de K para os quais a função de transferência em cadeia fechada tem um polo duplo. Para esses valores de K indique o valor de todos os polos e zeros da cadeia fechada. 4. (N. S. Nise, Control Systems Engineering, capítulo 8, problema 43) Para o sistema representado na Figura 4: a) Esboce um root-locus onde a localização das raízes varia como função de K 3. b) Determine a localização dos zeros em cadeia fechada. c) Repita a) e b) para um root-locus em função de K 2. 3

4 Figure 4: 5. (G.F. Franklin, J.D. Powell, A. E.-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems ) a) Para o sistema da figura esboce o root-locus da equação característica quando o parâmetro K 1 varia de 0 a infinito com λ = 2. b) Repita a) para λ = 5. Este valor conduz a uma situação especial? c) Repita a) para K 1 =2 com o parâmetro λ variando de 0 a infinito. Figure 5: 4

5 * 6. (E. Morgado, Controlo-problemas, 1999) Considere o sistema da Figura 6. Figure 6: Dimensione o controlador C(s) de modo a que a resposta no tempo y(t) satisfaça as seguintes especificações: para uma entrada escalão r(t) = u(t): sobreelevação= 20.5% (factor de amortecimento ξ = 0.45) tempo de estabelecimento (5%) = 0.75s para uma entrada rampa r(t) = tu(t): erro em regime permanente (erro estático de velocidade) e v Analise as opções: a) Controlador Proporcional b) Controlador Proporcional Integral C(s) = K C(s) = K ( 1+ 1 ) T i s c) Compensador de fase C(s) = K s+z s+p Dimensione este controlador para os seguintes casos particulares: i) z = 4. ii) p = + (Proporcional Derivativo ideal). Utilize técnicas de root-locus e faça uma análise crítica das soluções no que se refere a: cumprimento das especificações da resposta temporal atenuação do ruído n(t) = Asin(100t) na saída y(t) Apoie a sua análise com simulação em MATLAB. 5

6 Soluções 1 - a) φ = π/3; π/3; π, σ = 2, 67, pts. entrada/saída: -0,90; -4,43, pts. intersecção c/ eixo imaginário: ±j 12. c) 0 < K < 24;. 3 - a)φ = π/3; π/3;π, σ = 4, instável para K > 0 ; b)φ = π/2; π/2, σ = 3,5, pt. saída: s=0, estável para K > 0 ; c)φ = π/2; π/2, σ = 5,5, pts. entrada/saída: 0; -2,31; -5,19, estável para K > 0; d) K = 39,5: -2,31; -2,31; -7,38. K = 43,8: -5,19; -5,19; -1, a) não serve; b) não serve; c)i) p=11; K = 98; e v (+ ) = 0,056; Y(jω)/N(jω) ω=100 0,01 ; c)ii) z=13; C(0) = 78; e v (+ ) = 0,026; Y(jω)/N(jω) ω=100 0,06. Nas figuras 7 e 8 mostra-se a resposta temporal y(t) ao escalão unitário na referência (a pontilhado, a resposta temporal desejada para sistema de 2 a ordem puro) e a resposta em frequência Y(jω)/N(jω), para os casos c-i) e c-ii) (1) (2) y(t) t [seg] 10 Figure 7: resposta ao escalão Bode Diagram 0 10 (1) (2) Y(jω) / N(jω) (db) Frequency (rad/sec) Figure 8: Diagrama de Bode 6

7 Resoluções Problema 1 a) para os valores de parâmetros indicados: Função de transferência da malha aberta: s( s K )( s + 6 ) Root-locus para K>0: Root Locus 6 4 j 3,46 2 Imaginary Axis 0-8 x x x -2, j 3, Real Axis Troços sobre o eixo real: têm à sua direita um nº ímpar de pólos+zeros dk Pontos entrada/saída do eixo real (raízes múltiplas): = 0 ds Equação característica: 3 2 K 4 s( s + 2 )( s + 6 ) s + 8s + 12s 1 + = 0 K = = s( s + 2 )( s + 6 ) 4 4 dk ds = d ds 3 2 s 8s 12s + + 3s = s = 0 s 1 = ~ 0,903 s 2 = ~ 4,43

8 Ângulo das assímptotas: Centro assimptótico: π 3 ± ( 2k + 1) π φass = = π 3 n m π σ ass polos da malha aberta n m zeros da malha aberta (0 2 6 ) = 3 0 = φ = 2,67 cálculo dos pontos de intersecção com o eixo imaginário: s = jx 3 2 equação característica: s + 8s + 12s + 4K = ( jx ) + 8( jx ) + 12 jx + 4K = 0 jx 8x + 12 jx + 4K = 0 Donde: 3 12x x = 0 2 8x + 4K = 0 x = 0 x = ± 12 A intersecção com o eixo imaginário ocorre portanto para : x = 0 K = 0 x = ± j 12 = ± j3,46 K = 24 b) Root-locus para K<0: Troços sobre o eixo real: têm à sua direita um nº par de pólos+zeros 0 Ângulo das assímptotas: ± 2kπ φ ass = = 2π 3 n m 2π 3 6 Root Locus 4 2 Im a g in a r y A x is 0-2 x x x - 2, Real Axis

9 c) A partir dos traçados anteriores conclui-se que o sistema é estável (tem todos os pólos no SPCE) no intervalo de valores do ganho: 0 < K < 24 d) + _ Retroacção positiva: 1 KG( s )H( s ) = 0 Ou 1 + K * G( s )H( s ) = 0 com K* = K Quando K > 0 K* < 0 Portanto o root-locus de K > 0 com retroacção positiva é construído com as regras do root-locus de ganho ( K*) negativo e retroacção negativa. ver alínea b) Notar que com retroacção positiva o sistema é instável para todo o K>0.

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