Projeto Através do Lugar das Raízes. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello 1

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1 Projeto Através do Lugar das Raízes Carlos Alexandre Mello 1

2 Revisão Primeiro, vamos re-lembrar alguns aspectos de sistemas subamortecidos de segunda ordem: cos = 2

3 Revisão Sobre a taxa de amortecimento: Se >1, os polos são reais e negativos; Se =1, polos são iguais, negativos e reais, s = - n; Se 0< <1, os polos são complexos com parte real < 0; Se =0, s = j n ; Se <0, os polos estão no semi-plano direito. 3

4 Introdução Problema: Como ajustar um sistema de forma a atender requisitos de projeto? Estabilidade já considerada Mudanças: Erros de Estado Estacionário e Resposta em Transiente (Tp, Ts, Tr, %OS) Nesses casos, mudar apenas o ganho não provoca os resultados desejados... 4

5 Introdução Exemplo: Considere o seguinte exemplo, suponha que a resposta em transiente desejada é alcançada no ponto B No entanto, só conseguimos alcançar a porcentagem sobressinal no lugar das raízes no ponto A Lembrando que a porcentagem sobressinal não se altera na reta de constante 5

6 Introdução Não temos como ir de A para B porque B está fora do lugar das raízes, ou seja, não pode ser alcançado apenas com mudanças de ganho 6

7 Introdução Considerem um exemplo da aula anterior: K = 1 7

8 Introdução Considerem um exemplo da aula anterior: K = 10 Mesmo gráfico de Lugar das Raízes, como esperado. 8

9 Introdução Considere uma mudança de um sistema de tipo 0 para um de tipo 1 (erro de estado estacionário) Ou seja, acrescentamos um integrador Sistema original 9

10 Introdução Considere uma mudança de um sistema de tipo 0 para um de tipo 1 (erro de estado estacionário) Ou seja, acrescentamos um integrador Integrador acoplado Lugar das raízes completamente diferente! 10

11 Introdução Considerem um exemplo da aula anterior: Compensador Mudanças no Lugar das Raízes com a entrada de um integrador e um zero. 11

12 Introdução Efeito da inclusão de polos: Sistema Original: Polos: -2, -4 Zeros: 2 j4 A inclusão de um polo tende a puxar o lugar das raízes para a direita em relação ao sistema original, tendendo a diminuir a região de estabilidade do sistema. 12

13 Introdução Efeito da inclusão de zeros: Sistema Original: Polos: -2, -4 Zeros: 2 j4 A inclusão de um zero tende a puxar o lugar das raízes para a esquerda em relação ao sistema original, tendendo a aumentar a região de estabilidade do sistema. 13

14 Introdução Solução: 1) Mudar o sistema para um cujo lugar das raízes passe por B Alto custo e pode afetar outras características do sistema 2) Ao invés de mudar o sistema atual, podemos aumentá-lo ou compensá-lo com polos ou zeros adicionais. Assim, o sistema compensado tem um lugar das raízes que passa pelo polo desejado A vantagem dessa compensação é que os polos e zeros podem ser adicionados no final do sistema Desvantagem: a ordem do sistema aumenta o que pode provocar mudanças na resposta 14

15 Introdução Compensadores são nomeados de acordo com o método que os implementa ou com suas características Sistemas de Controle Proporcionais Sistemas que encaminham o erro à frente para a planta Sistemas de Controle Integrais Sistemas que encaminham a integral do erro à frente para a planta Sistemas de Controle Derivativos Sistemas que encaminham a derivada do erro à frente para a planta 15

16 Introdução Objetivo: atender os requisitos de projeto sem mudar tanto o lugar das raízes Melhorando o Erro de Estado Estacionário Compensador Proporcional + Integrador (PI) Compensador de Atraso de Fase (Lag) Melhorando a Resposta em Transiente Compensador Proporcional + Derivativo (PD) Compensador de Avanço de Fase (Lead) Melhorando a Resposta e o Erro Compensador PID Compensador Lead-Lag 16

17 Melhorando o Erro de Estado Estacionário 17

18 Introdução Melhorando o Erro em Estado Estacionário Compensadores podem ser usados para melhorar as características do erro de estado estacionário O erro de estado estacionário pode ser diminuído acrescentando um polo na origem no caminho à frente, aumentando o tipo do sistema e levando o erro de estado estacionário a zero Esse polo adicional na origem exige o uso de um integrador 18

19 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Controlador Proporcional-mais-Integral (PI) Compensador integral ideal que encaminha o erro e sua integral à frente para a planta O erro de estado estacionário pode ser melhorado colocando um polo em malha aberta na origem porque isso aumenta o tipo do sistema Por exemplo, um sistema do Tipo 0, respondendo a um degrau de entrada com um erro finito, responde com erro zero se o tipo do sistema for 1 É importante que a resposta em transiente não seja muito alterada 19

20 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Considere o sistema a seguir, operando com uma resposta em transiente adequada gerada pelos polos de malha fechada em A 20

21 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Se adicionamos um polo na origem para aumentar o tipo do sistema, a contribuição angular dos polos em malha aberta em A não será mais 180º e, assim, o lugar das raízes não passa mais por A 21

22 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Para resolver esse problema, adicionamos um zero próximo ao polo da origem. Agora, a contribuição do compensador no zero e do compensador no polo se cancelam e o ponto A permanece no Lugar das Raízes 22

23 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Observe o exemplo anterior para um zero em 0,01: Sistema original (sys1) Um polo adicional na origem e um zero próximo a ele (sys4) 23

24 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Observe o exemplo anterior para um zero em 0,01: Aqui, os dois sistemas estão sobrepostos... 24

25 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Um compensador com um polo na origem e um zero próximo dele é chamado um compensador proporcional integral ideal O erro de estado estacionário foi melhorado sem afetar muito a resposta em transiente 25

26 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Compensador PI: 26

27 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Exemplo: Dado o sistema abaixo, operando com taxa de amortecimento de 0,174, mostre que a adição de um compensador integral ideal reduz o erro de estado estacionário a zero para uma entrada degrau sem afetar muito a resposta em transiente. 27

28 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Exemplo (cont.): Analisando o sistema original, foi dado que a taxa de amortecimento é de 0,174. Isso implica que o ângulo formado é de 79,98º (ou 100,02º tomando o complementar) = cos = cos -1 (em radianos) Observe que estamos considerando como um sistema de segunda ordem porque temos dois polos dominantes (considerando -10 << -1 e -2) É preciso encontrar o ponto onde a reta que passa pela taxa de amortecimento encontra o gráfico do lugar das raízes Apenas por computador Ponto: -0,694 + j3,926 (polos dominantes) 28

29 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Exemplo (cont.): Considerando o ponto encontrado, podemos calcular o valor do ganho K: K = 1/ GH Reta: Im=Re.cos -1 ( ) K = -164,57 j0,049 mag(k)=164,6 29

30 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original No ponto em que K =164,6, temos = 0,174 e polos em -0,694 j3,924. Isso implica que n = 3,98, já que s 1,2 = - ( 2 1) As assíntotas podem ser calculadas como: a = ( )/(3 0) = -13/3 (ponto de encontro com o eixo real) a = (2k + 1) /(3-0) = (2k + 1) /3 (ângulo) 30

31 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original Cálculo do ponto de partida e chegada do eixo real: Não pertence ao Lugar das Raízes 31

32 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original Cruzamento com o eixo imaginário: Fazendo s = j : Denominado r de T(s) 2 = 32 = 4 2 K = 396 Ou: = 0 K = -20 (mas, consideramos K > 0) 32

33 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original Calculando o erro no estado estacionário, o sistema é do tipo 0: 33

34 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Exemplo (cont.): Adicionando o compensador com zero em -0,1 e polo em zero: Temos o seguinte lugar das raízes: 34

35 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Exemplo (cont.): Considerando o ponto encontrado, podemos calcular o valor do ganho K: K = 1/ G(s)H(s) K = -158,2 j0,0517 mag(k)=158,2 Passa a ser um sistema do tipo 1 Mas e degrau ( ) = 0! 35

36 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador PI Exemplo (cont.): Sistema Não Compensado Sistema Compensado 36

37 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador de Atraso de Fase Compensador tem zero e polo ( 0) p z p > z 37

38 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador de Atraso de Fase Compensador tem zero e polo ( 0) Como o polo está mais próximo do eixo imaginário que o zero, a contribuição angular será negativa zeros - polos Pouco efeito no lugar das raízes... 38

39 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador de Atraso de Fase Quanto ao erro de estado estacionário, o novo G(s) é: Ou seja, quando s 0, na análise de erro de estado estacionário, o compensador passa a contribuir com z/p (zero e polo do compensador) 39

40 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador de Atraso de Fase Exemplo: Compensado Não Compensado 40

41 Melhorando o Erro em Estado Estacionário via Compensador de Atraso de Fase Exemplo (cont.): Queda de 10x 41

42 Melhorando a Resposta em Transiente 42

43 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador em Cascata A compensação foi resolvida melhorando o erro de estado estacionário sem afetar a resposta em transiente Vamos agora melhorar a resposta em transiente Uso de um Compensador Derivativo Ideal Adição de um zero na função de transferência à frente Adiciona ruído ao sistema Controlador Proporcional-Mais-Derivativo (PD) Uso de um Compensador de Avanço de Fase Adição de um zero e um polo mais distante na função de transferência à frente 43

44 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador PD Compensador Derivativo Ideal (PD) G c (s) = s + z c Considere o próximo sistema e os resultados após a inclusão de zeros em -2, -3 e -4 Lembrando: 44

45 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador PD Incluído zero em -2 Parte real Tempo de Amortecimento Parte imaginária Tempo de Pico 45

46 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador PD Incluído zero em -3 Incluído zero em -4 46

47 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador PD 47

48 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador PD 48

49 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador PD Outra forma de implementar um compensador derivativo ideal: 49

50 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador de Avanço de Fase Como no compensador integral ideal, usa-se um zero e um polo Se o polo estiver mais afastado do eixo imaginário que o zero, a contribuição angular será positiva zeros - polos 50

51 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador de Avanço de Fase Da figura anterior, se a diferença entre 1 e 2 ( c ) se mantiver, teremos a mesma contribuição Mas isso implica que temos a possibilidade de uma infinidade de compensadores de avanço de fase que atendem ao requisito de resposta em transiente As diferenças entre eles estarão no ganho necessário para atingir às especificações de projeto, no erro de estado estacionário e na resposta em transiente encontrada (o projeto pode especificar uma faixa possível de resposta) 51

52 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador de Avanço de Fase Exemplo: 52

53 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador de Avanço de Fase Exemplo: Mudança no transiente Apesar dos diferentes polos e zeros, os ângulos são constantes, não mudando a resposta em transiente 53

54 Melhorando a Resposta em Transiente via Compensador de Avanço de Fase Exemplo: 5,252 I) Compensação a Zero = -5; Polo = -42,96 p = 60,3798 o z =7,3092 o X O O p 1 p 2 p 3 p z 1 z 2 z -2,014 z 3 II) Compensação b Zero = -4; Polo = -20,09 p = 69,2863 o z = 7,3092 o III) Compensação c Zero = -2; Polo = -8,971 p = 180 o - 89,8473 o = 90,1527 o z = 37,05 o Diferença entre ângulos: 53 o 54

55 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente 55

56 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Combinação das técnicas anteriores Possibilidade: melhorar o erro de estado estacionário e depois a resposta em transiente Problema: Muitas vezes, a melhora da resposta em transiente pode deteriorar o projeto do erro de estado estacionário Soluções ideais: Controlador Proporcional-Mais-Integral-Mais-Derivativo (PID) Compensador de Avanço e Atraso de Fase 56

57 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Projeto de Controlador PID 57

58 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Projeto de Controlador PID Etapas 1) Avaliar o desempenho do sistema sem compensação para determinar quanta melhoria na resposta transitória é requerida 2) Projeto do controlador PD (inclui a posição do zero e o ganho) para atingir as especificações de transiente 3) Verifique se os requisitos foram atendidos Se não, retorne ao projeto 4) Projete o controlador PI para resultar no erro de estado estacionário desejado 5) Determine os ganhos K 1, K 2 e K 3 (figura anterior) 6) Verifique se os requisitos foram atendidos Se não, retorne ao projeto 58

59 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo: Dado o sistema abaixo, projete um controlador PID tal que o sistema opere com tempo de pico que é 2/3 do tempo de pico do sistema sem compensação a 20% de sobressinal e com erro de estado estacionário zero para entrada degrau. 59

60 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Sistema Malha Aberta: Polos (-3, -6 e -10); Zero em -8 %OS = exp[-( / 1-2 )]x100 0,2 = exp[-( / 1-2 )] = 0,456 cos = = cos -1 = 62,87º = 117,13º Esboço inicial do lugar das raízes: Plano s = 0,456 j = 117,13º x o x x

61 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Assíntotas: Plano s Assíntotas = 0,456 j x o -5,5 x x = 117,13º 61

62 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Ponto de Chegada e Partida: s = -8,4 j1,66 (fora do lugar das raízes) s = -4,62 (pertence ao lugar das raízes) Plano s Assíntotas = 0,456 j x o -5,5 x x = 117,13º -4,62 62

63 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Polos Dominantes: Plano s Assíntotas = 0,456 X j Polos dominantes: -5,4 + j10,57 K = 121,53 = 117,13º x X o -5,5 x x º Polo: -8,17-4,62 63

64 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Outros parâmetros: Plano s Assíntotas = 0,456 X j Polos dominantes: -5,4 + j10,57 K = 121,53 = 117,13º x X o -5,5 x x º Polo: -8,17-4,62 64

65 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Resumo (sistema não compensado) 65

66 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Compensando o sistema Condição: T Pc = (2/3) T Pu Ou seja: T Pc = (2/3)*0,297 = 0,198 Assim: n = 17,828 Como: Então: s 1,2 = -8,1296 j15,87 Faz parte do lugar das raízes?? 66

67 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Compensando o sistema Plano s P(-8,1296; 15,87) = 0,456 j x = 117,13º o x x Localizamos o ponto P no plano s e calculamos o ângulo que ele faz com os polos e zeros do sistema: 2 ( ) = -198,37º Para que seja múltiplo ímpar de 180º, precisamos acrescentar um zero que forme um ângulo com P de: 198,37º 180º = 18,37º 67

68 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Ou seja: Com isso, o controlador PD é G PD (s) = (s + 55,92) 68

69 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Lugar das Raízes do Sistema Compensado 69

70 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Resposta ao degrau Compensado (PD) Não Compensado Observe que houve redução no tempo de pico como especificado 70

71 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Projeto do compensador integral Como definido anteriormente, vamos colocar um polo na origem e um zero próximo a ele Por exemplo: 71

72 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Precisamos calcular agora K 1, K 2 e K 3 conforme: 72

73 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): O produto do ganho e do controlador PID é: Pelas equações anteriores, temos: K 1 = 259,5 K 2 = 128,6 K 3 = 4,6 73

74 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Resposta ao Degrau PID PD Não Compensado 74

75 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Características: 75

76 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Compensador de Avanço e Atraso de Fase Etapas 1) Avaliar o desempenho do sistema não compensado 2) Projetar o compensador de avanço de fase para atender às especificações de resposta em transiente Localização de polos e zeros e ganho 3) Verificar se os requisitos foram atendidos através de simulação Voltar ao projeto caso algo não tenha sido atendido 4) Avaliar o desempenho de erro de estado estacionário para o sistema com avanço de fase 5) Projetar o sistema com atraso de fase 6) Verificar se os requisitos foram atendidos através de simulação Voltar ao projeto caso algo não tenha sido atendido 76

77 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo: Projete um compensador de avanço e atraso de fase para o sistema abaixo, tal que o sistema opere com 20% de porcentagem sobressinal e uma redução de duas vezes no tempo de acomodação. Além disso, o sistema deve apresentar melhoria de dez vezes no erro de estado estacionário para uma entrada rampa. 77

78 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Sistema Malha Aberta: Polos (0, -6 e -10) %OS = exp[-( / 1-2 )]x100 0,2 = exp[-( / 1-2 )] = 0,456 cos = = cos -1 = 62,87º = 117,13º Esboço inicial do lugar das raízes: Plano s = 0,456 j = 117,13º x x x 78

79 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Assíntotas: Pontos de Chegada e Partida; Fora do lugar das raízes Polos Dominantes: Outros Parâmetros: 79

80 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Resumo (Sistema Não Compensado) 80

81 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Lugar das Raízes (Sistema Não Compensado) 81

82 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Vamos verificar agora as especificações do sistema: T Sc = 0,5T Su = 0,5*2,23 = 1,115 Como T S = 4/(. n ) n = 7,867 Sendo: Então: s 1,2 = -3,5874 j7 82

83 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Avanço de Fase Primeiro, precisamos selecionar arbitrariamente a localização do zero do compensador de avanço Nesse caso, podemos, por exemplo, selecionar a posição -6 que coincide com um dos polos de malha aberta, fazendo com que eles se anulem Isso elimina um zero e faz com que o sistema compensado tenha o mesmo número de polos do sistema não compensado Em seguida, localizamos o polo do compensador Precisamos somar os ângulos formados pelos polos e zeros do sistema sem compensação e o zero do compensador 83

84 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Avanço de Fase P = -3, j7 Plano s j 3 = 117,13º x 1 2 e x x Localizamos o ponto P no plano s e calculamos o ângulo que ele faz com os polos e zeros do sistema: 4 ( ) = -164,65º Para que seja múltiplo ímpar de 180º, precisamos acrescentar um polo que forme um ângulo com P de: 164,65º 180º = -15,35º 84

85 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Avanço de Fase 85

86 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Lugar das Raízes 86

87 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Resposta ao Degrau Compensado (Lead) Não Compensado 87

88 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Resumo (compensação por Avanço de fase) OK! O erro do sistema não compensado era de 0,312. A especificação é para que caia para um décimo desse valor. Ainda não foi atingida... (era 0,312) 88

89 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Atraso de Fase Objetivo: Melhorar o erro de estado estacionário para entrada rampa A queda de 0,312 para 0,147 foi de um fator de 2,122 Precisamos agora que o compensador de atraso de fase melhore o erro de um fator de 10/2,122 = 4,713 sobre o compensador de avanço de fase Pode-se escolher, aleatoriamente, um compensador com polo em 0,01 que gera um zero em 0,04173: Observe que, para s 0, G lag (s) tende exatamente ao fator que precisamos, 4,713 (1/4,713)*0,147 = 0,031 (o polo deve ser o mais próximo à origem) 89

90 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): O compensador de Avanço e Atraso de Fase fica então com a forma: Através do desenho do lugar das raízes e buscando seu encontro com o segmento de reta que representa a taxa de amortecimento de 0,456, chegamos aos polos dominantes -3,574 j6,976 para um ganho de

91 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Lugar das Raízes do sistema final 91

92 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Resumo Deveria ser 1,115, mas subiu pouco... 92

93 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Resposta ao Degrau Compensado (CAA) Não Compensado 93

94 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Resposta à Rampa (erro) 94

95 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Exemplo (cont.): Resposta à Rampa (erro) 95

96 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta em Transiente Compensação com Re-Alimentação Não Unitária... 96

97 Compensadores Construção de Controladores e Compensadores 97

98 Compensadores Construção de Controladores e Compensadores 98

99 Compensadores Amplificador Operacional Controlador PID 99

100 Compensadores Amplificador Operacional Compensador de Atraso ou Avanço de Fase Avanço de Fase: R 1 C 1 > R 2 C 2 Atraso de Fase: R 1 C 1 < R 2 C 2 100

101 Exercícios Sugeridos (Nise) Cap. 9, Problemas: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 16 Observação, sempre que precisar dos polos dominantes e do ganho para esses polos, consulte a resolução do livro 101