1 O que pode ser dito sobre um compensador com função de transferência G C (s) = s + 2

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1 Disciplina: Controle de Sistemas e Servomecanismos II Professor: Carlos Eduardo Novaes Universidade Bandeirante de São Paulo - Campus ABC Engenharia Elétrica AVALIAÇÃO DO o BIMESTRE / Série: Turma: 8 a EZ8A.3 Período: Noturno Nome do Aluno: RA: NOTA: Data da Prova: 03/1/01 1 O que pode ser dito sobre um compensador com função de transferência G C (s) s + s + 4 : a) Trata-se de um compensador do tipo LEAD ou avanço de fase com polo localizado em s e zero localizado em s 4. b) Trata-se de um compensador do tipo LEAD ou avanço de fase com polo localizado em s 4 e zero localizado em s. c) Trata-se de um compensador do tipo LAG ou atraso de fase com polo localizado em s 4 e zero localizado em s. d) Trata-se de um compensador do tipo LEAD ou avanço de fase com polo localizado em s 4 e zero localizado em s. e) Trata-se de um compensador do tipo LAG ou atraso de fase com polo localizado em s 4 e zero localizado em s. Sobre um compensador do tipo LAG ou atraso de fase, afirma-se: 1. Modifica caminho do lugar das raízes, fazendo com que seja possível alocar os polos dominantes de malha fechada na posição desejada pelo projetista.. Possui um polo e um zero, ambos próximos da origem. 3. É utilizado para reduzir o erro estacionário do sistema em malha fechada. 4. É utilizado para modificar a resposta transitória do sistema. 5. Deve ser projetado de modo que sua contribuição angular na posição dos polos dominantes de malha fechada seja pequena. 6. Deve ser projetado de modo que sua contribuição angular na posição dos polos dominantes de malha fechada corrija a deficiência angular neste ponto. São corretas apenas as afirmações: a) 1, 4 e 5. b), 3 e 5. c) 1, e 5. d) 1, 4 e 6. e), 3 e 6. 3 Idealmente, um compensador do tipo PID permite introduzir no ramo direto de um sistema de controle: a) um polo na origem e dois zeros com uma relação fixa entre eles. b) um polo e dois zeros, todos em qualquer posição desejada do plano complexo. c) dois polos em qualquer posição do plano complexo e um zero na origem. d) três polos em qualquer posição desejada do plano complexo. e) um polo na origem e dois zeros em qualquer posição desejada do plano complexo. 1

2 (s + 4) 4 Para o sistema com função de transferência G (s) (4 pt) a) Determine se o ponto s 1, 1 + 4, 6j faz parte do lugar das raízes e, neste caso, qual o ganho K necessário para ai alocar os polos de malha fechada. (0,5 pt) Calculando G (s) em s 1, 1 + 4, 6j, pela condição de fase: G (s) s 1,1+4,6j (s + 4) s 1,1+4,6j O ponto em questão é CLR. Pela condição de módulo: (, 9 + 4, 6j) ( 0, 1 + 4, 6j) (0, 9 + 4, 6j) (1, 9 + 4, 6j) 5, 4 57, 7 (4, 6 91, ) (4, 68 78, 9) (4, 97 67, 5) 0, , 9 K G (s) s 1,1+4,6j 1 K 0, 05 1 K 1 0, 05 0 O ganho de malha fechada que leva os polos de malha fechada a esta posição é K 0 b) Determine se o pontos 1, 38 + j faz parte do lugar das raízes e, neste caso, qual o ganho K necessário para ai alocar os polos de malha fechada. (0,5 pt) Calculando G (s) em s 1, 38 + j G (s) s 1,38+j (s + 4) s 1,38+j O ponto em questão é CLR. Pela condição de módulo: (, 6 + j) (1, 6 + j) (0, 6 + j) ( 0, 38 + j), 8 0, 9 (1 110, 8) (1, 17 58, ) (1, 9 31, 6) 1, K G (s) s 1,38+j 1 K 1, 17 1 K 1 1, 17 0, 85 O ganho de malha fechada que leva os polos de malha fechada a esta posição é K 0, 85 c) Determine se o ponto s 1, 5 + 1, 5j faz parte do lugar das raízes e, neste caso, qual o ganho K necessário para ai alocar os polos de malha fechada. (0,5 pt)

3 Calculando G (s) em s 1, 5 + 1, 5j G (s) s 1,5+1,5j (s + 4) s 1,5+1,5j (, 5 + 1, 5j) ( 0, 5 + 1, 5j) (0, 5 + 1, 5j) (1, 5 + 1, 5j), 91 30, 96 (1, , 43) (1, 58 71, 56) (, 1 45), 91 30, 96 5, 9 5 0, , não é CLR. Não é possível alocar os polos de malha fechada nesta posição para nenhum ganho K. d) Determine o esboço do lugar das raízes. Indique também o número de zeros localizados no infinito, o cálculo das assintotas e utilize as informações obtidas nos itens anteriores para tornar o seu traçado mais preciso. (,5 pt) O ponto de origem das assintotas: os ângulos das assintotas são: ( 1 3) ( 4) σ a

4 θ a (N 1) (N 1) 180 1) 90 (N { 90 para N 1 70 para N 4

5 5 Observe o diagrama em blocos do compensador PID ilustrado abaixo (3pt) a) Realize a simplificação do diagrama de blocos e determine a função de transferência equivalente, G C (s). G C (s) KP + KDs + KI s KDs + KP s + KI s b) Determine a posição do(s) polo(s) e zero(s) adicionados pelo PID sabendo que o compensador foi utilizado em um sistema de controle cuja planta possui uma função de transferência G (s) e, para o qual o diagrama de lugar das (s + 1) (s + ) raízes da planta compensada (planta+pid, G C (s) G (s)) é: O PID adiciona um polo em s 0 (origem), um zero em s 3 + j e um zero em s 3 j 5

6 c) Determine os valores dos parâmetros de sintonia do PID (KP, KD e KI) de modo os seus polos e zeros sejam posicionados de acordo com a figura anterior (os mesmos determinados no item b) e ainda, para que o ganho em regime estacionário do compensador, lim s 0 {sg C (s)} 6, 5, alocando os polos de malha fechada no ponto indicado. lim {sg C (s)} lim s 0 s 0 { s KDs + KP s + KI s lim s 0 { KDs + KP s + KI } KI KI 6, 5 } Devemos calcular KP e KD para que KDs + KP s + KI 0 em s 3 ± j. Assim: (s j) (s + 3 j) s (s j) + 3 (s j) j (s j) ( s + 3s + js ) + (3s j) ( js + 6j + 4j ) s + 3s + js + 3s j js 6j 4j s + 3s + 3s + 9 4j s + 6s s + 6s + 13 Multiplicando o polinômio anterior por um fator β 0, 5: KDs + KP s + KI 0, 5 ( s + 6s + 13 ) 0, 5s + 3s + 6, 5 que apresenta o limite solicitado com KI 6, 5. Portanto: KD 0, 5 KP 3 KI 6, 5 Boa Prova!!! 6