Faculdade de Engenharia da UERJ - Departamento de Engenharia Elétrica Controle & Servomecanismo I - Prof.: Paulo Almeida Exercícios Sugeridos

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1 Faculdade de Engenharia da UERJ Departamento de Engenharia Elétrica Controle & Servomecanismo I Prof.: Paulo Almeida Exercícios Sugeridos Estabilidade, Resposta Transitória e Erro Estacionário Exercícios Resolvidos (3. a 3.7) e Propostos (3.8 a 3.7) do Castrucci (Edição 0) Problemas Ilustrativos e Soluções (série A) do Ogata do capítulo Análise de Resposta Transitória ) Considerando o servomecanismo da figura, determine os valores de e k de tal forma que o sobressinal máximo na resposta ao degrau unitário seja 5 % e o instante de pico seja s. R(s) s C(s) Figura k s ) Dado o sistema de ª ordem da figura, determine c(t) para uma entra degrau unitário no caso de amortecimento crítico ζ =. Sugestão: usar uma das propriedades da Transformada de Laplace. ω n s (s ζ ω n ) Figura 3) Supondo agora que o sistema da figura é subamortecido (0 < ζ < ), determine o instante que ocorre o º pico de sobressinal para R(s) = / s. 4) Quando uma força (entrada em degrau) de lb* é aplicada ao sistema da figura 3, a massa oscila conforme é mostrado na figura 4. Determine m, f e k do sistema a partir desta curva de resposta. k da mola P (força de lb*) m da massa 0, x(t) [ft] 0,0095 ft x de deslocamento f do amortecedor Figura 3 : Sistema Mecânico Vibratório 3 4 t (s) Figura 4: Curva de resposta a degrau

2 5) Um termômetro requer minuto para indicar 98 % da temperatura do fluido onde ele é mergulhado. Supondo que o termômetro tem um comportamento de um sistema de ª ordem, determine a constante de tempo deste sistema. Se esse termômetro é colocado num ambiente onde a temperatura varia linearmente a uma taxa de 0 C/min, qual será o erro apresentado na leitura desse termômetro? 6) Qual seria o erro se o circuito da figura abaixo fosse usado como um integrador para uma entrada degrau? R e i (t) C e o (t) 7) O diagrama de blocos da figura mostrada a seguir representa um sistema de controle de altitude de uma nave espacial. Admitindo a constante de tempo T do controlador como 3 s e a relação do torque para a inércia / J como / 9 rad²/s², determine o coeficiente de amortecimento do sistema. (T s ) J s Sistema de Controle de Altitude 8) Determine o tempo de subida, o instante de pico, o sobressinal máximo e o tempo de acomodação, considerando a resposta a degrau unitário dos sistemas de controle com realimentação unitária negativa cujas funções de transferência de malha aberta são: 0,4 s (a) G(s) = (b) G(s) = s (s ) s (s 0,6) 9) O sistema a seguir tem ζ = 0,58 e ω n = 3,6 rad/s quando funciona apenas com realimentação unitária ( h = 0). Como a realimentação por tacômetro melhora a estabilidade relativa, calcule h tal que o coeficiente de amortecimento ζ se eleve para 0,5. 0 s (s ) h s Sistema de Controle com realimentação tacométrica Ações de Controle Amplificadores Operacionais Problemas Ilustrativos e Soluções do Ogata (3ª edição): A5, A5, B58 e B59. Exercícios e Problemas do Dorf & Bishop (ª Edição): E.9, E.7, P.49 e PP.4

3 Lugar das Raízes Problemas Ilustrativos e Soluções (série A) do Ogata dos capítulos Análise e Projeto pelo Método do Lugar das Raízes ) Mostre que o lugar das raízes para um sistema de controle com G(s) e H(s) mostrados abaixo, forma uma circunferência com centro na origem e raio = 0 : (s 6s 0) G(s) = e H(s) = s s 0 ) Um sistema de controle com G(s) = / (s² (s)) e H(s) = é instável para todos os valores positivos do ganho. Esboce o gráfico do lugar das raízes deste sistema. Usando este gráfico, mostre que este sistema pode ser estabilizado adicionandose um zero sobre o eixo real negativo ou modificandose G(s) para G (s) = (s a) / (s² (s )), sendo 0 a <. 3) Para cada função de transferência de malha aberta mostrada a seguir, determine os pontos de separação sobre o lugar das raízes: (s 5) (s ) (a) G(s) H(s) = (b) G(s) H(s) = (c) G(s) H(s) = s (s 6) (s 8) (s ) (s 4) s (s ) 4) Trace o lugar das raízes para os seguintes sistemas com retroação unitária e 0: (a) G(s) = e (b) G(s) = s (s 6s ) s (s s )(s 6s 0) 5) Trace o lugar das raízes de um sistema com retroação unitária que possui no canal direto a seguinte função de transferência. Determine o valor de que leva o sistema ao limiar da instabilidade: G(s) = s ( 0,0 s)( 0,0s) 6) Um sistema de controle automático com realimentação unitária negativa tem a função de transferência de malha aberta conforme mostrada a seguir. Esboce o gráfico do lugar das raízes deste sistema para 0 e determine a faixa de valores de para tornar o sistema instável. Para que valor de têmse raízes puramente imaginárias? Que raízes são essas? (s ) G(s) H(s) = s (s ) ( s 4) 7) Um sistema de controle automático com realimentação unitária negativa tem G(s) conforme mostrado a seguir. Desejase conhecer as raízes dominantes com coeficiente de amortecimento igual a 0,5. Para o ganho assim calculado, mostre que as raízes complexas são s =,3 ± j, : (s 4 s 8) G(s) = s ( s 4) 3

4 8) Esboce o gráfico do lugar das raízes para sistema abaixo e demonstre que ele se torna instável para grandes valores de. e 4s 00 s 9) Para o sistema de controle abaixo, esboce o lugar das raízes das localizações dos polos de malha fechada no plano "s" quando varia de 0 a infinito: R(s) s s s C(s) s (s 3) (s 4) 0) Traçar os lugares das raízes para os sistemas de controle de malha fechada com: (s 0,4) a) G(s) = s (s 3,6) e H(s) = (s 0,8) b) G(s) = s (s 3,6) e H(s) = 4

5 Resposta em Frequência Problemas Ilustrativos e Soluções (série A) do Ogata dos capítulos Análise e Projeto no Domínio da Frequência. Exercícios resolvidos e propostos do capítulo 5 (Análise Frequencial) do Castrucci. ) Para o circuito abaixo, obtenha a corrente em regime permanente i(t) supondo que a entrada do sistema seja e i (t) = E i sen ω t : L e i (t) i(t) R C ) Considerando um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha aberta é G(s) = 0 / (s ), obtenha a saída em regime estacionário do sistema quando estiver sujeito a cada uma das seguintes entradas: (a) r(t) = sen (t 30 ) (b) r(t) = cos ( t 45 ) (c) r(t) = sen (t 30 ) cos ( t 45 ) 3) Desenhe o Diagrama de Bode, obtenha a resposta à rampa unitária e construa o gráfico c(t) t do seguinte sistema de fase nãomínima: C(s) = T s R(s) 4) Mostre através do Diagrama de Bode que a resposta em frequência de malha fechada do sistema descrito a seguir exibirá um pico de ressonância, embora o coeficiente de amortecimento seja maior que a unidade (ζ >). Verifique também que, na ausência do zero, este sistema de ª ordem não exibirá este pico. C(s) 0(s ) = R(s) (s )(s 5) 5

6 5) Para cada um dos diagramas mostrados a seguir, obtenha a função de transferência e ache a correção a ser aplicada à curva assintótica em ω = 8 rad/s. Para os polos complexos considere ζ = 0,5: db a db b 36 0 db/década 40 0 db/década 0 ω 4 8 ω 3 ω [rad/s] 0 0 ω 5 6 ω [rad/s] 40 db/década 40 db/década db c 40 db/década 0 0,5 ω ω 6 ω [rad/s] 0 db/década 6) A curva assintótica de ganho versus frequência relativa à função de transferência de malha aberta de um sistema de controle de fase mínima, com realimentação unitária, é mostrada abaixo. Com o auxílio desta curva, determine a função de transferência de malha aberta. 0 log GH(jω) [db] 6 db/oitava ω [rad/s] db/oitava 6

7 7) Esboce os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência: Ts Ts (a) G(s) = (T > T > 0) (b) G(s) = (T > T > 0) Ts Ts Ts (c) G(s) = (T > T > 0) T s 8) Utilizando o critério de Nyquist, determine o valor crítico de para a estabilidade em um sistema com realimentação unitária negativa cuja função de transferência de malha aberta é 0,8s e G(s) = s 9) O sistema de controle com a seguinte função de transferência de malha aberta e com = é estável? Aplicando a análise de Nyquist, determine o valor crítico do ganho para a estabilidade. Comprove este resultado utilizando outro método para a análise da estabilidade. G(s)H(s) = s(s )(s ) 0) Determine se cada um dos sistemas mostrados abaixo é estável ou instável, no sentido absoluto, por intermédio do esboço dos Diagramas de Nyquist completos. Supor H(s) =. a Im b ω 0 Im G(jω) G(jω) Re ω ω Re ω 0 G(jω) c Im Re d G(jω) Im ω ω = 0 ω 0 ω Re 7

8 ) O diagrama de blocos mostrado abaixo apresenta o sistema de controle de um veículo especial. Determine o ganho tal que a margem de fase seja 50. Qual a margem de ganho neste caso? (s) s ) Considere um sistema de controle com realimentação unitária negativa cuja função de transferência de malha aberta é mostrada abaixo. Determine o ganho tal que a margem de fase seja 50. Qual a margem de ganho neste caso? G(s) = s(s s 4) 8