Sistemas de Controle 2

Transcrição

1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 2 Cap.10 Técnicas de Resposta em Frequência Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

2 10. Técnicas de Resposta de Frequência 10.1 Introdução Sistemas de Controle 2 Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro Cap.10 Técnicas de Resposta em Frequência 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode 10.3 Introdução ao Critério de Nyquist 10.4 Esboçando o Diagrama de Nyquist 10.5 Estabilidade por Intermédio do Diagrama de Nyquist 10.6 Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio do Diagrama de Nyquist 10.7 Estabilidade, Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio dos Gráficos de Bode 10.8 Relação entre Resposta Transitória a Malha Fechada e Resposta de Frequência a Malha Fechada 10.9 Relação entre Respostas de Frequência a Malha Aberta e a Malha Fechada Relação entre Respostas Transitória a Malha Fechada e de Frequência a Malha Aberta Características de Erro do Estado Estacionário a Partir da Resposta de Frequência Sistemas com Retardo Obtendo Funções de Transferência Experimentalmente

3 10.1 Introdução Cap.8 e 9 Método do lugar das raízes para o projeto da resposta transitória, do erro de estado estacionário e da estabilidade Cap. 8 Projeto através do ajuste de ganho Solução de compromisso entre a resposta transitória e o erro de estado estacionário. Cap. 9 Mudança do local das raízes para o ponto desejado através da inserção de pólos e zeros Sem a necessidade de manter uma relação de compromisso entre erro de estado estacionário e resposta transitória. Cap. 10 e 11 Projeto de sistemas de controle com retroação através do ajuste de ganho e de estruturas de compensação a partir da resposta em frequência. Os resultados das técnicas de compensação por meio de resposta de frequência não são novos ou diferentes dos resultados das técnicas de lugar das raízes.

4 10.1 Introdução Os métodos de resposta em frequência são mais antigos que o método do lugar das raízes. Contudo apresentam uma visão diferente do sistema e algumas vantagens em algumas situações: 1. Quando se modelam funções de transferência a partir de dados físicos. 2. Quando se projetam compensadores de avanço de fase para atender o erro de estado estacionário requerido e a resposta transitória requerida; 3. Ao se determinar a estabilidade de sistemas não-lineares 4. Na remoção de ambiguidades ao se esboçar o lugar das raízes

5 10.1 Introdução O Conceito da Resposta de Frequência Considerando o estado estacionário: Entradas senoidais geram Saídas senoidais - Com a mesma frequência - Diferenças de amplitude e de fase Representação de sinais senoidais Sinais senoidais Números complexos (a+jb) Fasores

6 10.1 Introdução Sistema - Produz alterações de amplitude e fase - Pode ser representado por um número complexo Considere o sistema com uma entrada senoidal: Fasor de entrada x sistema fasor de saída Resposta no regime permanente

7 10.1 Introdução Função de sistema: resposta de frequência em magnitude resposta de frequência em fase Resposta de frequência: Resposta no regime permanente

8 10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Entrada do sistema no tempo: Representação da entrada como fasor:

9 10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Expansão em frações parciais

10 10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Cálculo das constantes Forma retangular Fórmula de Euler Conjugado de K 1

11 10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Sistema Resposta em estado estacionário: Depende apenas dos pólos da entrada. Demais termos são exponenciais que decrescem a zero no estado estacionário Resposta em estado estacionário (ss = steady state)

12 10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Substituindo K1 e K2: K 1 K 2 Aplicando a transformada de Laplace inversa e usando a fórmula de Euler

13 10.1 Introdução Expressões Analíticas da Resposta de Frequência Representação na forma de fasor: Logo: função resposta de frequência A resposta de frequência de um sistema cuja função de transferência é G(s) é:

14 10.1 Introdução Plotando a Resposta de Frequência Formas de se representar graficamente a resposta em frequência: 1) Gráficos separados de magnitude e de fase, em função da frequência. Magnitude em decibéis (db) Ângulo de fase em logaritmo (log ω) Diagrama de Bode Cálculos de magnitude e fase: Traçar vetores dos pólos e zeros percorrendo todo o eixo imaginário jω. Magnitude: Calcular produto das magnitudes dos vetores dos zeros dividido pelo produto das magnitudes dos pólos. Fase: Calcular soma dos ângulos dos vetores dos zeros subtraído pela soma dos ângulos dos pólos. db = 20logM M = 10 valor em db 20

15 10.1 Introdução Plotando a Resposta de Frequência Formas de se representar graficamente a resposta em frequência: 2) Gráfico polar, onde o comprimento do fasor é a magnitude e o ângulo do fasor é a fase. Usado para gerar o Diagrama de Nyquist Gráfico polar Para ambos os gráficos O valor de K para cada frequência é o inverso da magnitude em escala. O valor do ângulo calculado é o próprio valor da fase referente àquela frequência. Diagrama de Nyquist

16 10.1 Introdução 1) Substituir s=jω G s = 1 (s + 2) G jω = 1 (jω + 2) = (jω 2) (jω + 2)(jω 2) = (2 jω) (ω 2 + 4) 2) Calcular magnitude e fase Magnitude G jω = M jω = 1 (ω 2 + 4) 2 (ω 2 + 4) Ângulo de fase φ jω = tan 1 (ω/2) ω (ω 2 + 4)

17 10.1 Introdução Magnitude Gráficos de resposta em frequência versus Fase versus

18 10.1 Introdução Polar Gráficos de resposta em frequência Ainda não é o diagrama de Nyquist

19 10.1 Introdução É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa. Exemplo 1 Exemplo: Em 1 rad/s Gráfico de magnitude = -7dB = 10 7/20 = Gráfico de fase = 26 Gráfico polar ponto de raio com ângulo de 26

20 10.1 Introdução Exemplo: Gráfico de magnitude = -7dB = 10 7/20 = Em 1 rad/s Gráfico de fase = 26-7dB 26

21 10.1 Introdução Exemplo: Em 1 rad/s Gráfico de magnitude = -7dB = 10 7/20 = Gráfico de fase = dB=0.447

22 10.1 Introdução É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa. Exemplo 2 Em 2 rad/s log(0.35)=-9.12dB

23 10.1 Introdução É possível obter o gráfico de magnitude e fase a partir do gráfico polar, e vice versa. Exemplo 2 Em 2 rad/s -9.12dB 45

24 Fim da Introdução do capítulo 10

25 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Gráficos ou Diagramas de Bode Podem ser aproximados como uma sequência de linhas retas.

26 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Gráficos ou Diagramas de Bode Função de transferência do sistema Cálculo da magnitude Simplificando o cálculo da magnitude pela aplicação do logaritmo (resposta em db): Sabendo a resposta de cada termo é possível traçar uma reta para cada um deles e em seguida somar a resposta no gráfico.

27 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Gráficos ou Diagramas de Bode Função de transferência do sistema Cálculo da fase Soma das curvas de fase dos termos relativos aos zeros menos a soma das curvas de fase dos termos referentes aos pólos

28 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Gráficos ou Diagramas de Bode Função de transferência do sistema Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 1) Gráficos de Bode para G(s) = (s + a) 2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a) 3) Gráficos de Bode para G(s) = s 4) Gráficos de Bode para G(s) = 1/s 5) Gráficos de Bode para G(s) = s 2 + 2ζω n s + ω n 2 6) Gráficos de Bode para G(s) = 1 s 2 +2ζω n s+ω n 2

29 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 1) Gráficos de Bode para G(s) = (s + a) Baixa frequência, ω 0: Em db: constante Constante reta constante Alta frequência, ω a: Em db: 20logM = 20. logω Como o gráfico é expresso em db por logω, ele se torna uma reta crescente: (20 logm) = 20. (logω)

30 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode Cada vez que a frequência dobra (aumento de uma oitava) a função aumenta 6dB. 20 log2. ω = 20log2 + 20logω = 6dB + 20logω O aumento começa em ω = a com inclinação de 6dB/oitava Cada vez que a frequência aumenta 10 vezes (aumento de uma década) a função aumenta 20dB (inclinação equivalente a 6dB/oitava). Assíntota de alta frequência Assíntota de baixa frequência

31 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode Diagrama de fase Frequência de quebra, ω = a: G jω = ja + a Fase 45 Baixa frequência, ω 0: Fase 0 Alta frequência, ω a: Para desenhar a curva, comece uma década (1/10) abaixo da frequência de quebra, 0.1a, com fase de 0, e desenhe uma linha de inclinação +45 /década passando por 45 na frequência de quebra e continuando até 90 uma década acima da frequência de quebra, em 10a.

32 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode Normalização da magnitude A magnitude da função costuma ser normalizada para facilitar a comparação entre sistemas de primeira e segunda ordem pois ambos terão a mesma assíntota de baixa frequência e a mesma frequência de quebra depois de colocada em escala. Normalizando (s+a): (s+a) = a s a + 1 Nova variável de frequência: s 1 = s/a Portanto: a s a + 1 a s Magnitude é dividida por a para produzir a frequência de 0dB de quebra. Função colocada em escala: (s 1 + 1) Para obter a resposta de frequência original, a magnitude e a frequência são multiplicadas pela grandeza a.

33 Frequência de quebra Real normalizada em 3dB

34 (s+a) Resposta assintótica e real normalizada de magnitude em escala Diferença máxima de 3dB

35 (s+a) Resposta assintótica e real normalizada de fase em escala Diferença máxima de 5.71 graus

36 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a) Assíntota de baixa frequência, s 0: Frequência de quebra, s = a rad/s. Alta frequência, s :

37 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 2) Gráficos de Bode para G(s) = 1/(s + a)

38 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 3) Gráficos de Bode para G(s) = s

39 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Estudo da aproximação do Diagrama de Bode 4) Gráficos de Bode para G(s) = 1/s

40 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode O gráfico de Bode é a soma dos gráficos de Bode de cada termo de primeira ordem. Usar o gráfico normalizado para cada um dos termos exceto o do pólo na origem. Dividindo em cima por 3 Dividindo em baixo por 2 Frequências de quebra ocorrem em 1, 2 e 3

41 10.2 Aproximações Assintóticas: Gráficos de Bode Frequências de quebra ocorrem em 1, 2 e 3 O gráfico de magnitude deve começar uma década abaixo da menor frequência de quebra e se estender até uma década acima da maior frequência de quebra. Intervalo escolhido: De 0,1 a 100 radianos, ou três décadas Em baixa frequência: ω = 0 para todos os termos (s/a +1) ω = 0.1 (frequência real) para termo s no denominador. G j0.1 = 3 2 K 0.1 = 15K Escolhendo K=1 (normalização)

42 Início do gráfico 2 3

43 Início do gráfico Segundo ponto em (decréscimo de 20dB) 2 3

44 A fase é tratada de modo semelhante. Contudo, a existência de quebras uma década abaixo e uma década acima da frequência de corte requer um pouco mais de cálculo. 0,

45

46 Estudar Exemplo 10.2 em detalhes