Transformada Z. Transformada Z

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Sebastião do Amaral Figueira
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1 Semelhante ao apresentado anteriormente, entre a relação das transformadas de Fourier e de Laplace, será visto que a generalização da representação senoidal complexa de um sinal de tempo discreto pela DTFT, será realizada em termos de sinais exponenciais complexos pela transformada Z. 1

2 A transformada Z será apresentada, definindo, ou seja um número complexo de módulo e fase. Admite-se então o sinal como sendo um sinal exponencial complexo que pode ser expresso na forma a frequência do si- sendo o fator de amortecimento e nal senoidal. 2

3 Considera-se então o sinal aplicado a um sistema de tempo discreto com resposta ao impulso, ou seja: 3

4 Substituindo obtém-se Define-se então como sendo a função de transferência do sistema, de forma que. 4

5 Observa-se então que é uma autofunção associada ao autovalor. A função de transferência do sistema, também pode ser representada na forma polar, ou seja,, sendo possível escrever o sinal de saída do sistema como 5

6 Substituindo, obtém-se: Observa-se, pela comparação entre o sinal aplicado a entrada do sistema,, e o sinal de saída, que o sistema altera a amplitude do sinal de entrada pelo fator e desloca a fase em. 6

7 Uma vez que pode-se reescrever, considerando na forma 7

8 Conclui-se então que corresponde a DTFT de, logo, a DTFT inversa de pode ser escrita na forma ou ainda. 8

9 pode-se realizar a troca de variá-, logo Uma vez que veis, sendo sendo denota que a integração é realizada ao longo de um círculo de raio. 9

10 Para um sinal arbitrário e tem-se então Transforma Z Inversa 10

11 Ou ainda, a relação entre e é expressa na forma. Uma vez que, deve-se ter De forma a garantir a somabilidade de. 11

12 A faixa de valores de que satisfaz esta condição é denominada de Região de Convergência. Conclui-se então, que a transformada Z existirá para sinais que não tem DTFT. 12

13 13

14 Pode-se representar o número complexo por sua localização no plano complexo, denominado de Plano Z, na forma 14

15 Observa-se que se for absolutamente somável, a DTFT é obtida da transformada Z, fazendo-se, sendo na equação A relação descreve um círculo de raio unitário com centro na origem do Plano Z.. 15

16 A frequência da DTFT corresponde ao ponto do círculo de raio unitário com ângulo em relação ao eixo real positivo. 16

17 Exemplo 7.1: Determinar a transformada Z do sinal. 17

18 É comum encontrar-se a transformada Z de um sinal ou da função de transferência discreta de um sistema na forma de uma função racional em, ou seja: ou ainda 18

19 Sendo as raízes do polinômio do numerador, ou os zeros de, e as raízes do denominador, ou os pólos de. Exemplo 7.2: Determinar a transformada Z do sinal juntamente com a RDC e as localizações dos pólos e zeros de no Plano Z. 19

20 Pólos, Zeros e RDC 20

21 Exemplo 7.3: Determinar a transformada Z do sinal juntamente com a RDC e as localizações dos pólos e zeros no Plano Z. 21

22 Pólos, Zeros e RDC 22

23 Exemplo 7.4: Determinar a transformada Z do sinal juntamente com a RDC e as localizações dos pólos e zeros no Plano Z. 23

24 Exercício 7.1: Determinar a transformada Z, a RDC e a localização dos pólos e zeros de para. 24

25 Exercício 7.2: Determinar a transformada Z, a RDC e a localização dos pólos e zeros de para. 25

26 Propriedades da A maioria das propriedades da transformada Z é análoga as da DTFT. Nas propriedades apresentadas a seguir supõe-se que 26

27 Propriedades da Linearidade: A transformada Z de uma soma de sinais é igual a soma das transformadas Z individuais, ou seja,. 27

28 Exemplo 7.6: Suponha que avaliar as transformadas Z de. 28

29 Propriedades da Inversão no Tempo: Ou reflexão, corresponde a substituir por. 29

30 Propriedades da Deslocamento no Tempo: 30

31 Propriedades da Multiplicação por Sequência Exponencial: Admitindo que seja um número complexo 31

32 Propriedades da Convolução: 32

33 Propriedades da Diferenciação no Domínio Z: 33

34 Propriedades da Exemplo 7.7: Determinar a transformada Z do sinal Exemplo 7.8: Determinar a transformada Z do sinal Exercício 7.4: Determinar a transformada Z de 34

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