Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia. Cálculo III. Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica

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1 Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Cálculo III Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Capítulo II Transformadas de Laplace Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica

2 IV Transformadas de Laplace Introdução Fundamentação Teórica Transformadas de Equações Diferenciais Ordinária 06/06/209 :26 CÁLCULO III Transformadas de Laplace IV Transformadas de Laplace Introdução Fundamentação Teórica Transformadas de Equações Diferenciais Ordinárias 2

3 4. Introdução Um das ferramentas mais poderosas utilizadas na resolução das equações diferenciais lineares são as transformadas de Laplace. Uma das vantagens do método é o de reduzir o problema de resolução da equação diferencial, muitas vezes complexo, a um problema puramente algébrico. Ademais, essa metodologia considera as condições iniciais sem a necessidade de se determinar inicialmente a solução geral para dela, então, obterse uma solução particular. 4. Introdução Em sua essência, o desenvolvimento do método consiste de três etapas: i. A equação diferencial dada é transformada em uma equação algébrica. ii. Essa equação é resolvida por manipulações puramente algébricas. iii. A solução da equação algébrica obtida é transformada em sentido contrário, de modo que forneça a solução desejada da equação diferencial original. 3

4 IV Transformadas de Laplace Introdução Fundamentação Teórica Transformadas de Equações Diferenciais Ordinárias Uma transformada integral é uma relação da forma F s = α β K s, t f(t) dt, em que K(s,t) é uma função dada, chamada de núcleo da transformação, e os limites de integração e também são dados. Essa relação transforma a função f em outra função F, que é chamada a transformada de f. Se f(t) estiver definida para t 0, então a integral imprópria 0 K s, t f(t) dt 4

5 é definida pelo limite 0 K s, t f t dt = lim b 0 b K s, t f(t) dt Se esse limite existe, diz-se que a integral existe ou é convergente; se o limite não existe, diz-se que a integral não existe ou é divergente. O limite existirá somente para certos valores da variável s. Existem diversas transformadas integrais úteis em matemática aplicada, entre elas a transformada de Laplace. Definição da Transformada de Laplace. Seja f(t) uma dada função que é definida para todos os valores de t maiores ou iguais a zero (t 0). Se essa função for multiplicada por e st e o resultado integrado em relação a t variando de zero ao infinito, então ela será uma função de s denominada transformada de Laplace da função original f(t), desde que a integral resultante exista (convirja), e será denotada por F(s) ou L{f t }, definida pela equação F s = L f = 0 e st f t dt. 5

6 Além disso, a função original f(t) é chamada de transformada inversa ou, simplesmente, a inversa de F(s) e será representada por L (F); assim, ela será escrita como f t = L [F s ]. Como já ficou demonstrado, no tratamento das transformadas de Laplace a função original será representada por uma letra minúscula e sua respectiva transformada pela mesma letra, porém maiúscula. Exemplo. Calcule a transformada de Laplace de f t =. Solução: L f t = L = 0 e st b ()dt = lim b 0 e st dt e = lim st b ቚ = lim e sb + = b b s s s 0 desde que s > 0 (a integral converge, pois e st 0 quando b ). Se s < 0, a integral é divergente (e st, quando b ). 6

7 Definição de uma função contínua. Seja uma função f t : a, b R e a < t o < b. A função f(t) é contínua em um certo ponto t o, se lim f(t) = f(t o ) t t o onde a, b é um intervalo da forma a, b, a, b, a, b e [a, b]. Se não existe lim f(t) ou t to se ele existe, mas lim f(t) f(t o ), t t o diz-se que a função f(t) é descontínua em t o. Tipos de descontinuidades. Se f(t) é uma função descontínua em um ponto t o do seu domínio, diz-se que: i. f(t) tem descontinuidade de salto (ª espécie) em um certo ponto t o, se os limites laterais da função em t o existem (são finitos), mas são distintos. ii.f(t) tem descontinuidade infinita (2ª espécie) em um certo ponto t o, se a função toma valores arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos próximos de t o. 7

8 A figura mostra a função f(t) contínua no intervalo [a, b] e a função g(t) que apresenta uma descontinuidade em saltos (ª espécie) no ponto b e uma descontinuidade infinita (2ª espécie) no ponto c. f(t) g(t) t t Ordem exponencial. Diz-se que uma função f(t) é de ordem exponencial em [0, ) se existem constantes, M > 0, tal que para todo t 0 se tem f(t) Me αt. São funções de ordem exponencial: f t = t, pois t < e t ; f t = t 2, pois t² < 2e t ; f t = t 2 cos(at), pois t 2 cos(at) < 2e (+a)t ; f t = e, pois e < e t. 8

9 e t 2e t t² t t é de ordem exponencial t² é de ordem exponencial 2e 2t t 2 cos t t 2 cos t é de ordem exponencial e t² não é de ordem exponencial et² e t Condições suficientes para a existência da transformada de Laplace. Consistem em que a função f(t) seja contínua em intervalos e f(t) não cresça demasiadamente rápido à medida que t se aproxima do infinito (f seja de ordem exponencial). Uma função f t é dita contínua em intervalos (ou seccionalmente contínua) sobre um intervalo finito a t b, se nesse intervalo há um número finito de descontinuidades de ª espécie. Então, os saltos finitos, conforme definidos, são as únicas descontinuidades que uma função contínua em intervalos pode possuir, e onde, evidentemente, todas as funções contínuas estão incluídas. 9

10 Teorema (Teorema de existência). Seja f t uma função contínua em intervalos (contínua por partes ou seccionalmente contínua) no intervalo [0, ), como também satisfaça a relação f(t) Me αt para qualquer t 0 e para certas constantes, M > 0, isto é, seja de ordem exponencial para t 0; então, a sua transformada de Laplace existe para todo s >. Demonstração. Como f(t) é contínua em intervalos, e st f(t) é integrável em qualquer intervalo finito sobre o eixo t, e da relação f(t) Me αt, tem-se L{f} = 0 e st f t dt = 0 e st f t dt 0 e st Me αt dt = M 0 e s t dt = M s isso implica que a integral converge para todo s >. Logo, a transformada existe para todo s >, conforme se queria demonstrar. 0

11 Teorema 2 (Linearidade). A transformada de Laplace é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções f(t) e g(t) cujas transformadas de Laplace existam, e quaisquer constantes a e b, tem-se L af t + bg(t) = al f + bl g Demonstração. Por definição, L{af t + bg t } = 0 e st [af t + bg t ]dt = a 0 e st f(t)dt + b 0 e st g t dt = al f t } + bl{g(t) A tabela a seguir mostra as transformadas de Laplace de algumas funções elementares muito importantes, pois a partir delas, boa parte das transformadas necessárias podem ser obtidas pelo emprego de alguns teoremas gerais.

12 Exemplo. Ache a transformada de Laplace de f t = 3t 5sen 2t. L 3t 5sen2t = 3L t 5L sen 2t = 3 s s = 7s2 + 2 s 2 s s > 0 Teorema 3 (Primeiro teorema do deslocamento). Se L f t = F s quando s > a, segue-se que e at f t = F s a, isto é, a substituição de s por s a na transformada corresponde à multiplicação da função por e at. 2

13 Demonstração. Por definição, L f t e, portanto, = F(s) = 0 e st f t dt F(s a) = 0 e (s a)t f(t)dt = 0 e st [e at f t ]dt = L e at f t Exemplo. Sabendo-se que L t² = 2Τs ³ ache L e 2t t 2. L e 2t t 2 = 2 = 2 [s 2 ]³ (s+2)³ s > 2 Exemplo. Calcule L e 5t t³ Solução: Da comparação com o teorema do deslocamento e at f t = F s a L e 5t t³ tem-se que f t = t 3, a = 5. Como L f(t n ) = n! sn+, então L f(t) = L t 3 = 3! s 3! 3+ = s L e 5t t³ = F s 5 = 3! (s 5) 4 4 = F s 3

14 Teorema 4 (Derivada de f(t)). Seja uma função f(t) contínua para t 0, que satisfaça a relação de ordem exponencial (para determinados e M) e possua uma derivada f (t) contínua em intervalos sobre qualquer intervalo finito em t 0,então a transformada de Laplace da referida derivada existe quando s >, e L f t = sl f t f 0 (s > α) Demonstração. Considerando-se que f (t) é contínua para t 0; então, de acordo com a definição e mediante uma integração por partes, tem-se L f t = 0 e st f t dt = e st f(t) ȁ 0 + s 0 e st f t dt = f 0 + sl{f t } L f t = sl f t f(0) supondo-se que e st f(t) 0 quando t. Analogamente, L f t = sl f t f (0) = s sl f t f 0 f 0 L f t = s 2 L f t sf 0 f 0 4

15 Semelhantemente, L f t = = s 3 L f t s 2 f 0 sf 0 f (0). Por indução e considerando as condições de existência das transformadas de Laplace, obtém-se a seguinte extensão L f (n) t = s n L f t s n f 0 s n 2 f 0 f n (0) Exemplo. Seja f t = Solução: Τ t 2 2. Determinar L f t. Tem-se f 0 = 0, f 0 = t = 0, f 0 =, Como L{f t } = L = s, obtém-se L f t = s 2 L f t sf 0 f 0 L = s = s2 L f t 0 0 L f t = L Τ t 2 2 = s 3 5

16 Teorema 5 (Integração de f(t)). Se a função f(t) é contínua em intervalos e de ordem exponencial (para determinados e M), então a transformada de Laplace da referida integração existe quando s > 0 e s >, e t L 0 f u du = L f t s (s > 0, s > α) Demonstração. Considerando-se que f t satisfaça as condições de existência das transformadas de Laplace, então a integral t g t = 0 f(u)du é contínua. Definido-se t g t = 0 f(u)du, então, pelo teorema fundamental do cálculo, g t = d g t = d dt dt t 0 f(u)du = f t e g 0 = 0 0 f(u)du = 0. Portanto, F s = L f t = L g t = sl g t g(0), e como g 0 = 0, então L g t = s L f t 6

17 Exemplo. Seja L f t = s 2 (s ) f t, utilizando a transformada da integral. Solução: Da tabela de transformadas tem-se f t = L s²(s 2 +2²), achar h t = L s 2 +2² = L 2 2 s 2 +2² = 2 L 2 s 2 +2² = sen 2t 2 s s 2 +2² = L h t = s L t 0 h u du L s s 2 +2² t = 0 h u du = 2 t 0 sen 2udu = ( cos 2t) 4 f t = L s² s 2 +2² = L s t = 0 ( cos 2u) du 4 = 4 t sen 2t 2 s s 2 +2² 7

18 FRAÇÕES PARCIAIS (Revisão). O uso de frações parciais é muito importante quando se procura a transformada de Laplace inversa que envolve uma fração aparentemente complexa. Existem vários casos de aplicação da técnica, mas aqui serão revisados somente os casos mais comuns. Caso I. O denominador contém somente fatores lineares distintos, como no cálculo da transformada inversa L (s )(s + 2)(s + 4). Neste caso, existem únicas constantes A, B e C tais que: (s )(s + 2)(s + 4) = A s + B s C s + 4 = As 2 + 4As + 2As + 8A + Bs 2 + 4Bs Bs 4B + Cs 2 + 2Cs Cs 2C = A + B + C s 2 + 6A + 3B + C s +(8A 4B 2C) Comparando-se os coeficientes das potências de s em ambos os lados da igualdade tem-se 8

19 A + B + C = 0; 6A + 3B + C = 0 e 8A 4B 2C = de onde se obtém A = Então, pode-se escrever e assim, (s )(s+2)(s+4) L (s )(s+2)(s+4) Τ5, B = Τ6 e C = = / s s+2 s L s+4 = 5 L s 6 L s+ = 5 et 6 e 2t + 0 e 4t Τ 0. Caso II. O denominador contém fatores lineares repetidos, como no cálculo da transformada inversa a seguir L s + s²(s + 2)³. Neste caso, ter-se-á tantas frações parciais (e constantes) quantos forem o número de fatores. No exemplo a seguir, tem-se 5 fatores, logo as constantes serão A, B, C, D e E, tais que: s + s²(s + 2)³ = A s + B s² + C s D (s + 2)² + E (s + 2)³ 9

20 Procedendo-se da mesma maneira anterior, chegase a s + = As s B s Cs 2 s Ds 2 s Es 2 Substituindo-se s = 0 e s = 2 (os zeros do denominador), conclui-se que B = Τ8 e E = Τ4, respectivamente. Igualando-se s 4, s³ e s, tem-se 0 = A + C; 0 = 6A + B + 4C + D; = 8A + 2B, de onde se obtém A = Τ 6, C = Τ 6 e D = 0. Logo L s+ s²(s+2)³ = = L Τ6 s + Τ8 s 2 + Τ6 + 0 s+2 s+2 2 Τ4 (s+2)³ = 6 L s + 8 L s² + 6 L s+2 4 L (s+2)³ = t + 6 e 2t 8 t²e 2t 20

21 Caso III. O denominador contém um fator quadrático irredutível (raízes complexas), como no cálculo da transformada inversa a seguir L 3s 2 s³(s² + 4). Neste caso, ter-se-á quatro frações parciais quantos forem o número de fatores (quatro constantes), mas a fração correspondente ao fator quadrático apresentará duas constantes. No exemplo a seguir, tem-se quatro fatores, um deles quadrático, logo serão quatro frações com cinco constantes A, B, C, D e E, tais que: 3s 2 = A + B + C + D s³(s²+4) s s² s³ (s+2)² s²+2 Procedendo-se da mesma maneira anterior, chega-se a 3s + 2 = As 2 s Bs s C(s 2 + 4) + Ds + E s 3 Substituindo-se s = 0 (o zero real do denominador), conclui-se que C = Τ2. Os demais coeficientes serão calculados comparando-se as potências de s em ambos os lados da igualdade. Assim A = Τ8; B = 3Τ4 ; D = Τ8 ; E = 3Τ4. 2

22 Logo y t = L 3s 2 s³(s 2 +4) = L Τ8 s = + 3Τ4 s 2 Τ2 + s³ (s Τ 8) 3 Τ 4 s 2 +4 = 8 L s L s² 4 L 2 s 3 8 L s s 2 +2² 3 8 L 2 s 2 +2² y(t) = + 3 t t2 cos 2t 3 sen 2t 8 8 CONVOLUÇÃO. Se duas funções, f e g, forem contínuas em intervalos sobre o intervalo 0,, então a convolução de f e g, denotada por f g, é dada pela integral f g = 0 t f τ g t τ dτ Pode ser demonstrado que a convolução funções é comutativa, ou seja, f g = g f. de duas Exemplo. A convolução de f t = e t e g t = sen t é f g = e t sen t = 0 t e τ sen t τ dτ = 2 ( sen t cos t + et ) 22

23 A transformada de Laplace da convolução de duas funções pode ser calculada sem a necessidade de resolver a integral que a define, como feito anteriormente, conforme demonstra o teorema a seguir: Teorema 6 (Teorema de convolução). Sejam f t e g t funções contínuas em intervalos sobre o intervalo 0, e de ordem exponencial; então, L f g = L f t L g t = F s G(s) Demonstração. Seja F s = L f t = 0 e sτ f(τ)dτ e G s = L g t = 0 e sβ g(β)dβ Então F s G s = 0 e sτ f(τ)dτ 0 e sβ g(β)dβ 0 = 0 f(τ) e sτ e sβ g(β)dβ dτ 0 = 0 f(τ) e sτ e sβ g(β)dβ dτ 0 e s(τ+β) g(β)dβ dτ f(τ) 0 = 23

24 Fixando τ e fazendo t = τ + β, dt = dβ, tem-se 0 = s F s G f(τ) τ e st g(t τ)dt dτ Como as funções são contínuas a ordem de integração pode ser invertida (Teorema de Fubini), então 0 = s F s G 0 e st t f τ g(t τ)dτ dt f g A integral interna é a convolução de f e g (f g). Logo, da definição da transformada de Laplace, temse que F s G s = L{f g} Plano τ t τ Reta τ = t τ Reta τ = t Integral externa τ: 0 a τ = t Integral interna t: τ a Integral τ = t interna τ: 0 a t τ = 0 t τ = 0 t Integral externa t: 0 a Inversão da ordem de integração 24

25 Exemplo. Calcule L 0 t e τ sen t τ dτ Solução: Da definição de convolução, tem-se que 0 t e τ sen t τ dτ = f g, onde f t = e t e g t = sen t. Então L 0 t e τ sen t τ dτ = L f g = L f L g = L e t L sen t = s s 2 + = (s )(s 2 +) TEOREMA DACONVOLUÇÃO (Forma inversa). Pelo Teorema da Convolução, anteriormente demonstrado, tem-se que L F s G(s) = f g Exemplo. Calcule L (s )(s+4) Solução: L (s )(s+4) = L s s+4 F s = s e G s = s+4 25

26 L s s+ L F(s) = f t = e t e L G(s) = g t = e 4t = L F(s) G(s) = = f g = 0 t e τ sen t τ dτ = 0 t e τ e 4(t τ) dτ = e 4t 0 t e 5τ dτ = e 4τ = 5 et 5 e 4t ቚ t 5 e5τ 0 FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO. A função degrau unitário é considerada como de fundamental importância na definição de certas funções de relevância no uso da transformação de Laplace. Definição. A função degrau unitário, representada por u a (t a) é definida por 0 t < a u a t = ቊ t a. Exemplo: Esboce o gráfico das funções de u o t e u 2 t 26

27 (a) u o t a = 0 u 0 t =, t 0 (b) u 2 t a = 2 u 2 t = ቊ 0 0 t < 2 t 2. u u (a) t 2 (b) t IV Transformadas de Laplace Introdução Fundamentação Teórica Transformadas de Equações Diferenciais Ordinárias 27

28 4.3 Transformadas de EDOs Para resolver equações diferenciais ordinárias utilizando as transformadas de Laplace, considerarse-á, como exemplo, a equação y + w 2 y = r(t) com w e r t conhecidos. Aplicando-se a transformada de Laplace, obtém-se s 2 Y s sy 0 y 0 + w 2 Y s = R(s), onde Y(s) é a transformada de Laplace da função incógnita y(t), e R(s) é a transformada de Laplace de r(t). 4.3 Transformadas de EDOs Esta equação algébrica é, geralmente, denominada equação subsidiária da equação diferencial, e sua solução é Y s = sy 0 + y 0 s 2 + w 2 + R(s) s 2 + w 2, na qual Y(s) é completamente determinado por meio das condições iniciais, y 0 = k e y 0 = k 2. Conhecido Y(s), procede-se a última etapa do método, que consiste em se determinar a transformada inversa L Y s = y(t), que é a solução desejada. Posteriormente, pode-se verificar, por substituição, se y(t) satisfaz à ED dada e às condições iniciais. 28

29 4.3 Transformadas de EDOs Exemplo 0. Determinar a solução da ED abaixo, que satisfaz às condições iniciais y 0 = 0, y 0 = 2. y + 9y = 0 Solução: L{y + 9y} = L y + 9L y } = L 0 s 2 Y s sy 0 y 0 + 9Y(s) = 0 s 2 Y s Y s = 0 Y s = 2 = 2 3 s s 2 +3² Da tabela de transformadas decorre y t = L Y s = 2 sen 3t Transformadas de EDOs Exemplo 02. Resolver a equação y 6y + 9y = t 2 e 3t, y 0 = 2, y 0 = 6 Solução: L{y } 6L y + 9L{y} = L{t 2 e 3t } s 2 Y s sy 0 y 0 6[sY s y 0 ] + 9Y(s) = 2 (s 3)² (s 2 6s + 9)Y s = 2s (s 3)³ s 3 2 Y s = 2 s (s 3)³ 29

30 4.3 Transformadas de EDOs Y s = 2 s (s 3) 5 y t = L Y(s) = L 2 s s 3 5 = 2L s 3 + 2L (s 3) 5 Da tabela de transformadas inversas de Laplace L s a = eat, L (s a) n = (n )! tn e at, logo y t = 2e 3t + 2 4! t 4 e 3t = e 3t 2 + t Transformadas de EDOs De outra forma: y t = L Y(s) = L 2 s s 3 5 = 2L s 3 + 2L (s 3) 5 Do teorema da translação e da tabela: L f t = F(s) L e at f t = F(s a) L F s = f(t) L F s a = e at f(t) L s n = tn (n )! L (s a) n = eat tn (n )! 30

31 4.3 Transformadas de EDOs logo L ቚ s 5 s s 3 y t = 2e 3t + 2 Exemplo 02. Resolver a equação Solução: t5 t4 = e3t = e3t (5 )! 4! 4! t 4 e 3t = e 3t 2 + t4 2 y (4) y = 0, y 0 = 0, y 0 =, y 0 = 0, y 0 = 0 L{y (4) } L{y} = L{0} 4.3 Transformadas de EDOs s 4 Y s s 3 y 0 s 2 y 0 sy 0 y 0 Y s = 0 s 4 Y s s 3 0 s 2 s 0 0 Y s = 0 Y s = s2 = As+B + Cs+D s 4 s 2 s 2 + Y s = s 2 = A + C s 3 + B + D s 2 + A C s + B D A + C = 0 B + D = A = C = 0 e B = D = Τ2 A C = 0 B D = 0 3

32 4.3 Transformadas de EDOs Y s = L y(t) = = s 2 s S 2 ² + 2 S 2 +² y t = L Y s = 2 L s 2 ² + 2 L s 2 ² y t = (senh t + sen t) 2 32