Caderno de Exercícios

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1 Caderno de Exercícios Orlando Ferreira Soares

2 Índice Caracterização de Sinais... Caracterização de Sistemas...0 Sistemas LIT - Convolução...5 Série de Fourier para Sinais Periódicos Contínuos...0 Transformada e Transformada Inversa de Fourier para Sinais Contínuos...8 Transformada e Transformada Inversa de Laplace...3 Anexo A Identidades Trigonométricas...35 Anexo B Somatório de Séries Geométricas...36 Anexo C Propriedades da Transformada Contínua de Fourier...37 Anexo D Propriedades da Transformada Discreta de Fourier...38 Anexo E Propriedades da Transformada de Laplace...39 Bibliografia...40

3 Caracterização dos Sinais. Considere o seguinte sinal contínuo x(t) Represente os seguintes sinais: a) x( t ) b) 0, 5x( t ) c) x( t ) d) x( t ) e) x( t + ) f) x( t ) Orlando Ferreira Soares

4 . Considere o seguinte sinal discreto x(n) Represente os seguintes sinais: a) x( n ) b) 3 x( n ) c) x( n ) d) x( n ) 3. Considere os seguinte sinais contínuos x (t) e x (t) Represente os seguintes sinais: a) ( t ) x ( t ) x + b) ( t ) x ( t ) x c) 0 5 x ( t ) x ( t ), d) x ( t ) + x ( 4 t ) Orlando Ferreira Soares

5 4. Considere os seguinte sinais discretos x (n) e x (n) Represente os seguintes sinais: a) ( n ) x ( n ) x + b) ( n ) x ( n ) x + c) x( n ) + x ( n ) d) x( n ) x ( n ) 5. Determine e faça um esboço das componentes par e impar dos seguintes sinais contínuos. Verifique que a adição das duas componentes resulta no sinal original. a) Orlando Ferreira Soares 3

6 b) 6. Determine e faça um esboço das componentes par e impar dos seguintes sinais discretos. Verifique que a adição das duas componentes resulta no sinal original. a) b) Orlando Ferreira Soares 4

7 7. Desenhe os seguintes sinais exponenciais contínuos para o intervalo de t de 0 a 5. Para isso utilize a mesma escala em todos os sinais. a) x ( t ) = e t b) c) x ( t ) = e, t 0 x3( t ) = e 0, t d) Desenhe o sinal x t 4 ( t ) = e numa escala de t de 0 a 8. Desenhe os seguintes sinais exponenciais discretos. Para isso utilize a mesma escala em todos os sinais. a) b) c) x ( n ) = e nt x ( n ) = e, nt 0 x ( n ) = 0, nt e Use um valor de T=0,5 e valores de n de 0 a A figura a seguir apresentada mostra uma parte de um sistema de controlo onde o sinal de erro e(t) é formado pela diferença entre o sinal de entrada x(t) e o sinal de realimentação y(t). Se e( t ) = x( t ) y( t ) x ( t ) = 3 sen( wt + 0 ) e y ( t ) = 3cos( wt 0 ) determine e(t) e escreva a expressão na forma ( t ) = A sen( wt + ϕ ) e. Orlando Ferreira Soares 5

8 0. Determine a amplitude, frequência (Hz) e fase dos seguintes sinais, relativamente ao sinal sen wt. π a) 0 sen 30t + 4 π b) 50cos 00t 4 c) 00 cos( 0t) + 0 sen( 0t) d) e) f) Re e Im e Ae π j 3t + 4 π j 3t A e, com A = + j j t j t. Faça um esboço dos seguintes sinais. a) x ( t ) = 0, 5e ( + j π ) t ( jπ )t + 0, 5 e b) x ( t ) = 0, 5 je ( + jπ ) t ( jπ )t + 0, 5 e. a) Desenhe um ciclo do sinal ( t ) sen( w t) x 0 =, com π w 0 =. 6 b) Represente na mesma escala utilizada em a) o harmónico de ordem 7 do sinal x(t), ( t ) sen( 7w t) x h 0 =. Orlando Ferreira Soares 6

9 3. a) Desenhe um ciclo do sinal ( n ) sen( w nt ) =, com T =. x 0 b) Represente na mesma escala utilizada em a) o harmónico de ordem 7 do sinal x(n), ( n ) sen( w nt ) x h 0 =. 4. Calcule os seguintes integrais: a) + + 3t δ ( t ) dt b) [ δ ( t )cos t δ ( t )sen t] + + dt t c) u( t )e [ δ ( t ) + δ ( t ) ] d) + e jwt δ ( t ) dt + dt 5. Mostre graficamente os seguintes sinais: a) x ( n ) = u( t ) + u( t ) u( t ) b) x ( n ) = u( t ) 3u( t ) + u( t 3 ) c) x ( n ) = u( t ) u( t ) + u( t ) u( t 3 ) + u( t 4 ) 3 6. Estabeleça as equações das seguintes sinais em termos da função Degrau unitário. a) Orlando Ferreira Soares 7

10 b) c) 7. O sinal Rampa unitária é definido da seguinte maneira: t t 0 x ( t ) = 0 t < 0 Obtenha as expressão, em termos do sinal Rampa unitária para os seguintes sinais: a) Orlando Ferreira Soares 8

11 b) c) Orlando Ferreira Soares 9

12 Caracterização de Sistemas. Nas alíneas seguintes, x(t) representa o sinal de entrada de um sistema e y(t) representa o respectivo sinal de saída. Determine se os sistemas descritos pelas equações são: a) Linear b) Invariante no Tempo c) Instantâneo d) Causal e) Estável (i) y( t ) = x( t ) + x( t ) (ii) y( t ) = x( t ) + x( t ) (iii) y ( t ) = x( t ) 3 (iv) (v) y ( t ) = + x( τ ) dτ y( t ) = t x( τ ) dτ (vi) y( t ) = x( t )cos( 3t ) Orlando Ferreira Soares 0

13 (vii) (viii) (ix) y ( t y ( t 0, ) = x( t ) + x( t ), 0, ) = x( t ) + x( t ), dx( t ) y ( t ) = dt t < 0 t 0 x( t ) < 0 x( t ) 0. Nas alíneas seguintes, x(n) representa o sinal de entrada de um sistema e y(n) representa o respectivo sinal de saída. Determine se os sistemas descritos pelas equações são: a) Linear b) Invariante no Tempo c) Instantâneo d) Causal e) Estável (i) y( n ) = x( n ) (ii) y ( n ) = x( n ) (iii) y( n ) = x( n ) x( n 8 ) (iv) y ( n ) = x( n ) + 3 (v) y ( n ) = n.x( n ) (vi) y( n ) = x( 4 n + ) (vii) y ( n ) = x( n ) + [ x( n )] Orlando Ferreira Soares

14 (viii) y ( n ) x( n ), = 0, x( n + ), n n = 0 n (ix) y ( n ) x( n ), = 0, x( n ), n n = 0 n 3. O sinal x(t), Degrau unitário, é aplicado a um sistema Linear e Invariante no tempo. Este sistema produz a saída y(t) mostrada na figura. Determine as respostas do sistema às seguintes entradas: a) Orlando Ferreira Soares

15 b) 4. O sinal x(n), Degrau unitário, é aplicado a um sistema Linear e Invariante no tempo. Este sistema produz a saída y(n) mostrada na figura. Determine as respostas do sistema às seguintes entradas: a) Orlando Ferreira Soares 3

16 b) Orlando Ferreira Soares 4

17 Caracterização de Sistemas. Nas alíneas seguintes, x(t) representa o sinal de entrada de um sistema e y(t) representa o respectivo sinal de saída. Determine se os sistemas descritos pelas equações são: a) Linear b) Invariante no Tempo c) Instantâneo d) Causal e) Estável (i) y( t ) = x( t ) + x( t ) (ii) y( t ) = x( t ) + x( t ) (iii) y ( t ) = x( t ) 3 (iv) (v) y ( t ) = + x( τ ) dτ y( t ) = t x( τ ) dτ (vi) y( t ) = x( t )cos( 3t ) Orlando Ferreira Soares 0

18 (vii) (viii) (ix) y ( t y ( t 0, ) = x( t ) + x( t ), 0, ) = x( t ) + x( t ), dx( t ) y ( t ) = dt t < 0 t 0 x( t ) < 0 x( t ) 0. Nas alíneas seguintes, x(n) representa o sinal de entrada de um sistema e y(n) representa o respectivo sinal de saída. Determine se os sistemas descritos pelas equações são: a) Linear b) Invariante no Tempo c) Instantâneo d) Causal e) Estável (i) y( n ) = x( n ) (ii) y ( n ) = x( n ) (iii) y( n ) = x( n ) x( n 8 ) (iv) y ( n ) = x( n ) + 3 (v) y ( n ) = n.x( n ) (vi) y( n ) = x( 4 n + ) (vii) y ( n ) = x( n ) + [ x( n )] Orlando Ferreira Soares

19 (viii) y ( n ) x( n ), = 0, x( n + ), n n = 0 n (ix) y ( n ) x( n ), = 0, x( n ), n n = 0 n 3. O sinal x(t), Degrau unitário, é aplicado a um sistema Linear e Invariante no tempo. Este sistema produz a saída y(t) mostrada na figura. Determine as respostas do sistema às seguintes entradas: a) Orlando Ferreira Soares

20 b) 4. O sinal x(n), Degrau unitário, é aplicado a um sistema Linear e Invariante no tempo. Este sistema produz a saída y(n) mostrada na figura. Determine as respostas do sistema às seguintes entradas: a) Orlando Ferreira Soares 3

21 b) Orlando Ferreira Soares 4

22 Sistemas LIT - Convolução. Considere x( n ) = δ ( n ) + δ( n ) δ( n 3 ) e h( n ) = δ ( n + ) + δ( n ) Determine e desenhe cada uma das seguintes convoluções: a) y ( n ) = x( n ) h( n ) b) y ( n ) = x( n + ) h( n ) c) y ( n ) = x( n ) h( n ) 3 +. Considere o sinal h( n ) = n { u( n + 3 ) u( n 0 )} Determine o valor de A e B, em função de n, de modo que h( n k ) = 0, n k, A n B outro valor de n Orlando Ferreira Soares 5

23 3. Considere a entrada x(n) e a resposta impulsional unitária h(n) dadas por x( n ) = n u( n ) h( n ) = u( n + ) Determine e desenhe a saída y( n ) = x( n ) h( n ) 4. Determine e desenhe a saída y( n ) = x( n ) h( n ) onde x ( n ) h ( n ), = 0,, = 0, 3 n 8 outro valor de n 4 n 5 outro valor de n 5. Considere x ( n ) h ( n ), = 0,, = 0, 0 n 9 outro valor de n 0 n N outro valor de n onde N 9 é um número inteiro. Determine o valor de N, de modo que y( n ) = x( n ) h( n ), y ( 4 ) = 5 e y ( 4 ) = Determine e desenhe a saída y( n ) = x( n ) h( n ) onde x( n ) = 3 n u( n ) h( n ) = u( n ) Orlando Ferreira Soares 6

24 7. Determine e desenhe a convolução entre os seguintes sinais: x ( t t +, ) = t, 0, 0 t t outro valor de t h( t ) = δ ( t + ) + δ( t + ) 8. Considere h( t ) = e Determine A e B de modo que t u( t + 4 ) + e t u( t 5 ) e h( t τ ) = 0, e ( t τ ) ( t τ ),, τ < A A < t < B B < τ 9. Considere x( t ) = u( t 3 ) u( t 5 ) 3t e h( t ) = e u( t ) a) Determine y( t ) = x( t ) h( t ) dx( t ) b) Determine g( t ) = h( t ) dt 0. Determine a convolução y( n ) = x( n ) h( n ) dos seguintes pares de sinais: n a) x( n ) = α u( n ) e h( n ) = β u( n ) com α β b) x( n ) = h( n ) = α u( n ) n n n c) x( n ) = u( n 4 ) e h( n ) = 4 u( n ) n Orlando Ferreira Soares 7

25 d) x(n) e h(n) são indicados nas seguintes figuras:. Para cada um dos pares indicado a seguir, use o integral de convolução para determinar a resposta y(t) do sistema LIT com resposta impulsional da entrada x(t). desenhe o resultado obtido. αt a) x( t ) = e u( t ) e h( t ) = e u( t ) com α β αt b) x( t ) = e u( t ) e h( t ) = e u( t ) com α = β c) x( t ) = u( t ) u( t ) + u( t 5 ) e h( n ) = e u( t ) d) x(n) e h(n) são indicados nas seguintes figuras: βt βt t Orlando Ferreira Soares 8

26 e) x(n) e h(n) são indicados nas seguintes figuras: f) x(n) e h(n) são indicados nas seguintes figuras: Orlando Ferreira Soares 9

27 Série de Fourier para Sinais Periódicos Contínuos. Para a série harmónica: f ( t ) = cos t + 3cos 4t use as propriedades de integração para demonstrar que os coeficientes de Fourier da forma exponencial de f(t) são: a) C 0 =0 b) C =0,5 c) C =,5 d) C k =0, k 3. Considere a seguinte equação Prove que Acos θ B senθ = D cos( θ + α ) D = A + B e a) Usando as identidades trigonométricas b) Usando as relações de Euler B α = arctg A Orlando Ferreira Soares 0

28 3. Considere as seguintes funções: (i) x( t ) = 5 + sen3t + 4cos( 9t + 40 ) o (ii) x( t ) = 3 + cos t + 5cos 4πt (iii) x( t ) = cos( 4t + 30 ) 5cos( 6t 45 ) o o (iv) x( t ) = 5 sen πt a) Determine quais as funções podem ser representadas em série de Fourier. b) Para as funções da alínea a) que podem ser representadas em série de Fourier, determine apenas o coeficiente do primeiro harmónico, expresso na forma exponencial. c) Repita a alínea b) para a forma trigonométrica. 4. Considere as séries de Fourier para as seguintes funções periódicas: (i) x( t ) = 3 + 5cos t + 6cos( t + 45 ) o (ii) x( t ) = 0 + 3cos t + 7 sen4, 5t 6 (iii) x( t ) = 5 0cos0 t + 4cos0 t + sen(, 0 t ) 7 7 a) Determine os coeficientes de Fourier da forma exponencial para cada sinal. b) Determine os coeficientes de Fourier da forma trigonométrica para cada sinal. Orlando Ferreira Soares

29 5. Considere os seguintes sinais: (i) Onda quadrada (ii) Onda dente-de-serra (iii) Onda triangular (iv) Onda rectangular Orlando Ferreira Soares

30 (v) Onda rectificada de onda completa (vi) Onda rectificada de meia onda (vii) Trem de impulsos a) Determine os coeficientes da forma exponencial da série de Fourier C 0 e C k. b) Determine os coeficientes da forma trigonométrica da série de Fourier A 0 e A k e B k. Orlando Ferreira Soares 3

31 6. Determine a forma exponencial da série de Fourier dos seguintes sinais: a) b) c) Orlando Ferreira Soares 4

32 d) e) 7. Usando os resultados do ponto 5 determine a forma exponencial e trigonométrica da série de Fourier dos seguintes sinais: a) Orlando Ferreira Soares 5

33 b) c) d) Orlando Ferreira Soares 6

34 e) 8. a) Faça um esboço do espectro de frequências dos sinais apresentados no ponto 5, mostrando o valor da componente dc e os quatro primeiros harmónicos. Considere X 0 =0. b) Faça um esboço do espectro de frequências dos sinais apresentados no ponto 6, mostrando o valor da componente dc e os quatro primeiros harmónicos. c) Faça um esboço do espectro de frequências dos sinais apresentados no ponto 7, mostrando o valor da componente dc e os quatro primeiros harmónicos. Orlando Ferreira Soares 7

35 Transformada e Transformada Inversa de Fourier para Sinais Contínuos. Determine a Transformada de Fourier dos seguintes sinais: a) b) ( t ) f( t ) = e u( t ) f ( t ) = e t c) f ( t ) = δ ( t + ) + δ ( t ) 3 d dt d) f ( t ) = { u( t ) + u( t )} 4 e) π f 5( t ) = sen πt + 4 f) π f 6 ( t ) = + cos 6πt + 8 t g) f ( t ) = [ t.e sen4t].u( t ) 7 3 t h) f ( t ) = e sen t 8 i) t, 0 < t < f 9 ( t ) = 0, outro valor de t j) f 0 + cosπt, ( t ) = 0, t t > Orlando Ferreira Soares 8

36 k). Determine a Transformada Inversa de Fourier dos seguintes sinais periódicos a) F ( w ) = πδ ( w ) + πδ ( w 4π ) + πδ ( w 4π ) + b) c), F ( w ) =, 0, sen F ( w ) = 3 0 w w < 0 w > [ 3( w π )] ( w π ) π d) F 4( w ) = cos 4w + 3 e) F ( w ) = [ δ ( w ) δ ( w + ) ] + 3[ δ ( w π ) + δ ( w π )] f) 5 + Orlando Ferreira Soares 9

37 3. Sabendo que x(t) tem como Transformada de Fourier X(w), exprima a transformada dos sinais a seguir apresentados em função de X(w). Para isso, utilize as propriedades da Transformada de Fourier. a) x ( t ) = x( t ) + x( t ) b) x ( t ) = x( 3t 6 ) d c) x3( t ) = x( t ) dt 4. Dada a relação e y( t ) = x( t ) h( t ) g( t ) = x( 3t ) h( 3t ) e sabendo que as Transformadas de Fourier de x(t) e h(t) são X(w) e H(w), respectivamente, use as propriedades da Transformada de Fourier para mostrar que g(t) é dada pela expressão Determine os valores de A e B. g ( t ) = A.y( Bt ) 5. Considere o seguinte par de Transformadas de Fourier e t F + w a) Use as propriedades da Transformada de Fourier apropriadas para determinar a Transformada de Fourier de t.e t. b) Use o resultado da alínea a), e a propriedade adequada, para determinar a 4t transformada de Fourier de ( ) + t. Orlando Ferreira Soares 30

38 6. Considere o seguinte sinal a) Sabendo que f ( t 0, ) = t +,, t < t t >, x(t) = 0, t < T senwt F X(w) = t > T w utilize as propriedades da Transformada de Fourier para determinar a expressão aproximada para F(w). b) Qual a Transformada de Fourier de g ( t ) = f ( t )? 7. Determine a convolução de cada um dos seguintes pares de sinais x(t) e h(t) através do cálculo de X(w) e H(w), do uso da propriedade da convolução e do cálculo da Transformada Inversa de Fourier. a) t 4t x( t ) = t.e u( t ) e h( t ) = e u( t ) b) t 4t x( t ) = t.e u( t ) e h( t ) = t.e u( t ) c) t t x( t ) = e u( t ) e h( t ) = e u( t ) Orlando Ferreira Soares 3

39 Transformada e Transformada Inversa de Laplace. Determine a Transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para cada uma das seguintes funções: t 3t a) x ( t ) = e u( t ) + e u( t ) 4t 5t b) x ( t ) = e u( t ) + e sen( 5t )u( t ) c) x ( t ) = δ ( t ) + u( t ) 3 t d) x ( t ) = t.e u( t ) 4. Sabendo que g( t ) = x( t ) + α.x( t ) e x( t ) = β.e t u( t ) use as propriedades da Transformada de Laplace para mostrar que: Determine os valores de α e β. s G ( s ) =, < Re { s} < s Orlando Ferreira Soares 3

40 3. Considere o sinal onde y( t ) = x ( t ) x ( t 3 ) + t 3t x ( t ) = e u( t ) e x ( t ) = e u( t ). Determine a transformada de Laplace, Y(s) e a sua região de convergência, usando as propriedades da transformada. 4. Determine a Transformada Inversa de Laplace, para cada uma das funções e regiões de convergência indicadas: a) b) c) d) e) s ( s ) = s + 4s 6 + 3s + X, Re { s} > s + X ( s ) =, Re { s} > 0 3 s ( s + ) 3 ( s ) = s + 9 X, Re { s} > 0 4 ( s ) = s s + 5s + 6 X, 3 < Re { s} < 5 s ( s ) = s + 4s 6 + 3s + X, Re { s} < Orlando Ferreira Soares 33

41 5. Determine a resposta impulsional h(t) de um sistema causal cuja entrada x(t) e saída y(t) estão relacionadas pelas seguintes equações diferenciais a) dy( t ) + 3 y( t ) = x( t ) dt b) d y( t ) dy( t ) dx( t ) y( t ) = + 3x( t ) dt dt dt Orlando Ferreira Soares 34

42 Anexo A - Identidades Trigonométricas cos( a ± b ) = cos a.cos b m sena.senb sen( a ± b ) = sena.cos b ± cos a.senb cos a.cos b = [ cos(a + b ) + cos(a b )] [ cos(a b ) cos(a b )] sen a.senb = + sen a.cos b = [ sen(a + b ) + sen(a b )] cosa = cos a sen a = cos a = sen sen a = sena.cos a cos a = ( + cos a) sen a = ( cos a) a Orlando Ferreira Soares 35

43 Anexo B - Somatórios de Séries Geométricas n n k a a a = a k= n n + k= k a ka = 0 a ( ) ; a < Orlando Ferreira Soares 36

44 Anexo C - Propriedades da Transformada Contínua de Fourier Propriedades Sinal Transformada x ( t ) X ( w ) y ( t ) Y ( w ) Linearidade a.x( t ) + b.y( t ) a.x( w ) + b Y. ( w ) Deslocamento no tempo Deslocamento nas frequências e x 0 ( t t ) e jwt 0.X( w ) jw t 0 X( w w ) 0.x( t ) Conjugação x ( t ) X ( w ) Reflexão no tempo x( t ) X( w ) Escalonamento no tempo x ( at ) w X a a Convolução x( t ) y( t ) X ( w ). Y( w ) Multiplicação x ( t ).y( t ) π + X( θ ). Y ( w θ ).dθ Derivação no tempo Integração Derivação nas frequências t d jw.x( w x( t ) ) dt x( τ ).dτ X( w ) + πx( 0 ) δ ( w ) jw t.x( t ) d j X( w ) dw Orlando Ferreira Soares 37

45 Anexo D - Propriedades da Transformada Discreta de Fourier Teoria do Sinal Propriedades Sinal Transformada x ( n ) X( e ) y ( n ) jw Y ( e ) Linearidade a.x( n ) + b.y( n ) jw jw a.x( e ) + b Y. ( e ) Deslocamento no tempo x 0 jwn ( n n ) e 0 jw.x( e ) Deslocamento nas frequências e jw 0 n.x( n ) X( e ( w w ) ) j 0 Conjugação x jw ( n ) X ( e ) Reflexão no tempo x( n ) jw X( e ) Escalonamento no tempo n x, n = k ( n ) = k multiplo de X( e jkw ) ( n multiplode k x k ) Convolução x( n ) y( n ) jw jw X( e ). Y( e ) Multiplicação Derivação no tempo x ( n ).y( n ) jθ j( w θ ) X( e ). Y ( e ).dθ π π x( n ) x( n ) jw jw ( e ) X( e ) Acumulação n k= x ( k ) e jw X( e jw + k= j0 + πx( e ) δ ( w kπ ) ) Derivação nas frequências n.x( n ) d jw j X( e ) dw Orlando Ferreira Soares 38

46 Anexo E - Propriedades da Transformada de Laplace Teoria do Sinal Propriedades Sinal Transformada ROC x ( t ) ( s ) y ( t ) ( s ) X R Y R Linearidade a.x( t ) + b.y( t ) a.x( s ) + b Y. ( s ) Pelo menos R R Deslocamento no tempo x 0 ( t t ) e st 0.X( s ) R Deslocamento nas frequências e s0 t.x( t ) X( s s ) 0 R deslocada Conjugação x ( t ) X ( s ) R Escalonamento no tempo x ( at ) s X a a R escalonada Convolução x( t ) y( t ) X ( s ). Y ( s ) Pelo menos R R Derivação no tempo d s.x( s x( t ) ) Pelo menos R dt Integração Derivação no Domínio-s t x( τ ).dτ X( s ) s t.x( t ) d X( s ) ds Pelo menos { Re{} s } R > 0 R Orlando Ferreira Soares 39

47 Bibliografia Signals & Systems, Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, S. Hamid Nawab, Second Edition, Prentice Hall International Editions Signals, Systems and Transforms, Charles L. Phillips, John M. Parr, Prentice Hall Signals and Systems, An introduction, Leslie Balmer, Second Edition, Prentice Hall Orlando Ferreira Soares 40