Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Sinais e Sistemas Licenciatura em Engenharia Física

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1 Folha de Soluções Capítulo Introdução à Análise de Questão : Determinar as componentes pares e ímpares do cada um dos seguintes sinais: Sabendo que: t = x t x p x i ( ) [ ( ) + x( ] ( [ x( x( ] = a) x( = cos ( + sin( + sin( cos( xp ( = cos( x ( = sin( ( + cos( ) i Nota : cos( = cos( sin( = sin( x t = + t + t + 5t + 9t b) ( ) x x i ( ( p = + t = t + 5t + 9t Nota : t t t = ( = ( = (

2 Questão : O sinal sinusoidal x ( = cos( 00t + π 6) é processado por um sistema que realiza o quadrado do sinal de entrada através da seguinte relação de entrada saída: y t = x t. ( ) ( ) Utilizando a entidade trigonométrica cos θ = ( cosθ + ) saída y ( é composta de uma componente DC e sinal sinusoidal. π x( = cos(00t + ) 6 y( = x( π y( = cos(00t + ) 6 π y( = 9cos (00t + ) 6 π y( = 9 cos(00t + ) π y( = + cos(00t + ), mostrar que a a) Determinar a componente DC do sinal. Componente DC: 9 b) Determinar a amplitude e a frequência fundamental da componente sinusoidal da saída y (. Componente Sinusoidal: 9 cos(00t + π ) 9 Amplitude: Frequência Fundamental: 00 π Hz

3 Questão : A figura (a) abaixo mostra um sinal x( em forma de escada e que pode ser obtido pela combinação adequada de pulsos rectangulares. Iniciando com uma versão comprimida do pulso g( da figura (b), construir a forma de onda da figura (a), determinando a expressão matemática que expressa x( em função de g(. Esta questão, dada a diversidade de conjuntos de pulsos rectangulares que podem ser escolhidos, tem várias soluções possíveis. Apresentam-se de seguida, duas soluções possíveis. - Solução A função x( pode ser determinada a partir da soma dos seguintes pulsos rectangulares g (, g (, g (, g (:

4 Para determinar g ( a partir de g(, considere-se a seguinte expressão genérica: g ( = g(at b) em que a e b são constantes que devem ser determinadas. A largura do pulso g( é,enquanto que a largura do pulso g ( é. É necessário expandir a largura do pulso g( por um factor de. Deste modo: l argura a = l argura g( = g ( = O ponto médio de g( ocorre em t = 0, enquanto que o ponto médio de g ( ocorre em t =. Deste modo, a constante b deve ser escolhida de forma a que se verifique a condição: at ponto médio de g( b =t ponto médio de g( Deste modo chega-se à expressão: a() b = 0 logo b = a = =

5 Seguindo um raciocínio análogo, pode-se chegar às seguintes expressões: Desta forma é possível escrever a expressão completa para x(: - Solução A função x( pode ainda ser determinada a partir da soma dos seguintes pulsos rectangulares g (, g (, g (, g (:

6 Para determinar g ( a partir de g(, considere-se a seguinte expressão genérica: g ( = g(at b) em que a e b são constantes que devem ser determinadas. A largura do pulso g( é, enquanto que a largura do pulso g ( é. É necessário comprimir a largura do pulso g(. Deste modo: l argura a = l argura g( g ( = = O ponto médio de g( ocorre em t = 0, enquanto que o ponto médio de g ( ocorre em t = 0.5. Deste modo, a constante b deve ser escolhida de forma a que se verifique a condição: at ponto médio de g( b =t ponto médio de g( 0.5 a b = 0 b = 0.5a = 0.5 = Tendo em consideração que g( e g ( têm a mesma amplitude (), chega-se à expressão: g ( = g(t ) Seguindo um raciocínio análogo, pode-se chegar às seguintes expressões: g ( = g(t ) g ( = g(t 5) g ( = g(t 7) Desta forma é possível escrever a expressão completa para x(: x ( = g(t ) + g(t ) + g (t 5) + g (t 7) Podem-se verificar os resultados obtidos na solução e solução, fazendo o exercício inverso. Partindo de g(, aplicar as transformações determinadas para g (, g (, g (, g ( e verificar se os gráficos obtidos correspondem ao que se pretendiam inicialmente. Seguir o método descrito no slide 8/Capítulo I.

7 Questão : O pulso trapezoidal da figura é aplicado à entrada de um sistema diferenciador definido pela expressão: d y ( = x(. dt a)determine o sinal y( à saída do diferenciador x ( 0 t = t t < 5 5 t < t < t 5 t > 5 y ( 0 = 0 t < 5 5 < t < < t < < t < 5 t > 5 b)determine a energia total de y(.

8 Questão 5 : αt+ jωt Considere o sinal expresso pela exponencial complexa x ( = Ae, α > 0. Determine as componentes reais e imaginária do sinal x(. Componente Real do Sinal x(: Componente Imaginária do Sinal x(: Questão 6: Considere o pulso triangular x( da figura abaixo que é aplicado a um diferenciador. A área do pulso é unitária e quando a duração do pulso se aproxima de zero, o pulso triangular aproxima-se de um impulso unitário. Respostas:

9 a)determine a saída y( do diferenciador quando o impulso triangular foi aplicado à entrada. b)qual o valor de y( quando o pulso se aproxima de zero? Utilize a definição do impulso unitário δ(. À medida que a duração,, do pulso triangular se aproxima de zero, a saída y( do diferenciador aproxima-se da combinação de duas funções impulso infinito: -um impulso de amplitude infinita positiva em t=0 -. -um impulso de amplitude infinita negativa em t=0 +. c)qual é área final do sinal de saída y( do diferenciador? A área final do sinal de saída y( do diferenciador é igual a: (/ )+(-/ )=0 Questão 7:

10 Um sistema é composto de vários subsistemas interligados da forma ilustrada na figura abaixo. Determine o operador H que permite relacionar a entrada x( com a saída y( pressupondo que os operadores dos vários subsistemas são: H H H H : y : y : y : y ( = x( x ( t ) ( = x ( ; ( = + x( ; ( = cos( x ( ); ; Através da análise da figura que representa o operador H, verifica-se que x (= x (= x (= x( x (= y ( e ainda que y(= y ( + y ( y ( Deste modo tem-se que: y (= x(x(t-) y (= x( y (= +x( y (= cos(+x() y(= x(x(t-) + x( - cos(+x() Outros Exercícios na Bibliografia: Simon Haykin and Barry Van Veen, Signals and Systems, nd Edition, 00 John Wiley & Sons. Inc, ISBN (Capítulo ).