Análise Espectral de Sinais {Fourier.doc} Representação de um Sinal: no Tempo e na Frequência

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1 Prof V Vargas, IST Análise Espectral de Sinais 19/02/10, Pg 1/5 Análise Espectral de Sinais {Fourier.doc} Representação de um Sinal: no Tempo e na Frequência 1. Indique, justificando, se a seguinte afirmação é verdadeira, ou falsa: Um sinal periódico pode ser decomposto numa soma de sinusóides com frequências que são múltiplos inteiros da frequência do sinal periódico" R: Verdadeiro 2. Considere um sinal s(t), rectangular com amplitudes 1,0 e -1,0, com período T 1 =1 ms. A transição entre as amplitudes -1,0 e +1,0 acontece em t= Faça um esboço da evolução temporal de s(t) Use o desenvolvimento em série de Fourier para mostrar que o sinal s(t) se pode escrever como uma soma infinita de sinusoides da forma 4/(kπ) sen (2 kπf 1 t), com k= 1, 3, 5, e f 1 =1/T Faça um esboço da soma dos três primeiros termos da série da alínea anterior; Suponha que, na passagem por um filtro, a frequência f 1 é atenuada de factor de 10, mantendo-se as restantes inalteradas. Faça, de novo, um esboço da soma dos três primeiros termos da série e comente o resultado. Resolução: Em Fourier01.a, encontra-se um esboço da evolução temporal de s(t). O desenvolvimento de s(t) - que é um sinal periódico - em série trigonométrica de Fourier é o seguinte: s(t) = a 0 /2 + a n cos (2π/T 1 nt) + b n sen (2π/T 1 nt) em que os coeficientes a n e b n se obtêm por: a n = 2/T 1 T 0 s(t) cos (2π/T 1 nt) dt b n = 2/T 1 T 0 s(t) sen (2π/T 1 nt) dt Designando w n =2π/T 1 n, manipulações algébricas triviais conduzem a: w n =2πn (pois T 1 =1) e a n = s(t) cos w n t dt e b n = s(t) sen w n t dt pois T 1 =1 ms = 1/2 0 2cos w n t dt = 1/2 0 2sen w n t dt pois s(t) vale o que vale - 1 1/2 2cos w n t dt - 1 1/2 2sen w n t dt 1/2 = 2sen w n t/w n 0 1-2sen w n t/w n 1/2 1/2 = -2cos w n t/w n cos w n t/w n 1/2 por primitivação e posto que w n /2=πn = {[sen πn -sen 0] - [sen 2πn-sen πn]}/(πn) = -{[cos πn -cos 0] - [cos 2πn-cos πn]}/(πn) substituindo t=1/2 e t=0 = 0 = 0 (para n par) a 0 = 2/T 1 T 0 s(t) dt=0 = 4/(π n) (para n ímpar) (Note-se que, sendo 1 n, se tem: sen πn=0, e cos (πn)=1 (para n par) e cos (πn)=-1 (para n ímpar)) Pode então escrever-se s(t) = = 4/(π n) sen (2π nt), com n= 1, 3, 5,, i.e., e verificando que f 1 =1, s(t) pode escrever-se como uma soma infinita de sinusoides da forma 4/(π n) sen (2π nf 1 t) Cada uma destas sinusoides designa-se de harmónica de s(t); possui uma amplitude e frequência específicas. A frequência da primeira harmónica, i.e., da harmónica de ordem n=1, designa-se de fundamental: vem a ser exactamente o inverso do período do sinal s(t)! no caso, será f 1 =1/T 1 =1 khz. As restantes harmónicas têm frequências que são múltiplas dessa fundamental: a segunda harmónica tem frequência 2*1=2 khz, a terceira harmónica tem frequência 3*1=3 khz, etc. Ademais das harmónicas, a série de Fourier inclui uma componente, a 0 /2, que não é coeficiente de nenhuma sinusóide; é designada de componente DC. A tabela Fourier01.b resume estes comentários para o sinal s(t). Os três primeiros termos (não nulos) da série de Fourier são:

2 Prof V Vargas, IST Análise Espectral de Sinais 19/02/10, Pg 2/5 b 1 =4/( 4/(π) ) sen (2π t), b 3 =4/(3π) ) sen (2π 3t) e b 5 =4/(5π) ) sen (2π 5t). Para o leitor, deverá ser uma brincadeira de crianças desenhar o gráfico da função s(t) c =b 1 +b 3 +b 5 : as calculadoras com funções gráficas prestam-se a maravilhas Idem para o desenho de s(t) d =b 1 /10+b 3 +b 5 3. Considere o sinal s(t) cujo desenvolvimento em série de Fourier é dado por s(t) = cos (2π*9 t -π/6) - 2 sen (2π*12 t) O sinal é periódico? Em caso afirmativo, qual o período do sinal, e qual a frequência da fundamental? Trace o espectro de amplitude e de fase deste sinal, utilizando a representação unilateral (a que apenas inclui as frequência positivas (f>0)); R: 1)F0=m.d.c.{9,12}=3 Hz T=1/3s 2) s(t) = cos (2π*9 t -π/6) + 2 cos (2π*12 t +π/2) Espectro: 0 Hz: [A=2,φ=0); 9 Hz: [A=4,φ= -π/6); 12 Hz: [A=2,φ= π/2); 4. [04E1] Um testador de linhas telegráficas gera uma onda quadrada polar regular de 40 ma (isto é, gera uma sequência alternada de 0 s e 1 s em que 0 é codificado por um impulso rectangular de 40 ma e 1 é codificado por um impulso rectangular de +40 ma, tendo ambos a mesma duração) em 50 baud. Determine a frequência, e a amplitude, da 5ª harmónica da onda. R: f 5 =5*50/2 Hz; A 5 =2A/(nπ)sen(nπτ/T), com A=[40-(-40)]*10-3,n=5,τ/T=1/2 A 5 =32*10-3 /π 5. Considere um trem de impulsos rectangulares, cada um estendendo-se entre 0 e 1 Volt, com a duração de 2 micros, repetidos periodicamente a intervalos de 10 micros Admita que o centro de um dos impulsos está localizado em t = 0. Escreva a série de Fourier correspondente ao trem de impulsos, e desenhe o gráfico de amplitude do espectro em função da frequência. Inclua pelo menos 10 componentes espectrais para ambos os lados de f=0, e trace a sua envolvente. Nota: recorde a expressão de Fourier para a sequência periódica de impulsos rectangulares: a n /2= Aτ/T sen (nπτ/t) / (nπτ/t) Admita agora que um dos impulsos tem o seu flanco esquerdo localizado em t = 0. Obtenha o respectivo desenvolvimento em série de Fourier, e o gráfico das amplitudes espectrais Repita ambas as alíneas anteriores para o caso de os impulsos rectangulares se estenderem entre -1/2 e +1/2 Volt. R1: g (t) = + (Ad)sinc(nd)cos(n2πf )t, com sinc(x) = sen( πx) /( πx), A=1, d=2/10, T=10 3. n= Espectro: 0Hz:Ad, 1/10Mhz: Ad sinc(d), etc. R2: g (t τ / 2) = + (Ad)sinc(nd)cos(n2πf )(t τ / 2). n= R3: g(t) - A/2 e g(t-τ/2) - A/2. 6. [2007/09] Considere um trem de impulsos rectangulares, g(t), cada um estendendo-se entre 2,5 e 1,5 Volt, com a duração de 1 µs, repetidos periodicamente a intervalos de 4 µs. Admita que o centro de um dos impulsos está localizado em t 0 = 3,5 µs. Qual a frequência, a amplitude e a fase da 3ª harmónica? Nota: recorde a expressão de Fourier para a sequência periódica de impulsos rectangulares: a n /2= Aτ/T sen (nπτ/t) / (nπτ/t), a 0 /2= g min +Aτ/T R: A evolução de g(t) está esquematizada em Fourier05. g(t)= -1,5+Σ [a n /2 *cos(2πnf 0 [t-3,5*10-6 ])], com A=[1,5-(-2,5)]=4, τ/t=1/4, f 0 =1/(4*10-6 ) f 3 =3/4Mhz=250 khz, Aτ/T =1 a 3 =2*sen (3π/4)/(3π/4)=4 2/(3π), φ n =-2π3/4*3,5=-21π/4 7. Considere um sinal cujo espectro, S(f), utilizando a representação unilateral (a que apenas inclui as frequência positivas (f>0)), é o da figura Fourier03.a: Quanto vale a amplitude máxima do sinal, e qual o instante a que ocorre essa amplitude?

3 Prof V Vargas, IST Análise Espectral de Sinais 19/02/10, Pg 3/5 R: s(t)=2+3cos(2π2000t+π)+4cos(2π5000t-π/2); s Max obtém-se quando os argumentos dos cossenos são múltiplos de 2π 2π2000t+π=m2π e 2π5000t-π/2=m 2π t=(2m-1)/4=(2m +1/2)/10ms m=(2m +3)/5, Com m=1, m =1, vem t=1/4000; s Max =s(t=1/4000)=2+3+4=9 : Potência de um Sinal 8. [04E2] Um sinal sinusoidal, de período 1 ms, apresenta 0,2 mw de potência total Indique a frequência fundamental do sinal e a frequência da segunda harmónica; Indique as potências nas componentes: DC, fundamental e harmónicas. R: f 0 = 1/T, com T=10-3 f 0 =1 khz, f 2 =2*f 0 =2 khz; P DC = 0, P 0 =0,2 mw, P i =0 (para 1<i); 9. [02E3] Considere um sinal periódico s(t) dado pelo seu desenvolvimento em série de Fourier: s(t)=5+2cos(2π*8t-π/6)-3sen(2π*20t) Qual a fracção de potência média do sinal que se encontra na harmónica de maior frequência? R: [3 2 /2]/[ /2+3 2 /2]=1/7 10. Considere um sinal periódico s(t) dado pelo seu desenvolvimento em série de Fourier: s(t)=5+2cos(2π*8t-π/6)-asen(2π*20t) Qual deve ser o valor de A para que metade da potência média do sinal se encontre na harmónica de maior frequência? R: [A 2 /2]/[ /2+A 2 /2]=1/2 A 2 /2 = [ /2] A= Considere um sinal periódico s(t), de potência média 50w, cujo desenvolvimento em série de Fourier é o seguinte: s(t)=6cos(2π*14t-π/6)-asen(2π*21t+π/3) Qual o valor de A? R: 50=62/2+A2/2 A=± 2*50-62=±8 : Processamento de um Sinal: somas e produtos 12. [04T1] Considere um sinal s(t) obtido pela soma de dois sinais periódicos, de períodos respectivamente T 1 ms e T 2 ms. O sinal é periódico? Em caso afirmativo, qual a sua N ésima harmónica, em Hz? A. T 1 =2 ms, T 2 =5 ms, N=2. B. T 1 =4 ms, T 2 =5 ms, N=3. R: N * (1/[m.m.c.{T 1, T 2 }10-3 ]) Hz R A =200Hz, R B =150Hz 13. Considere o dispositivo dito quadrador, isto é, o sinal à sua saída, r(t), é o quadrado do sinal à sua entrada, s(t): r(t) = [s(t)]2 Admita que s(t) é uma sinusóide pura, s(t) = 3 cos (2π*3t -π/3); qual o espectro de r(t)? (Nota: Recorde a igualdade trigonométrica cos(2x)=2cos 2 (x)-1) R: r(t)=9/2+9/2[cos(2π*6 t -2π/3)]

4 Prof V Vargas, IST Análise Espectral de Sinais 19/02/10, Pg 4/5 14. Considere um dispositivo em que o sinal à saída, r(t), se obtém do sinal à entrada, s(t), por: r(t) = 3 s(t) - [s(t)] 3 Admita que s(t) é uma sinusóide pura, s(t) = 2 cos (2π*3t -π/3). r(t) é periódico? Em caso afirmativo, qual o seu período, e quais as amplitudes da segunda e terceira harmónicas? R: r(t)=2cos(2π*9t) f 0 =9 Hz, T=1/9 s, A 2 =A 3 =0 15. Considere um dispositivo com entradas s 1 (t) e s 2 (t), em que a saída, r(t), se obtém por: r(t) = [s 1 (t) - s 2 (t)] 2 Admita que s 1 (t) e s 2 (t) são sinusóides puras, de frequências respectivamente 6 e 9 Hz. r(t) é periódico? Em caso afirmativo, qual o seu período, e quais as amplitudes da segunda e terceira harmónicas? R: r(t)=1-cos(2π*3t)+cos(2π*12t)-cos(2π*15t)+cos(2π*18t) f 0 =3 Hz, T=1/3 s, A 2 =A 3 =0 16. Considere um dispositivo com entradas s 1 (t) e s 2 (t) e s 3 (t), em que a saída, r(t), se obtém por: r(t) = [s 1 (t) + s 2 (t)] s 3 (t) Admita que s 1 (t), s 2 (t) e s 3 (t) são sinusóides puras, de frequências respectivamente f, 500 e 100 Hz. 1. Qual deve ser a frequência f para que r(t) envolva três, e apenas três, harmónicas não nulas? 2. Qual o período do sinal r(t), nesse caso? R: r(t) = [cos(2π ft)+cos(2π500t]cos(2π100t) = {cos[2π(f-100)t]+cos[2π(f+100)t]+ cos[2π( )t]+ cos[2π( )t]}/2 1. f = f=300 Hz (outras soluções: f=0hz, f=100hz e f=700hz) 2. F 0 =m.d.c.{ , , }=200 Hz T=1/200s=5ms : Filtragem de um Sinal 17. [06E3] Considere um sinal cujo espectro, S(f), utilizando a representação unilateral (a que apenas inclui as frequência positivas (f>0)), é o seguinte: Obtenha a expressão do sinal no domínio do tempo, s(t); Se esse sinal for colocado à entrada de um filtro passa-banda com frequências de corte 1100 Hz e 3300 Hz, e que provoca um desvio de fase constante de -π/4, qual a expressão do sinal recebido, r(t)? R: 1) s(t)=2+3cos(2π*1000t+π/4)+4cos(2π*2000t)+2cos(2π*3000t-π/3) 2) r(t)=4cos(2π*2000t-π/4)+2cos(2π*3000t-π/3-π/4) 18. [01E2] Um dado canal pode ser modelado como um sistema passa-banda ideal com banda passante entre 80 Hz e 2400 Hz, e atenuação de 3 db nessa banda. Determine a amplitude do sinal à saída, se o sinal à entrada for F i (t) = 6cos (600πt) + 2sen (2000πt+π/4) + 4cos (5000πt+π/2) R: Frequência das Harmónicas: 300, 1000 e 2500 Hz o sinal à saída tem apenas as duas primeiras harmónicas, com amplitudes dadas respectivamente por 6*10-3/20 e 2*10-3/20

5 Prof V Vargas, IST Análise Espectral de Sinais 19/02/10, Pg 5/5 19. [03E1] Considere um sinal periódico, de período T e potência total P Tot, e os três seguintes filtros: Um filtro passa-baixo ideal, com largura de banda B 1 ; Um filtro passa-banda ideal, com frequência central F 2 e largura de banda B 2 ; Um filtro passa-banda ideal, com frequência central F 3 e largura de banda B 3 De entre os três filtros, qual deles escolheria para que, usando como entrada aquele sinal periódico, obtivesse na saída unicamente a sua segunda harmónica? Justifique. A: T=0,1 ms; P Tot =15 mw; B 1 =25 khz; F 2 = 15 khz, B 2 =8 khz; F 3 = 20 khz, B 3 =30 khz B: T=0,2 ms; P Tot =20 mw; B 1 =12 khz; F 2 = 8 khz, B 2 =5 khz; F 3 = 10 khz, B 3 =12 khz R A: T=0, s f 1 =1/T=10kHz f 2 =20kHz,f 3 =30kHz,f 4 =40kHz,... 1ª Filtro: [0-25] khz cobre harmónicas f 1 e f 2 2º Filtro: [15-8/2-15+8/2] khz = [11-19] khz não cobre nenhuma harmónica 3º Filtro: [20-30/ /2] khz = [5-35] khz cobre harmónicas f 1, f 2 e f 3 Em nenhum dos filtros se obtém unicamente a segunda harmónica do sinal! R B: T=0, s f 1 =1/T=5kHz f 2 =10kHz,f 3 =15kHz,f 4 =20kHz,... 1ª Filtro: [0-12] KHz cobre harmónicas f 1 e f 2 2º Filtro: [8-5/2-8+5/2] KHz = [5,5-10,5] khz cobre f 2 3º Filtro: [10-12/ /2] KHz = [4-16] khz cobre harmónicas f 1, f 2 e f 3 Com o 2º Filtro obtém-se unicamente a segunda harmónica 20. [03T1] Considere um sinal periódico, de período T, cujas harmónicas de ordem par são todas nulas, e os três seguintes filtros: Um filtro passa-baixo ideal, com largura de banda 7 khz; Um filtro passa-banda ideal, com frequência central 7 khz e largura de banda 8 khz Um filtro passa-banda ideal, com frequência central 5 khz e largura de banda 4 khz De entre os três filtros, qual deles escolheria para que, usando como entrada aquele sinal periódico, obtivesse na saída unicamente a sua n ésima harmónica? A. T=0,5 ms, n=3 B1. T=0,4 ms, n=2 B2. T=0,4 ms, n=3 R: T A =0,5*10-3 s f 1 =1/T=2 khz f 2 =4kHz,f 3 =6kHz,f 4 =8kHz... 1ª Filtro: [0-7] khz cobre harmónicas f 1, f 2 e f 3 2º Filtro: [7-8/2-7+8/2]=[3-11]khz cobre f 2,f 3,f 4 e f 5 3º Filtro: [5-4/2-5+4/2]=[3-7]khz cobre f 3 T B =0,4*10-3 s f 1 =1/T=2,5kHz f 2 =5kHz,f 3 =7,5kHz,f 4 =10kHz... 1ª Filtro: [0-7] khz cobre harmónicas f 1 e f 2 (=0) 2º Filtro: [7-8/2-7+8/2]=[3-11]khz cobre f 2 (=0), f 3B2 e f 4 =0 3º Filtro: [5-4/2-5+4/2]=[3-7]khz cobre f 2B1 =0 21. [02T1] Considere um sinal voz em banda de base (de qualidade comercial, isto é, de banda limitada a B=4kHz). Para o tornar ininteligível a eventuais espias, uma solução é recorrer a um assim denominado scrambler analógico. Na prática, este é constituído por um modulador AM de uma portadora de frequência f c =12 khz, de que se selecciona a banda lateral superior, seguido de um modulador AM de uma portadora de frequência f c =16 khz, seguido de um filtro passa-baixo com frequência de corte de 4kHz. Qual o espectro de saída do scrambler? Tem sentido dizer que esse sinal fica ininteligível? Porquê? Qual a solução mais simples que sugere para recuperar, a partir dele, o sinal original? R: [0 4] AM/12 khz [8 12;12 16] [8 12;12 16] P Banda [12-16] [12 16] [12 16] AM/16 khz [0 4;28 32] [0 4;28 32] P Baixo [0-4] [0 4] O sinal fica ininteligível: o seu espectro difere do original. Para o recuperar, modular com AM/4kHz seguido de Passa-baixo [0-4]: [0 4] AM/4 khz [0 4;4 8] [0 4;4 8] P Baixo [0-4] [0 4]