3.1 Modulações binárias (ASK e PSK)

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1 Modulações digitais 3 Modulações digitais lineares com detecção coerente 3.1 Modulações binárias (ASK e PSK)

2 Detecção de modulações digitais al como na modulação analógica (AM e FM), também na modulação digital a informação, ou mensagem, a transmitir é transportada por uma portadora na sua amplitude, na sua frequência ou na sua fase, ou numa combinação destes parâmetros. O desmodulador, ou detector, tenta extrair a informação presente na portadora. O processo de detecção pode ser realizado de duas maneiras: Detecção coerente Detecção não-coerente Qualquer destes tipos de detecção requer o conhecimento da frequência da portadora recebida. A detecção coerente requer, adicionalmente, o conhecimento da sua fase. Assim, se si t Acos [ π fct θi] em fase e se r t Bcos [ π f t φ t ] = representar uma portadora modulada i = c i for o sinal recebido após canal sem ruído, sendo B a envolvente e φ i t uma fase desconhecida, φi t = θi + θ t, um receptor coerente tem, necessariamente, de conhecer θ(t). O esfasamento provocado pelo canal, θ(t), tem de ser estimado por um processo de sincronização e estimação adequado. Se ˆ( θ t) for a estimativa de θ(t) a menor probabilidade de erro de detecção é obtida quando ˆ( θ t) = θ t. Se ˆ( θ t) θ t a probabilidade de erro é maior. Daqui para a frente vai supor-se que na detecção coerente a estimação da fase é feita adequadamente pelo que θ(t) e ˆ( θ t) vão deixar de ser mencionadas. Detecção coerente de BPSK e ASK

3 Detecção coerente com receptor de correlação Com M sinais de referência s 1 (t). s M (t). z 1 = z M =. r(t)s 1 (t)dt r(t)s M (t)dt Selecciona-se s i (t) com z i máximo s ^ i (t) Com N funções-base N <=M ψ N (t).. z 1 = z N =. r(t)dt r(t)ψ N (t)dt Selecciona-se si(t) cujos componentes a ij melhor correspondam ao conjunto dos {zj} s ^ i (t) Com funções-base poupamos no número de correlacionadores porque N M. Detecção coerente de BPSK e ASK 3

4 Detecção coerente com receptor de correlação binário Quando M = temos duas alternativas: Com dois correlacionadores: ψ (t) z z z = z 1 - z H 1 z > < γ H s ^ i (t) Com um só correlacionador: -ψ (t) z H 1 z > < H γ s ^ i (t) Em PSK os dois sinais são antipodais, portanto só precisamos de uma função-base: z z H 1 > < H s ^ i (t) Detecção coerente de BPSK e ASK 4

5 Detecção coerente de PSK binário (BPSK) Em PSK binário (BPSK) temos duas formas de onda antipodais: s 1 (t) = s (t) = E b E b cos ( ω c t + φ ) (seja φ = ) cos( ω c t + φ + π)= s 1 (t) t Basta usar uma função-base: = cosω ct t (a amplitude é esta para que o espaço seja ortonormal) Exprimindo os sinais PSK em função de teremos s1 t = s11ψ1 t = Ebψ1 t si t = si 1ψ 1 t = s t = s1ψ1 t = Ebψ1 t No espaço de sinal a constelação respectiva é: E b E b ψ1(t) Receptor: z Na saída do integrador os valores esperados são (com E[ n(t) ]= ): Ez s [ 1 ]= E [ E b ψ 1 (t) + n(t )] dt = E b s 1 (t) transmitido Ez s [ ]= E [ E b + n(t)ψ1 (t)]dt = E b s (t ) transmitido Detecção coerente de BPSK e ASK 5

6 Detecção coerente de PSK: exemplo com filtro adaptado amostrado Símbolo PSK transmitido Resposta impulsional amostrada do filtro adaptado 1 s 1 (n) s 1 (t) = cosπf c t 1 h 1 (n) n Corresponde a = 4 s -1 3 n 1 s (n) s (t) = -cosπf c t 1 h (n) 1 3 n 3 n -1-1 Detector coerente com dois filtros adaptados / s + z 3 = ±4 + ruído r(t) =s i (t) + n(t) r n ratando-se de BPSK até bastaria usar um único filtro (qual?) em vez de dois. Detecção coerente de BPSK e ASK 6

7 Detecção coerente de PSK multifase (M-PSK) Sinal: s i (t) = E cos ( ω ct φ i )= E cos ω ct πi M t i = 1,,, M Funções-base: = ψ (t) = cos( ω c t) sen ( ω ct) t Exprimindo os sinais PSK em função de e ψ (t )teremos ( ) ( ) s t = s ψ t + s ψ t = Ecos φ ψ t + Esen φ ψ t i i1 1 i i 1 i t i= 1,,, M Estamos a descrever um conjunto de M formas de onda (intrinsecamente não ortogonais) em função de apenas duas componentes ortogonais. O receptor (coerente) de correlação tem dois correlacionadores: ψ (t) X arctg Y X φ^ φi-φ ^ Escolhe o menor s ^ i (t) Y ψ(t) R Y = R sen φ i φ i X = R cos φ ψ1(t) i X componente em fase do sinal recebido Y componente em quadratura ˆ φ = arctg Y X estimativa ruidosa da fase φ i Detecção coerente de BPSK e ASK 7

8 Probabilidade de bit errado em PSK binário Sendo o sinal de referência o próprio sinal emitido, s i (t) = ±s 1 (t): s 1 (t) y+n Correlacionador Sinal à entrada do decisor: y = ±E b V = E b Ruído à entrada do decisor: σ = En [ ]= N E b Probabilidade de bit errado: P e = Q V = Q σ E b N Sendo o sinal de referência a função-base : z+w Correlacionador Sinal à entrada do decisor: z( ) = ± E b V = E b Ruído à entrada do decisor: σ = Ew [ ( )]= N Probabilidade de bit errado: P e = Q V = Q σ E b N Detecção coerente de BPSK e ASK 8

9 Probabilidade de bit errado em PSK binário Variância do ruído à saída do correlacionador P.: Como é que a variância do ruído à saída do correlacionador vale σ = N? R.: [ ] = E n(t)dt σ = Ew ( ) = E ψ 1 (t )ψ 1 (u)n(t)n(u)dtdu n(u)ψ 1 (u)du = Dada a linearidade das operações de integração e de cálculo do valor médio, podemos trocar-lhes a ordem: σ = [ ] ψ 1 (u)e n(t)n(u) dtdu R nn (t u) Mas, do teorema de Wiener-Khintchine, a função de autocorrelação e a densidade espectral de potência constituem um par de transformadas de Fourier. Ora a densidade espectral de potência do ruído branco gaussiano n(t) na entrada é constante, G n ( f ) = N (V Hz), logo: R nn (τ ) = N δ (τ ) G n( f ) = N R nn (t u) = N δ (t u) σ = ψ 1 (u)e[ n(t)n(u) ] dtdu = N ψ 1 (t)ψ 1 (u)δ (t u)dtdu = = N R nn (t u) ψ 1 (u) δ (t u)dt du = N [ ψ 1 (u)]du = N ψ 1 (u) Detecção coerente de BPSK e ASK 9

10 Uma outra maneira de calcular o coeficiente de correlação em modulações binárias ψ (t) s θ E b s 1 P.: Quanto vale o coeficiente de correlação entre os vectores s 1 e s? R.: s 1 (t) = E b sen θ + E b cos θ ψ (t) s (t) = E b sen θ ψ 1 (t ) + E b cos θ ψ (t) ρ = cosθ Vamos calcular ρ através dos vectores do espaço de sinal: Coordenadas dos vectores: s 1 = E b sen θ, E bcos θ s = E b sen θ, E bcos θ Norma (comprimento) dos vectores: s 1 = s = E b Produto interno dos vectores s 1 e s : s 1 s = E b sen θ, E b cos θ E bsen θ, E b cos θ = = E b cos θ θ sen = E b cosθ Coeficiente de correlação (nova definição): ρ = s 1 s s 1 s ρ = cosθ Detecção coerente de BPSK e ASK 1

11 BPSK e BFSK: probabilidade de bit errado com detecção coerente Fórmula geral para símbolos binários equiprováveis e de igual energia, E b : E b Pb = Q (1 ρ) N ρ = cosθ (coeficiente de correlação) θ ângulo entre os vectores de sinal s 1 e s. Fórmula alternativa equivalente: P b d = Q N d distância entre vectores s 1 e s BPSK (θ = π rad, ρ = 1, d = Eb ) s E b s 1 P b E Q b = N E b E b ψ1(t) BFSK (θ = π rad, ρ =, d = ) Eb ψ (t) s E b E E b P b b = Q N E s ψ1(t) b 1 Comparando as expressões de P b verificamos que FSK binário exige mais 3 db (um factor de ) na relação Eb N para se conseguir a mesma probabilidade de bit errado. Não é de admirar, pois a distância euclidiana entre os vectores de sinal em FSK ( E b ) é menor que em PSK ( E b ). Detecção coerente de BPSK e ASK 11

12 Probabilidade de erro em BPSK: um exemplo P.: Um sistema BPSK a 14 Mbits/s usa impulsos de cosseno elevado com α = 1 para eliminar a interferência intersimbólica, verificando-se que no receptor com filtro adaptado a relação sinal-ruído vale 8 db. a) Quantos erros por unidade de tempo são esperados à saída do receptor? b) Repita a alínea anterior para o caso do ângulo entre os vectores de sinal ser reduzido de 18 para 165. R.: Expressão da relação E b N em função da relação sinal-ruído S N : E b N = S NB = B S N P B = Q E b = Q N B S N Largura de banda ocupada por BPSK com impulsos de cosseno elevado: 1 B = (1 + α) = (com α = 1) B = Relação sinal-ruído: S ,31 N = = P = Q B = Q 6,31 = Q(5,4) =,533 1 N S a) B ( ) 1 Corresponde a, x = 35,47 erros/s. b) Agora ρ = cosθ = cos165 =,97 e 7 S PB = Q B (1 ρ) Q(4,986) 3,83 1 = = N 7 (> P B1 ) Corresponde a 43,16 erros/s. Detecção coerente de BPSK e ASK 1

13 Modulações digitais binárias: OOK Probabilidade de bit errado com detecção coerente Energia média do sinal recebido: E b = E b + = E b Distância euclidiana entre vectores do sinal: d = E = E Constelação: b s s 1 E b Potência do ruído à saída do correlacionador: σ = N Probabilidade de bit errado: d E b E P b b = Q = Q = Q N N N (como em FSK binário) P B ,1 1 1 <E b >/N o (db) Detecção coerente de BPSK e ASK 13

14 Modulações digitais binárias: OOK Probabilidade de erro: um exemplo P.: Um sinal modulado em OOK é detectado com um filtro adaptado. O símbolo não-nulo à entrada do filtro adaptado é um impulso sinusoidal com amplitude A=1 mv e duração =1 ms. O ruído no mesmo ponto é gaussiano branco com um valor eficaz de 14 mv quando medido numa largura de banda de ruído de 1 khz. Qual é a probabilidade de bit errado? R.: Energia do símbolo não-nulo: E s1 = A 3 ( 1 1 ) = = 5, 1 5 (V s) Densidade espectral de potência do ruído: N = N B N = Probabilidade de bit errado: ( ) =1, (V Hz) P B = Q E b = Q N , = Q ( 3,5714 )= 1, Detecção coerente de BPSK e ASK 14

15 Modulações digitais binárias: PSK, FSK e OOK Comparação das probabilidades de bit errado com detecção coerente 1 Probabilidade de bit errado, P B detecção coerente de PSK detecção coerente de FSK e OOK. -3dB 1-6 Limite de Shannon (-1,6dB) E b /N o (db) 15 A curva relativa à modulação OOK está em função de E b N. Detecção coerente de BPSK e ASK 15