Transmissão de impulsos em banda-base

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1 Transmissão de impulsos em banda-base Transmissão de impulsos através de um canal com ruído aditivo. Probabilidades de erro com detecção no ponto central

2 Detecção de sinais binários em ruído gaussiano A detecção de sinais binários envolve dois passos: Passo : reduzir a forma de onda recebida (banda-base ou passa-banda) a um número z(t=t) Filtro linear + Amostrador Passo : comparar a amostra z(t) com um nível limiar,, e decidir qual terá sido a forma de onda transmitida Decisor Forma de onda binária s i (t) = s (t) ou s (t) Ruído AWGN n(t) r(t) = s i (t) + n(t) Filtro linear h(t) Passo Passo z(t) = a i (t) + n (t) /T z(t) = a i (T) + n (T) Decisor (comparador) zt ( ) sˆ i () t O receptor óptimo consiste num correlacionador ou filtro adaptado a s (t) - s o (t) v. a. gaussiana (porque h(t) é linear e n(t) é gaussiano) z(t) é v. a. gaussiana Uma vez a forma de onda r(t) ter sido transformada num número, z(t), a forma dessa forma de onda deixa de ser importante: para efeitos de detecção, todas as formas de onda que se convertem no mesmo número z(t) são idênticas: Decisão: zt ( ) Na escolha do limiar de decisão teremos de ter em conta a estatística do ruído. Sendo gaussiano com média nula e variância σ, a sua função densidade de probabilidade (fdp) é dada por n pn( n) = exp πσ σ a i (T) é a (T) = a ou a (T) = a as fdps ficam centradas em a e a. Probabilidades de erro com detecção no ponto central

3 Detecção de sinais binários em ruído gaussiano Decisões rígidas e decisões brandas A saída do decisor anterior é binária, ou, consoante a decisão tomada. Mas podia não ser binária. De facto, podemos considerar três tipos de decisões possíveis: Decisões rígidas ( hard decisions ) O valor decidido pertence a um conjunto binário de valores ( ou, Verdadeiro ou Falso, etc.). Decisões brandas quantizadas ( quantized soft decisions ) O valor decidido pertence a um conjunto discreto (finito) de valores possíveis. É vulgar usar oito valores. Decisões brandas não-quantizadas ( unquantized soft decisions ) O valor decidido pertence ao conjunto dos números reais. A B - +,4,75 Decisão branda nãoquantizada Decisão branda (3 bits) Decisão rígida As decisões brandas são convenientes se vierem a ser utilizadas por outros blocos ou dispositivos do sistema de comunicações, como no exemplo da página seguinte. Probabilidades de erro com detecção no ponto central 3

4 Detecção de sinais binários em ruído gaussiano Decisões rígidas e decisões brandas Forma de onda Forma de onda com ruído {;} {;} Codificador Modulador binário antipodal Canal AWGN Desmodulador coerente Descodificador Canal binário simétrico Neste sistema de comunicações o desmodulador coerente entrega ao descodificador um valor binário. Mas assim o desmodulador está a deitar fora alguma informação sobre o sinal recebido que pode ser útil ao descodificador. Por exemplo, quer o valor real,4 quer o valor real,75 correspondem à decisão binária. Mas qual dos dois valores nos inspira mais confiança sobre o bit gerado pela fonte?,4 ou,75? Certamente que é,75: como está mais longe do limiar de decisão nulo temos mais certeza que a fonte produziu um bit. As decisões brandas contêm também o grau de confiança da decisão. Probabilidades de erro com detecção no ponto central 4

5 Estimações MAP e de máxima verosimilhança com decisões rígidas A função densidade de probabilidade condicional p(z s i ) é denominada de verosimilhança de s i. Verosimilhança de s p(z s ) Verosimilhança de s p(z s ) a z a (T) a z(t) Critério MAP ( maximum a posteriori probability ): ps ( z) ps ( z) critério MAP Se ps ( z) > ps ( z) escolhe-se a hipótese, caso contrário, escolhe-se a hipótese. Tendo em conta o teorema de Bayes obtemos pz ( s ) ps ( ) pz ( s) ps ( ) ps ( z) = pz ( ) pz ( ) pz ( s ) ps ( ) (teste da razão de verosimilhanças) pz ( s) ps ( ) Se as formas de onda s (t) e s (t) forem equiprováveis então pz ( s) pz ( s) critério ML É o critério de máxima verosimilhança, ou ML ( maximum likelihood ). Probabilidades de erro com detecção no ponto central 5

6 Estimação de máxima verosimilhança Na estimação MAP consideramos probabilidades a posteriori, isto é, probabilidades obtidas após observação da saída do canal. Na estimação ML consideramos probabilidades a priori (verosimilhanças), isto é, probabilidades já conhecidas antecipadamente. Se as formas de onda s (t) e s (t) forem equiprováveis os dois critérios de estimação são equivalentes, como se viu. Na estimação ML o limiar de decisão óptimo escolhido minimiza a probabilidade de erro. Se as formas de onda s (t) e s (t) forem equiprováveis e as verosimilhanças p(z s ) e p(z s ) forem simétricas o limiar de decisão óptimo é igual ao valor médio de a e a. Ou seja, a + a zt ( ) = limiar óptimo Isto significa que o decisor irá escolher a hipótese ou que corresponda ao sinal com a máxima verosimilhança p(z s i ). Assim, se a saída do detector for z a (T): escolhe-se s (t) se p( za( T) s) > p( za( T) s) escolhe-se s (t) se pz ( a( T) s) < pz ( a( T) s) Probabilidades de erro com detecção no ponto central 6

7 Detecção de impulsos com amostragem no ponto central Vamos, para já, esquecer o filtro linear no receptor. Suponhamos que ao bit corresponde um impulso de amplitude A e duração T e ao bit corresponde um impulso de amplitude A o e igual duração T. A A T t T t Os impulsos são afectados de ruído gaussiano branco aditivo, n(t), de média nula e variância σ. Vamos admitir que os impulsos são equiprováveis, P = P =. Pretende-se determinar qual foi o impulso (ou bit) enviado. Uma maneira de o fazer é:. amostrar a forma de onda ruidosa z( t) = Ai + n( t) no ponto central dos impulsos, isto é, nos instantes T/, 3T/, 5T/, etc.. com base no valor da amostra obtida, decidir qual o bit enviado: se o valor da amostra for superior a um determinado limiar escolhemos o bit, se for inferior a esse limiar escolhemos o bit. A o ou A z(t) z(t/) /T Ruído n(t) Decisor Limiar z(t/) > < Probabilidades de erro com detecção no ponto central 7

8 Como n(t) é uma variável aleatória gaussiana, z(t)=a i +n(t) também o é. A média de z(t) é A o ou A consoante a amplitude do impulso. p(z A ) p(z A ) P e P e A A z(t) Quando os bits são equiprováveis o limiar de decisão óptimo é o valor intermédio = A + A. A probabilidade de se cometer um erro de decisão caso se tenha enviado um é a probabilidade de p z A ) ser superior ao limiar, isto é, ( P e = p(z A )dz = πσ e (z A ) σ dz Do mesmo modo P e = p(z A )dz = πσ e (z A ) σ dz (= P e ) A probabilidade de erro (global) é dada por P e = P P e + P P e = P e (pois P = P = e P e = P e ) Probabilidades de erro com detecção no ponto central 8

9 Probabilidade de erro na presença de ruído gaussiano Desenvolvendo e fazendo a mudança de variável x = z A σ : P e = P e = πσ e (z A ) σ dz = π A σ e x dx Como = A + A : P e = π e x dx = Q( A A σ ) ( A A )σ Como se vê, a probabilidade de erro apenas depende da diferença das amplitudes dos impulsos, V = A A, e do valor eficaz (ou desvio padrão) do ruído gaussiano, σ: P e = Q( A A σ ) = = Q V σ A função Q (ver à frente) é uma função decrescente; logo, quanto maior for a diferença de amplitudes dos impulsos binários ou quanto menor for a potência do ruído, menor será a probabilidade de erro na detecção dos impulsos. A função densidade de probabilidade gaussiana de média X e variância σ é designada por N( X, σ ). Probabilidades de erro com detecção no ponto central 9

10 A função Q Considere-se uma variável aleatória gaussiana normalizada X de média nula e variância unitária. A probabilidade de a variável aleatória ultrapassar o valor x é dada pela função Q: P( X > x) = Q( x) = π λ x e dλ Esta probabilidade é igual à área sob a cauda da fdp gaussiana normalizada. F( x) = P( X x) = (área) x = px( λ) dλ (distribuição cumulativa) p x (λ) N(,) Qx ( ) = PX ( > x) = Fx ( ) x λ A função Q(x) está relacionada com a função de erro erf(x) e com a função de erro complementar erfc(x) através de Q(x) = erfc( x ) erfc(x ) = erf (x ) = π e λ dλ x erfc(x ) = Q( x ) Q ( y) = erf ( y) = = erfc ( y) Todas estas funções se encontram tabuladas em diversos livros ou podem ser calculadas em computador. Probabilidades de erro com detecção no ponto central

11 A função Q Q(x ) = π e λ dλ x Q(x) x oje em dia já não precisamos de consultar tabelas com as funções de erro ou com a função Q pois existem programas de computador que as calculam. Por exemplo, em Matlab experimente as funções erf, erfc e erfinv ou defina Q(x) como normcdf(x) se dispuser da Statistics Toolbox. Probabilidades de erro com detecção no ponto central

12 Casos particulares: sinalização unipolar e polar. Sinalização unipolar A T T 3T t Potência média do sinal: S = A = V Potência normalizada do ruído: N = σ Logo: V S Pe = Q = Q σ N. Sinalização polar A/ -A/ T T t Potência média do sinal: A V S = = 4 Potência normalizada do ruído: N = σ Logo: V S Pe = Q = Q σ N As probabilidades de erro são iguais mas com sinalização unipolar é preciso o dobro da potência do sinal. Probabilidades de erro com detecção no ponto central

13 Sinalização multinível Consideremos M níveis igualmente espaçados de V volts e ruído com variância σ: V 3 V V V t V Em termos de funções densidade de probabilidade passamos a ter a figura seguinte: p(z V o ) p(z V ) p(z V ) p(z V 3 ) Pe Pe3 Vo=-3 V/ V=- V/ V= V/ V3=3 V/ v Seja P e probabilidade de erro com níveis binários P em probabilidade de erro com M níveis Cada um dos dois símbolos exteriores contribui com uma probabilidade de erro P e. Cada um dos M- símbolos interiores contribui com uma probabilidade de erro dupla, P e. Com símbolos equiprováveis: P em = M M.P e + M P (M ) e = M P e = (M ) M Q V σ Probabilidades de erro com detecção no ponto central 3

14 Sinalização multinível: um exemplo P.: Um sistema de sinalização em banda-base, de quatro níveis equiprováveis, utiliza impulsos rectangulares NRZ. A atenuação entre emissor e receptor é 5dB e a potência do ruído na entrada a 5Ω de um detector ideal com decisão no ponto central é µw. Qual é a potência média do sinal transmitido para que a probabilidade de símbolo errado seja -4? R.: O desvio padrão da tensão de ruído no receptor é igual ao valor eficaz (rms) da tensão de ruído (pois este tem média nula): σ = PR = 5 5 =,36 (V ) Resolvendo a equação P em ( M ) V = Q M σ em ordem a V : V = σq M (M ) P em =,36 Q =,7(V) no receptor os níveis dos impulsos são ±85,5mV e ±56mV. Potência dos impulsos no receptor:,855 5 =, 46 4 W (dois dos impulsos),56 5 =, 3 3 W (dois dos impulsos) Potência recebida média (com símbolos equiprováveis): S R =,46 +, 3 ( ). 3 =,78mW Potência transmitida: 5 PT SR,78 3,6 3mW = = = (3,6dBm) Probabilidades de erro com detecção no ponto central 4

15 Sinalização multinível: o caso dos códigos AMI No código AMI temos três níveis, e ± V, não equiprováveis: P( V )= P( V ) = 4 e P( ) = Suponhamos que o ruído AWGN tem variância σ e que f (z) e f (z) são as fdps gaussianas associadas aos níveis e V. Dada a simetria das fdps os limiares são simétricos: ±. Probabilidade de erro: P e = 4. f (z)dz +. f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz Fazendo as necessárias mudanças de variável chega-se a P e = Q V σ + Q = σ Q V σ + Q σ Os limiares óptimos obtêm-se igualando a derivada de P e a zero: dp e d = opt f ( opt ) f ( opt ) = opt = V + σ ln V = V + σ V ln A probabilidade de erro mínima é obtida com estes limiares: P emin = Q V σ σ V ln + Q V σ + σ V ln Probabilidades de erro com detecção no ponto central 5