Comunicações Digitais Prof. André Noll Barreto Prova /1 (26/04/2012)

Transcrição

1 Prova 1 01/1 (6/04/01) Aluno: Matrícula: Instruções A prova consiste de três questões discursivas A prova terá a duração de h A prova pode ser feita a lápis ou caneta Não é permitida consulta a notas de aula, todas as fórmulas necessárias serão dadas no final da prova. Toda resposta deverá está contida nas folhas da prova. Folhas de rascunho serão fornecidas caso necessário, mas não devem ser entregues. Calculadoras podem ser utilizadas, mas todas as contas e respostas devem ser justificadas Questão Q1 Q Q3 Nota Total

2 Questão 1 (3 pontos) Para a transmissão de dados digitais é usual a fragmentação de uma mensagem em diversos pacotes, que, por motivos diversos, podem não chegar todos ao receptor. Este tipo de situação é tratado com um modelo de apagamento, ou seja, além de erro de bit podemos ter o caso de não termos informação nenhuma sobre este bit, caso que chamamos de apagamento (erasure). Chamando de A o evento de apagamento, o bit na saída do canal pode ter três valores diferentes, 0,1 ou A. Sendo b o bit enviado e r o valor recebido, e supondo as seguintes probabilidades: Pr b=0=0,3 Pr r=a=0,05 Pr r=1 b=0=0,01 Pr r=0 b=1=0,0 a) Qual a probabilidade de erro? (0,8) b) Sabendo que o bit recebido foi 1, qual a probabilidade de ter sido enviado também o bit 1? (0,7) r 1, r=0 ou r=1 c) Criamos agora uma variável aleatória y={. Calcule a média e a 0, r=a variância de y. (0,7) d) Suponhamos agora que os bits sejam agrupados em pacotes de 1000 bytes e que sejam acrescentados 500 bytes de redundância por meio de um código corretor de erros. O código permite uma detecção correta desde que f + e < 00, em que e representa o número de erros e f o número de apagamentos. Qual a probabilidade aproximada de erro na detecção do pacote? (0,8) a) Pr =Pr b=0pr r=1 b=0pr b=1 Pr r=0 b=1 Pr b=1=1 Pr b=0=0,7 Pr =0,30,010,70,0=0,017 b) Pr r=1 b=1 Prb=1 Pr b=1 r=1= Prr=1 Pr r=1 b=1=1 Prr=0 b=1 Prr=A=0,93 Pr r=1= Prb=0 Prr=1 b=0pr b=1 Prr=1 b=1=0,30,010,70,93=0,654 0,93 0,7 Pr b=1 r=1= 0,654 =0,9954 c) Pr y= 1=Pr r=0=pr b=0 Pr r=0 b=0pr b=0 Pr r=0 b=1=0,96 Pr y=0= Pr r=a=0,05 Pr y=1=pr r=1=0,654 E {y }= y E {y }= y y Pr y= y= 0,960,654=0,358 y Pr y= y=0,960,654=0,950 var {y }=E {y } E {y }=0,8

3 d) podemos criar a variável aleatória z i = 1 se houver um apagamento no i-ésimo bit, z i = se houver um erro e z i = 0 se a transmissão for correta. Desta forma temos que z= f e= z i i=1. Queremos saber Pr z00 e podemos usar o teorema do limite central. z é uma v.a Gaussiana com média z= N z i e variância z =N z i z i =1 0,05 0,0170 Pr C =0,084 E {z i }=1 0,054 0,017=0,118 z i =E {z i } z i =0,1109 N = 1500 (8) = 1000 Portanto z=1008 z =1331 Pr =Prz00 Q 00 z z =Q,1 1 N.

4 Questão (3 pontos) Um processo aleatório tem função de autocorrelação igual a R x =e a. a) Qual a sua potência média? (0,6) b) Qual a sua densidade espectral de potência?(0,6) c) Supondo que este sinal seja transmitido por um canal com ruído branco aditivo de densidade espectral de potência /, qual o filtro de recepção ótimo, que maximiza a razão sinal-ruído na saída? Escreva e esboce o filtro tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência. (0,6) d) Qual a RSR na saída do filtro?(0,6) e) Repita os itens (c) e (d) considerando agora que o ruído tem uma densidade espectral de potência S n f = f (0,6) Deixe indicado qualquer integral que não tenha solução indicada no final da prova. a) P=R x 0=e a0 =1 b) S x f =F {e a a }= a 4 f c) queremos achar o filtro de Wiener S H w f = x f S x f S n f = com b= 4a a Portanto ht= a e b t d) a a 4 f a a 4 f = a b b b 4 f, RSR= P y P no P y = S x f H f a 4a 1 df = df a 4 f 4a a 4 f N P no = 0 H f 8a df = 4a 1 df 4a a 4 f

5 e) a a 4 f 4 a a f H w f = a a 4 f N = 0 4 aa a 4 f f e ht=f 1 {H f } RSR= P y P no P y = S x f H f df = N P no = 0 H f N df = 4a 0 f a 4a a f df a 4 f 4aa a 4 f 1 4 a df a 4 f

6 Questão 3 (4 pontos) Um sistema binário emprega modulação PWM (Pulse Width Modulation), em que os bits são mapeados da seguinte forma: 0: qt= A p rect t 1: pt=a p rect t T s T s a) projete e desenhe o receptor linear ótimo. (1,0) b) Suponha que o receptor tenha um ruído branco com densidade espectral de potência igual a = 130 dbm/hz, qual a potência de recepção necessária em dbm para que tenhamos uma probabilidade de erro de bit menor que 10-4 para uma taxa de transmissão de 100kbps? (1,0) c) Ache um espaço de sinais, ou seja, encontre as funções ortonormais base, que permita a representação destes sinais transmitidos. Escreva os sinais p(t) e q(t) em função deste espaço de sinais e os represente graficamente no plano Euclideano. (1,0) d)repita os itens (a) e (b) para o seguinte esquema de transmissão: (1,0) 0: qt= A p t rect t T s a) 1: pt= A p t rect t T s E p = A p T s E q = A p T s

7 b) P e =Q E b = 1 E q E p = 3 4 A pt s = 3 E = 3 q 4 E p E pq = 0 T s pt qt dt=e q = A p T s = E E E p q pq = E E p q / / = E q = 4 3 P e =Q E b E b E b 3 3,8 E b 3,8 3 = 130 dbm/hz=10 13 mw/hz = mw/hz P Rx =E b R b 3, =8, mw= 60,6 dbm c) o espaço de sinais mais óbvio é pt =[ 1 t t] A p T s qt = t A p T s d) Agora,

8 T s / E p = T s / T s /4 E q = T s /4 A p t dt= A p T s 1 E b = E pe q = 3 A p 64 Os filtros casados são A p t dt= A p 96 =E pq T s T s e o receptor ótimo é P e =Q = E p E q E pq = 8 / 9 E p = 16 9 E b E b E q =E pq = 9 E b P e =Q E b =Q 7 9 E b 10 4 E b 3,8 9 7 P RX =E b R b 3, =3, mw= 64,3 dbm

9 Fórmulas Úteis Identidades Trigonométricas: sin x=sin x cos x cos x=cos x sin x sin xcos x=1 cos x= 1 1cos x sin x= 1 1 cos x sin x± y=sin x cos y±cos x sin y cos x± y=cos x cos y sin xsin y tan x± y= tan x±tan y 1 tan x tan y acos xbsin x=a b cos xtan 1 b/a Integrais: xsin ax dx= 1 sin ax ax cosax a xcos ax dx= 1 cosaxaxsin ax a x sin ax dx= 1 a 3 ax sin ax cosax a x cosax x cos ax dx= 1 a 3 axcos ax sin axa x sin ax xe ax dx= eax a ax 1 x e ax = eax a 3 a x ax 1 x a dx= 1 x a tan 1 a x x a dx= 1 ln x a x a 4 x dx= 1 x 4 a tan 1 a Funções Importantes: rect t={ 1, t 1/ 1/, t =1/ 0, t 1/ t =rect t1 t

10 Tabela de Transformadas de Fourier: gt= G f e j f t df F G f = t F 1 1 F f t n e at u t F n! a j f n1 e a t F a a 4 f e j f 0t F g t e j f t dt f f 0 cos f 0 t F 1 [ f f 0 f f 0 ] sin f 0 t F 1 j [ f f 0 f f 0 ] u t F 1 1 f j f sgn t F 1 j f rect t F sinc f sinc B t F 1 rect f / B B t sinc f F t nt F 1 n= T f n n= T k 1 g 1 tk g t F k 1 G 1 f k G f G t F g f g at F 1 a G f a g t t 0 F G f e j f t 0 g t e j f 0 t F G f f 0 g 1 t g t F G 1 f G f g 1 t g t F G 1 f G f d n g t F j f n G f dt n t g x dx F G f j f 1 G 0 f

11 Probabilidade P B A= P A B P A B P B = P A P A eventos são independentes se P B A=P B. se A i, 1 i N são eventos disjuntos e N i =1 A i =S P B= i =1 N P B A i P A i Variáveis Aleatórias P y y= P x,y x i, y i CDF F X x=pr x x PDF p x x= d F x x dx v.a exponencial p x x= e x u x v.a. Gaussiana p x x= 1 e x x / f x px xdx p x x= px,y x, ydy x i Normal 0,1 E { f x}= Teorema Central do Limite y n = 1 n n i =1 Desigualdade de Chebyshev Pr x x k 1 1 k Q x= 1 x e x / dx Correlação xy =E { x x y y} Coeficiente de correlação xy = xy y y Estimação LMS n x 0 = a i x i com i =1 [a 1 a n]=[ a R11 E { }=R 00 a 1 R 01 a R 0 a n R 0n R1 R1n R 1 R R n R 0, e R R n1 R nn][r01 R 0n] ij=e {x i x j } Processos Estocásticos R x =E {xt xt} S x f =F {R x } yt=xt h t S y f = H f S x f e y=h 0 x R x,y =E {xt yt} x e y são descorrelatados se R x,y =x y e são ortogonais se R x,y =0 Filtro de Wiener S H opt f = m f S m f S n f

12 Transmissão Digital filtro de recepção ótimo P e =Q, H f =k P f e j f T m S n f = E p E q E pq /, com E pq = 0 T m p tqt dt banda de transmissão com pulsos de Nyquist B=1r R s Função Q