Comunicações Digitais Prof. André Noll Barreto. Prova /1 (04/04/2017)

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1 Prova 7/ (4/4/7) Aluno: Matrícula: Instruções A prova consiste de 4 (quatro) questões discursivas A prova terá a duração de h A prova pode ser feita a lápis ou caneta Não é permitida consulta a qualquer material, todas as fórmulas necessárias serão dadas no final da prova. Toda a resposta deve estar contida no espaço reservado para cada questão. Folhas de rascunho serão distribuídas caso necessário, mas não devem ser entregues. Calculadoras podem ser utilizadas, mas todas as contas e respostas devem ser justificadas Questão Q Q Q3 Q4 Nota Total

2 Questão (,5 pontos) Uma bala de diversas cores era distribuída na seguinte proporção nos sacos, 3% marrons, % amarelas, % vermelhas, % verdes, % laranjas e % brancas. A partir de 7, foi introduzida uma nova bala, azul, e a distribuição nos sacos passou a ser 4% azuis, % verdes, 6% laranjas, 4% amarelas, 3% vermelhas e 3% marrons. a) Ao se retirar uma bala amarela, qual a probabilidade de ela ter sido retirada de um saco fabricado antes de 7? Considere que temos a mesma quantidade de sacos fabricados antes e depois de 7. b) Por um problema na fabricação, após 7, algumas balas vêm estragadas. Sabendo que % das balas azuis e 5% das balas vermelhas vêm estragadas, qual a probabilidade de se pegar uma bala estragada de um saco fabricado em 7? c) Com o resultado anterior, em um saco de balas, qual a probabilidade de termos no máximo balas estragadas? a) b) P(amarela ano < 7)P(ano < 7) P(ano < 7 amarela) = P(amarela) P(amarela) = P(amarela ano < 7)P(ano < 7) +P(amarela ano 7)P(ano 7) =, (,5) +,4(,5) =,7 P(ano < 7 amarela) =,(,5),7 = 7 = P(estragada) = P(estragada azul)p(azul) +P(estragada vermelha)p(vermelha) =,(,4) +,5(,3) =,35 d) Chamando p = P(estragada) =,35 P( estragadas) = ( ) ( p) + ( ) p( p)9 + ( ) p ( p) 8 =,978

3 Questão (,5 pontos) Duas variáveis aleatórias x e y tem função densidade de probabilidade (pdf) conjunta dada por p x,y (x, y) = A sin(x + y), < x, y / a) Qual o valor de A? b) Qual a pdf da variável aleatória x? Qual sua variância? c) Qual Pr (x < )? d) Qual a pdf condicional p x y (x y)? a) Sabemos que b) ou seja, p x,y (x, y)dydx = A sin(x + y) dydx = A[ cos(x + y)] y= dx = A [cos(x) cos (x + )] dx = A [cos(x) + sin(x)]dx = A[sin(x) cos(x)] = A = A = que já foi calculado acima p x (x) = p x,y (x, y)dy = A sin(x + y) dy p x (x) = [cos(x) + sin(x)] x = x [cos(x)) + sin(x)]dx = [( + x) sin(x) = ( x) cos(x)] = 4 (ou observando-se que p x (x) é simétrica em torno de ) 4 E{x } = x [cos(x)) + sin(x)]dx = [(x + x ) sin(x) (x x ) cos(x)] = + + =,845 var{x} = E{x } x =,876 8 c) d) Pr[x < ] = p x (x)dx = [cos(x) + sin(x)]dx = [sin(x) cos(x)] = (sin() cos() + ) =,656 p x y (x y) = p x,y(x, y) p y (y) = sin(x + y) sin(y) + cos (y)

4 Questão 3 (,5 pontos) Em uma cidade de. residências, sabe-se que o consumo mensal de água de cada residência é uma variável aleatória uniforme com média m 3 /mês. Sabe-se ainda que o consumo total da cidade passa de. m 3 /mês com probabilidade,%. Qual o consumo mínimo e máximo mensal de cada residência? Seja x i o consumo de cada residência, o consumo da cidade é y = x i Sabemos que y =. x =., e que. y Q ( ) =,. = 3, 3,58 σ y σ y Sabemos ainda que σ y =. σ x σ x =,4 Como x i é variável aleatória uniforme, sabemos que σ (b a) x = b a =,7 a + b x = = e, portanto, o consumo residêncial mínimo é a =,7 = 4,4 e o máximo i= b = +,7 = 5,59

5 Questão 4 (,5 pontos) Um sinal com densidade espectral de potência S x (f) = AΔ ( f ) W/Hz, em que Δ(x) é um sinal triangular no intervalo [, ], é alimentado em um receptor com resistência operando a uma temperatura de 7 o C. O sinal ruidoso é filtrado por um filtro com resposta na frequência igual a H(f) = Δ ( f ). Qual o valor de A e qual a potência do sinal recebido (em dbm), de modo que na saída do filtro tenhamos uma razão sinal-ruído (potência do sinal / potência do ruído) de db? A densidade espectral de potência do sinal após o filtro será dada por S y (f) = S x (f) H(f) = A Δ ( f ) e sua potência será P y = S y (f)df = A ( f ) df = A g dg = (na integral acima fizemos g = f/) A 3 A densidade espectral de potência do ruído na saída do filtro será S n (f) = N H(f) = N Δ ( f ) E sua potência será P n = S n (f)df = N ( f ) df = N gdg = 5 N em que N = 4kTR =, (3)() =, A RSR na saída do filtro será, portanto, e RSR = P s P n = A 3 5 N A 5 N = 4,97 7 P x = S x (f)df = A ( f ) df = A = 4,97 4 W 63dBW

6 Identidades Trigonométricas sin(x) = sinx cosx sin x + cos x = sin x = ( cosx) cos(x ± y) = cosx cosy sinx siny cos(x) = cos x sin x cos x = ( + cosx) sin(x ± y) = sinx cosy ± cosx siny tan(x ± y) = tanx ± tany tanx tany a cosx + b sinx = a + b cos (x + tan ( b a )) cos (x ) = sin (x) Integrais xsinaxdx = (sinax axcosax) a xcosaxdx = (cosax + axsinax) a x sinaxdx = a 3 (axsinax + cosax a x cosax) x cosaxdx = a 3 (axcosax sinax + a x sinax) xe ax dx = eax (ax ) a x e ax dx = eax a 3 (a x ax + ) e ax cosbx dx = eax (acosbx + bsinbx) a + b e ax sinbx dx = eax (asinbx bcosbx) a + b x + a dx = x a tan a x x + a dx = ln(x + a ) x a 4 + x 4 dx = x tan a a

7 Probabilidade P(B A) = P(A B) = P(A B)P(B) Regra de Bayes P(A) P(A) eventos são independentes se P(B A) = P(B). se A i, i Nsão eventos disjuntos e i = N A i = S P(B) = i= Variáveis Aleatórias CDF F X (x) = Pr(x x) PDF p x (x) = df x(x) dx v.a exponencial: p x (x) = λe λx u(x) v.a. Gaussiana: p x (x) = e (x xˉ) /σ σ Q(x) = x e x / dx E{f(x)} = f(x)px (x)dxp x (x) = px,y (x, y)dy Teorema Central do Limite y n = n n x i μ Normal(,) i= σ Probabilidade Marginal P y (y) = x i P x,y (x i, y) ou p y (y) = p x,y (x, y)dx Covariância: σ xy = E{(x xˉ)(y yˉ)} Coeficiente de correlação ρ xy = σ xy σ x σ y Processos Estocásticos Autocorrelação: R x (τ) = E{x(t)x(t + τ)} Densidade Espectral de Pot.: S x (f) = F τ {R x (τ)} y(t) = x(t) h(t) S y (f) = H(f) S x (f) e ȳ = H()xˉ R x,y (τ) = E{x(t)y(t + τ)} x e y são descorrelatados se R x,y (τ) = xˉȳ e são ortogonais se R x,y (τ) = Ruído Térmico: N = ktr, com e k =, J/K Filtro de Wiener S m(f) H opt (f) =, P S m (f)+s n (f) N = S m (f)s n (f) df (S) m (f)+s n (f) N P(B Ai )P(A i )

8 Função Q x Q(x) X Q(x), 4,6E- 3, 9,68E-4, 4,E- 3, 6,87E-4,3 3,8E- 3,3 4,83E-4,4 3,45E- 3,4 3,37E-4,5 3,9E- 3,5,33E-4,6,74E- 3,6,59E-4,7,4E- 3,7,8E-4,8,E- 3,8 7,3E-5,9,84E- 3,9 4,8E-5,,59E- 4, 3,7E-5,,36E- 4,,7E-5,,5E- 4,,33E-5,3 9,68E- 4,3 8,54E-6,4 8,8E- 4,4 5,4E-6,5 6,68E- 4,5 3,4E-6,6 5,48E- 4,6,E-6,7 4,46E- 4,7,3E-6,8 3,59E- 4,8 7,93E-7,9,87E- 4,9 4,79E-7,,8E- 5,,87E-7,,79E- 5,,7E-7,,39E- 5, 9,96E-8,3,7E- 5,3 5,79E-8,4 8,E-3 5,4 3,33E-8,5 6,E-3 5,5,9E-8,6 4,66E-3 5,6,7E-8,7 3,47E-3 5,7 5,99E-9,8,56E-3 5,8 3,3E-9,9,87E-3 5,9,8E-9 3,,35E-3 6, 9,87E-