ANÁLISE MATEMÁTICA IV

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 6 SÉRIES DE FOURIER E MÉTODO DE SEPARAÇÃO DAS VARIÁVEIS 1 Determine o desenvolvimento em série de Fourier das seguintes funções: a fx = x para x [ 1, 1]; b fx = x + 1 para x [ 1, 1]; c fx = cos 3 x para x [ π, π]. Resolução: a A série de Fourier de f é da forma fx = a + a k cosx + b k sinx Como fx é ímpar, todos os a k s são. Quanto aos b k s, são dados pela fórmula b k = 1 = = = 1k = 1k+1 x sinxdx x sinxdx x cosx + 1 porque x sinx é par 1 cosx + dx Conclui-se que o desenvolvimento de Fourier de f para x [ 1, 1] é 1 k+1 fx = sinx b A função x já foi desenvolvida em série pelo que nos resta desenvolver a função constante igual a 1 no intervalo [ 1, 1]. Por unicidade do desenvolvimento de Fourier, há uma única escolha possível para a k s e b k s tais que 1 = a + a k cosx + b k sinx Claramente uma escolha possível é a = e a k = b k = para k 1. Por unicidade conclui-se então que o desenvolvimento de Fourier da função constante igual a 1 é 1 = e portanto o desenvolvimento de Fourier de f é fx = + 1 k+1 sinx

2 AMIV FICHA RESOLVIDA 6 c O desenvolvimento de Fourier de f é da forma fx = a + a k coskx + b k sinkx Por unicidade do desenvolvimento de Fourier, qualquer desenvolvimento desta forma que se obtenha será o desenvolvimento de Fourier. Pela fórmula de DeMoivre tem-se: cos x + i sin x 3 = cos3x + i sin3x cos 3 x 3 cos x sin x + i3 cos x sin x sin 3 x = cos3x + i sin3x donde, igualando as partes reais, cos 3 x 3 cos x1 cos x = cos3x 4 cos 3 x = 3 cos x + cos3x cos 3 x = 3 4 cos x cos3x Uma vez que este é um desenvolvimento da forma pretendida, conclui-se que é este o desenvolvimento de Fourier. Isto é tem-se b k = para todo o k 1, a k = para k 1, 3 e a 1 = 3 4, a 3 = 1 4. Comentário: Nas aĺıneas b e c do exercício anterior poder-se-ia também ter utilizado as fórmulas integrais para calcular os coeficientes a k e b k mas esse processo seria muito mais trabalhoso, principalmente na aĺınea c. Determine o desenvolvimento em série de senos das seguintes funções: x se x 1 a fx = 1 se 1 < x ; b fx = cos x para x [, π]. Resolução: a O desenvolvimento de f em série de senos no intervalo [, ] é da forma x fx = b k sin. Os coeficientes b k são dados pela fórmula x b k = fx sin dx x x = x sin dx + sin dx 1 = x 1 x cos x + cos = cos + 4 k π sin = 4 sin 1 k k π. dx x cos 1

3 AMIV FICHA RESOLVIDA 6 3 Conclui-se que o desenvolvimento de f em série de senos é dado pela expressão 4 sin 1 k x fx = k π sin. b O desenvolvimento de f em série de senos no intervalo [, π] é da forma kx fx = b k sin. Os coeficientes b k são dados pela fórmula b k = π kx fx sin dx π = 1 π kx cos x sin dx. π Para calcular a primitiva anterior pode integrar-se duas vezes por partes e obtém-se 1 k kx kx cos x sin dx = sin x sin + k kx 4 cos x cos. Assim, para k, tem-se b k = 1 π 4 4 k = 1k 1k π4 k e, para k =, tem-se b = 1 π π kx sin x sin + k kx cos x cos cos x sin x dx = 1 π,k π sinx dx =. π Conclui-se que o desenvolvimento de f em série de senos é dado pela expressão k 1 k 1 kx fx = π4 k sin. 3 Determine o desenvolvimento em série de cosenos das seguintes funções: a fx = x para x [, 1]; b fx = e x para x [, π]. Resolução: a O desenvolvimento de f em série de cosenos no intervalo [, 1] é da forma fx = a + a k cosx. Os coeficientes a k são dados pela fórmula Donde a k = 1 a = fx cosx dx. x dx = 3,

4 4 AMIV FICHA RESOLVIDA 6 e, para k 1, a k = x cosx dx = x sinx 1 = 4 = 4 x sinx dx x cosx 1 x sinx dx cosx + = 4 1k π k. Conclui-se que o desenvolvimento de f em série de cosenos no intervalo [, 1] é dado por fx = k π k cosx. b O desenvolvimento de f em série de cosenos no intervalo [, π] é da forma fx = a + kx a k cos. Os coeficientes a k são dados pela fórmula Donde e, para k 1, a k = π a = 1 π π π fx cos kx dx. e x dx = e4π 1 π, a k = 1 π kx e x cos dx π = 1 π π Re e x+i kx dx = 1 π Re e+ k ix π + k i = 1 π Re e 4π+i 1 + k i = 8 1 k e 4π 1 π16 + k. Conclui-se que o desenvolvimento de f em série de cosenos é dado pela expressão fx = e4π k e 4π 1 kx + 4π π16 + k cos. dx

5 AMIV FICHA RESOLVIDA Recorrendo ao método de separação de variáveis determine uma solução do seguinte problema de valor na fronteira para a equação do calor: para x π e t. u = u t x u, x = sin3x 1 sin8x ut, = ut, π = Resolução: Começa-se por procurar soluções da equação diferencial parcial da forma ut, x = T txx. Substituindo na equação tem-se Tendo em conta as condições na fronteira T txx = T txx t x T txx = T tx x T t T t = X x para T t, Xx Xx T t T t = k = X x para algum k R Xx T t = kt t X para algum k R. x = kxx ut, = ut, π = T tx = T txπ = T t = t ou X = Xπ =, conclui-se que para obter soluções não identicamente nulas tem de ser X = Xπ =. Por sua vez isto implica que a constante k acima tem de ser negativa se k a única solução da equação X x kxx = que verifica X = Xπ = é a solução identicamente nula. Portanto Xx = c 1 cos kx + c sin kx, e substituindo nas condições fronteira obtém-se X = c1 = Xπ = c sin = c1 = c = ou sin =. Obtêm-se assim soluções não nulas para a equação diferencial para X e para a condição fronteira quando = k = n para n = 1,,... e para cada um destes valores de k obtêm-se como soluções do sistema acima múltiplos reais de Xx = sinnx e T t = e nt. Isto é, para cada n = 1,,... obtém-se a seguinte solução da equação diferencial parcial satisfazendo a condição na fronteira: u n t, x = sinnxe nt. Finalmente, determina-se coeficientes d n R tais que a condição inicial seja satisfeita por ut, x = d n u n t, x.

6 6 AMIV FICHA RESOLVIDA 6 Tem-se u, x = sin3x 1 sin8x d n u n, x = sin3x 1 sin8x d n sinnx 1 = sin3x 1 sin8x portanto d 3 = 1, d 8 = 1 e d n = para n 3, 8. Conclui-se que a solução do problema do enunciado é ut, x = sin3xe 9t 1 sin8xe 64t. 5 Seja c um parâmetro real positivo. Recorrendo ao método de separação de variáveis determine uma solução do seguinte problema para a equação das ondas: u = c u t x u, x = cos x u, x = t ut, = ut, π = 1 para x π e t verificando a equação diferencial para < x < π. Sugestão: Comece por determinar uma solução estacionária isto é da forma ut, x = vx da equação diferencial que satisfaça as condições na fronteira para x = e x = π. Pode também aproveitar o resultado da aĺınea b. Resolução: Começa-se por determinar uma solução estacionária da equação diferencial parcial que satisfaz a condição na fronteira. Substituindo ut, x = vx em u t = c u x ut, = ut, π = 1 obtém-se vx = c vx t x v = vπ = 1 vx = ax + b v = v1 = 1 vx = 1. Voltando ao problema inicial e escrevendo ut, x = vx + u h t, x = 1 + u h t, x, tem-se que u h t, x é uma solução do seguinte problema com condições na fronteira homogéneas: u h t = c u h x u h, x = cos x 1 u h t, x = u h t, = u h t, π =

7 AMIV FICHA RESOLVIDA 6 7 Para resolver este problema, começa-se por procurar soluções da equação diferencial parcial e das condições fronteira da forma u h t, x = T txx. Substituindo na equação tem-se Tendo em conta as condições na fronteira T txx = c T txx t x T txx = c T tx x T t T t = c X x para T t, Xx Xx T t T t = k = c X x para algum k R Xx T t = kt t X x = k para algum k R. Xx c u h t, = u h t, π = T tx = T txπ = T t = t ou X = Xπ =. conclui-se que para obter soluções não identicamente nulas tem de ser X = Xπ =. Por sua vez isto implica que a constante k acima tem de ser negativa se k a única solução da equação X x k Xx = que verifica X = Xπ = é a solução c identicamente nula. Portanto k k Xx = c 1 cos x + c sin x, c c e substituindo nas condições fronteira obtém-se X = c1 = Xπ = c sin c1 = c = ou sin k c k c π =. π =. Obtêm-se assim soluções não nulas para a equação diferencial para X e para a condição fronteira quando = ncπ k = n c 4 para n = 1,,... e para cada um destes valores de k obtêm-se como soluções da equação para Xx nx Xx = c sin. Quanto à equação para T t T t = n c nct nct 4 T t T t = c 3 cos + c 4 sin No entanto, a condição inicial u h t, x = T Xx = implica, para soluções não identicamente nulas, que seja T =, ou seja, c 4 =. Assim nct T t = c 3 cos

8 8 AMIV FICHA RESOLVIDA 6 Isto é, para cada n = 1,,... obtém-se a seguinte solução da equação diferencial parcial satisfazendo a condição na fronteira e a condição inicial respeitante à derivada em ordem a t: u n t, x = sin nx cos nct Finalmente, determina-se coeficientes d n R tais que a condição inicial não homogénea seja satisfeita por u h t, x = d n u n t, x. Tem-se. u h, x = cos x 1 d n u n, x = cos x 1 nx d n sin 1 = cos x 1. Portanto os d n s são os coeficientes do desenvolvimento da função cos x 1 em série de senos no intervalo [, π]. Na aĺınea b foi já calculado o desenvolvimento de cos x em série de senos neste intervalo pelo que resta fazer o mesmo para a função constante igual a 1: π π donde se conclui 1 sin nx 1 =,n ímpar dx = nx cos π = 1n 1 1 n 1 sin nx e portanto, tendo em conta que para n par os coeficientes das séries de senos das funções cos x e 1 se anulam, tem-se 4n cos x 1 = π4 n + 4 nx sin isto é, Conclui-se que u h t, x = d n =,n ímpar 4n π4 n 4 se n ímpar se n par. 4n π4 n + 4 e que a solução do problema do enunciado é ut, x = 1 +,n ímpar 4n π4 n + 4 sin sin nx cos nx cos nct nct.

9 AMIV FICHA RESOLVIDA Recorrendo ao método de separação de variáveis determine uma solução para o seguinte problema de valor na fronteira: u + u = u x y ux, = ux, 1 = u, y = u1, y = y para x 1 e y 1 verificando a equação diferencial para < x < 1 e < y < 1. Resolução: Começa-se por procurar soluções da equação diferencial parcial da forma ux, y = XxY y. Substituindo na equação tem-se XxY y + XxY y = XxY y x y X xy y + XxY y = XxY y X x Xx 1 = Y y para Y y, Xx Y y X x Xx 1 = k = Y y para algum k R Y y X x = k + 1Xx Y para algum k R. y = ky y Tendo em conta as condições na fronteira ux, = ux, 1 = XxY = XxY 1 = Xx = x ou Y = Y 1 = conclui-se que para obter soluções não identicamente nulas tem de ser Y = Y 1 =. Por sua vez isto implica que a constante k acima tem de ser positiva se k a única solução da equação Y x + ky y = que verifica Y = Y 1 = é a solução identicamente nula. Portanto Y y = c 1 cos ky + c sin ky e substituindo nas condições fronteira obtém-se Y = c1 = Y 1 = c sin k = c1 = c = ou sin k = Obtêm-se assim soluções não nulas para a equação diferencial para X e para a condição fronteira quando k = k = n π para n = 1,,... e para cada um destes valores de k obtêm-se como soluções da equação para Y y Y y = c siny Quanto à equação para Xx X x = 1 + n π Xx Xx = c 3 cosh 1 + n π x + c 4 sinh 1 + n π x No entanto, a condição u, y = XY y = implica, para soluções não identicamente nulas, que seja X =, ou seja, c 3 =. Assim Xx = c 4 sinh 1 + n π x.

10 1 AMIV FICHA RESOLVIDA 6 Isto é, para cada n = 1,,... obtém-se a seguinte solução da equação diferencial parcial satisfazendo as condições na fronteira homogéneas: u n x, y = sinh 1 + n π x siny Finalmente, determina-se coeficientes d n R tais que a condição na fronteira não homogénea seja satisfeita por ux, y = d n u n x, y. Tem-se u1, y = y d n u n 1, y = y d n sinh 1 + n π siny = y. Portanto d n sinh 1 + n π são os coeficientes do desenvolvimento de y em série de senos no intervalo [, 1]. Donde, d n sinh 1 + n π = y siny dy = 1n+1 1 e portanto 1 n+1 d n = sinh 1 + n π. Conclui-se que a solução do problema do enunciado é ux, y = 1 n+1 sinh 1 + n π sinh 1 + n π x siny.