Escola Naval Gabarito Comentado PSAEN PROVA ROSA Elaborado por alunos do ITA: Caio Guimarães, Ishai Elarrat, Felipe Moraes

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1 Escola Naval Gabarito Comentado PSAEN PROVA ROSA Elaborado por alunos do ITA: Caio Guimarães, Ishai Elarrat, Felipe Moraes. Seja x = base d d. Da figura: x h.ctg d d h.(ctg ctg ) h x d h.ctg (ctg ctg) d.h d.d S (ctg ctg) S (Opção E). Comentário: Nessa questão, faltou ser indicado que o desenvolvimento do binômio em questão deveria ser considerado desenvolvido segundo a ordem dos termos decrescentes das potências de x. n T C(n,0).(x ) n n n T C(n,).(x ).( ).x x n n(n ) n T C(n,).(x ).( )².(x ) x Como os termos estão em PA: n(n ) Termo Termo T ermo n n(n ).(n ) n, n Como n= nos dá somente termos no desenvolvimento, n= ) razão a a 0.r 0. (Opção C) (. i) f(-x) = -x +. arctg (-x) = -x -. arctg (x) = - (x + arctg x ) = - f(x ). Logo f é uma função ímpar. Com isso temos que f deverá ser simétrica em relação à origem. ii) f (x) 0, x f é estritamente crescente em todo seu domínio iii) f (x) x f (x) 0 x 0 ² f (x) 0 x 0 Logo antes do 0, f tem concavidade pra cima, e depois para baixo De (i),(ii) e (iii) concluímos que o grafico tem o esboço de : (Opção A)

2 . W é um vetor normal a U e V, logo é um vetor paralelo ao produto vetorial u x v. Para t real temos: = i 0 j k ( i k i j).t (0, t, t) Achando os vetores unitários paralelos ao produto vetorial(lembrando que t > 0) : 0² ( t)² t². t t [(0,, ) (,,)].[( 0,,)] (0,, ) (,,). [0,, (,,0).(0,,).. Logo, sent ( ) csc(t ).sent. cos T 6 (Opção B). y x 6 x dy.( ) x³ dx x³ dy ( ) dx x³ x³ Fazendo u = x³, temos que dx = du/ () x ²dx x³ ( x 6 x 6 ) dx du u² ln u. u² du. (u )² (u u ).du C u² 6 u 6 6 Substituindo novamente na variável x: = ln x (Opção D) C x 6

3 6. V.r²h h.r² Seja f( r ) a função na variável positiva r que nos dê o gasto em função do tamanho do raio do cilindro. f(r) 000.(.r²) 000.(.r²) 000.(.r.h) 000.(.r²) 000.(.r. ) 000.(.r²) 000.r.r² f (r) 6000.(.r) 000 r² 0 r Discussão do sinal da ª derivada: r f (r) 0 r r f (r) 0 é um ponto de mínimo pois f( r ) é derivável pra todo r Temos que 9 h h.r² Considerando que as dimensões pedidas são raio e altura, a opção correta é : (Opção D) x e 7. dx I x Fazendo u e du e. dx e x x I = e du du x..arc tan(u) C.Arc tan(e ) C u² x.e u² =.Arc cot(e x ) C.Arc cot(e x ) C (Opção E). x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

4 x x x i) x x x x x x x x ii) x x x x x Não existe x nesse intervalo que satisfaça a condição inicial iii) x x x x x x x x x iv) x x x x x x x x x x Fazendo a intersecção, temos: x (, )U(, ) (opção E) 9. A função f está definida para todo x que atende à condição: x x 9 0 x x 6 Como x é o menor inteiro que atende a essa condição, x= / / 7 log log que pertence ao intervalo [/, ] (opção A) 0.. arcob D 6 cosx o. x 60 arcoe D 0 x EB ² ² S C.R ² R C (Opção A)

5 . Substituindo x = /x, y = /y, z = /y. O sistema será Possível e Indeterminado quando o novo sistema também for. x y z 0 ax y z 0 x y z 0 Sistema Homogêneo => P. Indeterminado Det. Principal = 0 a 7 0 a a 0 9a 7 a 9 (Opção D) ** OBS: Esse é um sistema homogêneo não linear, portanto existe a possibilidade desse sistema ser impossível, já que não admite a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0). O Resto de P(x) na divisão por x + é dado por P(-/) - (D Alembert) P( ) m³. m. m³ m P( ) (m )²(m ) 0 m, m Logo o resto é positivo, se e somente se m é tal que : m ],[ ], [ (Não há resposta) ** OBS: A questão deverá ser anulada, pois não apresenta a condição que m deve obedecer para que o resto seja positiva, como pede o enunciado.. h é a altura do triangulo eqüilátero de lado a (onde a é a aresta da base do prisma d = h 0 0 a a 0 D.d.(. ) D 9 9 a².0 D² ² a² a² a 9 (Opção C) Portanto: a² 7 / V /6 /..() f(v).(v ). 7 / 6 ( /6) 9

6 z. z i 6.cis ( ) arg( Z ) k., k Z Como as equações possuem coeficientes reais, sabemos que o conjugado de z deverá ser a ª raiz da equação. O produto das raízes, que por Girard é (c/a), vale z.z z ² ² Portanto, a única equação possível será a que o termo independente é. (Opção A) **OBS: Poderíamos ter encontrado o Z dado o sistema, montado e verificado que era raiz da equação da opção A. Seja r a reta de simetria. r: (y Ya) y ( ( )) r : y x (x Xa) x O ponto P pode ser parametrizado P = (t, -t), tomando o vetor de extremos M e P = M-P = (-t, +t), temos que esse vetor deverá ser paralelo ao vetor (,), vetor normal de r. De onde tiramos que -t = +t => t= ½ P M M` M P M (,) (,) (, ) M` atende à equação : y² (Opção C) 6. Pela definição de continuidade no ponto x=7, temos que: x 7 lim x7 f(x) a lim x7 a Aplicando L Hospital: lim x7 x 7 lim x x7 x lim x7.x x 7 7 a Derivando g(x): 6 g (x) ln x. 7 6 x 7 6 g ( 7a) ln. ln ln (Opção D)

7 7. L h.a. h h² x 7 a³ 6.L.x Alat piramide..7. cm² Seja L a aresta da Acubo 6.a² cm² base e a a aresta do cubo. 7 Razão (Opção B). sen²x cos ²x) (sen²x cos ²x)² sen x cos x.(senx. cos x)² senx senx Como 0< x <π => 0< x <π e portanto as soluções admitidas serão: x = { π/, π/, π/, π/ }. Logo x = { π/6, π/, π/, π/6} Soma dos inversos: 6/ π + / π + /( π) + 6/( π) = (90 ++)/(0 π) = 7/(0 π) (Opção B) 9. x / ³ x / ³ y (x) e. x. cos x e.sen x x / ³ e. x.cos x sen x y L : y x Achando os pontos P e Q : x 0 P (0, ). ( )² (Opção B) S y 0 Q (,0) 0. g(x) f() g (x) f ().x x.sen(cos ) x.sen(cos x ) x 0 g (x) x.sen(cos x) g ()..sen(cos()) (Opção C)