8.1-Equação Linear e Homogênea de Coeficientes Constantes

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Catarina Lemos Câmara
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1 8- Equações Diferenciais Lineares de 2 a Ordem e Ordem Superior As equações diferenciais lineares de ordem n são aquelas da forma: y (n) + a 1 (x) y (n 1) + a 2 (x) y (n 2) + + a n 1 (x) y + a n (x) y = b(x) onde a i (x) e b(x) são constantes ou são funções que dependem só de x. Se b(x) = 0 a equação diferencial é dita homogênea ou incompleta Se b(x) = 0 a equação diferencial é dita não homogênea ou completa Uma equação linear homogênea de ordem n possui n soluções reais linearmente independentes que formam uma base para a solução da equação. A solução geral da equação diferencial é dada pela combinação linear dos elementos da base, isto é: y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C 3 y n (x) Observação: Duas soluções y 1 (x) e y 2 (x) são linearmente independentes quando y 2 (x) = h(x) cte y 1 (x) 8.1-Equação Linear e Homogênea de Coeficientes Constantes As equações diferenciais lineares homogêneas de coeficientes constantes são aquelas da forma y (n) + a 1 y (n 1) + a 2 y (n 2) + + a n 1 y + a n y = 0 onde a 1, a 2,, a n são constantes. Seja a equação linear incompleta de primeira ordem (n = 1) com coeficientes constantes y + a y = 0 A solução geral é dy = a y dx dy + a y = 0 dx dy y = a dx dy y = a dx y = e ax + C Isto sugere que no caso geral (n > 1) uma equação linear incompleta com coeficientes constante tenha soluções do tipo y = e λx, assim, y = e λx, y = λ e λx, y = λ 2 e λx,, y (n) = λ n e λx Substituindo na equação linear homogênea tem-se λ n e λx + a 1 λ n 1 e λx + + a n 1 λ e λx + a n e λx = 0 e λx (λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n ) = 0

2 Como e λx 0, então λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n = 0 Esta equação é chamada de equação característica ou polinômio característico e tem n raízes reais ou complexas. Com estas raízes é possível construir as n soluções reais linearmente independentes da equação diferencial e, consequentemente, a solução geral. Caso 1 Polinômio Característico com Raizes Reais Distintas Se as raízes do polinômio característico forem reais e distintas, isto é, λ 1 λ 2 λ n, então as n soluções correspondentes são: y 1 = e λ 1 x, y 1 = e λ 2 x,, y n = e λ n x A solução geral da equação diferencial é combinação linear das soluções L.I, isto é: y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x + + C n e λ n x 1) Resolva y 3 y + 2y = 0 Supondo: y = e λx ; y = λ e λx ; y = λ 2 e λx ; y = λ 3 e λx tem-se λ 3 e λx 3 λ 2 e λx + 2 λ e λx = 0 e λx (λ 3 3λ λ) = 0 O polinômio característico é: λ 3 3λ λ = 0 λ (λ 2 3 λ + 2) = 0 λ ( λ 1) ( λ 2) = 0 λ = 0 ou ( λ 1) = 0 ou ( λ 2) = 0 Assim, as 3 raízes do polinômio característico são: λ 1 = 0 λ 2 = 1 λ 3 = 2 (raízes reais distintas) y 1 = e 0 x = 1 ; y = C 1 + C 2 e x + C 3 e 2x y 2 = e x ; y 3 = e 2x 2) Resolva y 9 y = 0 λ 2 9 = 0 ( λ 3)( λ + 3) = 0 λ 3 = 0 ou λ + 3 = 0 Assim, as 2 raízes do polinômio característico são: λ 1 = 3 λ 2 = 3 (raízes reais distintas) y 1 = e 3 x ; y 2 = e 3x y = C 1 e 3x + C 2 e 3x

3 Caso 2 Polinômio Característico com Raizes Reais Múltiplas Se uma raiz λ 1 do polinômio característico tiver multiplicidade k, então as k soluções a elas associadas são: y 1 = e λ 1 x, y 1 = x e λ 1 x, y 2 = x 2 e λ 1 x,, y n = x k 1 e λ 1 x y = C 1 e λ 1 x + C 2 x e λ 1 x + + C k x k 1 e λ 1 x 1) Resolva a EDO y 6 y + 12 y 8 y = 0 λ 3 6 λ λ 8 = 0 ( λ 2)( λ 2 4 λ + 4) = 0 ( λ 2)( λ 2)( λ 2) = 0 λ 2 = 0 λ 1 = λ 2 = λ 3 = 2 (com multiplicidade 3) y 1 = e 2 x ; y 2 = x e 2x ; y 3 = x 2 e 2x y = C 1 e 2x + C 2 x e 2x + C 3 x 2 e 2x 2) Resolva a EDO y (4) 6 y + 9 y = 0 λ λ λ 2 = 0 λ 2 ( λ λ + 9) = 0 λ. λ. ( λ + 3). ( λ + 3) = 0 λ = 0 ou λ + 3 = 0 λ 1 = λ 2 = 0 (multiplicidade 2) λ 3 = λ 4 = 3 (multiplicidade 2) y 1 = e 0 x = 1 ; y 2 = x e 0x = x ; y 3 = e 3x ; y 4 = x e 3x y = C 1 + C 2 x + C 3 e 3x + C 4 x e 3x

4 Caso 3 Polinômio Característico com Raizes Complexas Se uma raiz λ = a + b i, b 0, é uma raiz complexa da equação característica da EDO então, o conjugado λ = a b i é também uma raiz. Utilizando a igualdade de Euler, as soluções complexas da EDO correspondentes às raízes λ e λ são: y = e (a+b i)x = e ax. e b x i = e ax [cos(bx) + sen(bx) i] y = e (a b i)x = e ax. e b x i = e ax [cos(bx) sen(bx) i] É possível verificar que as funções y 1 = e ax cos (bx) e y 2 = e ax sen(bx), são as soluções reais correspondentes às raízes λ e λ. Por serem funções linearmente independentes, a solução geral da EDO é y = C 1 e ax cos (bx) + C 2 e ax sen(bx) Se houver multiplicidade da raiz complexa, procede-se de forma semelhante à adotada para raízes reais. 1) Resolva a EDO y 6 y + 13 y = 0 Polinômio característico: λ 2 6 λ + 13 = 0 λ = ( 6) ± ( 6) = 6 ± 16 2 = 6 ± 4 i 2 λ 1 = i e λ 2 = 3 2 i y 1 = e 3x cos(2x) ; y 2 = e 3x sen(2x) y = C 1 e 3x cos(2x) + C 2 e 3x sen(2x) = 3 ± 2 i 2) Resolva a EDO y (4) + 8 y + 16 y = 0 Polinômio característico: λ λ = 0 ( λ 2 + 4) 2 = 0 (λ 2 + 4). (λ 2 + 4) = 0 λ = 0 λ = 4 λ = 2 i λ = ±2 i λ = 2 i ou λ = 2 i λ 1 = λ 3 = 2 i e λ 2 = λ 4 = 2i y 1 = e 0 x cos(2x) = cos(2x) ; y 2 = sen(2x); y 3 = x cos(2x) ; y 4 = x sen(2x) y = C 1 cos(2x) + C 2 sen(2x) + C 3 cos(2x) x + C 4 sen(2x)x

5 Lista 8.a 1) Resolva os seguintes P.V.I. a) d2 y dx 2 = 1 x 2 ; y(1) = 2 e y (1) = 4 y = ln( x ) + 5 x 3 b)y + 4y = 0 ; y(0) = 2 e y (0) = 8 y = 2 e 4x 2) Encontre a solução geral da EDO linear homogênea, onde y = f(x), sendo conhecidas as raízes de seu polinômio característico (λ): a) λ = 4 (multiplicidade 2); λ = i; λ = i; λ = 3 y = C1 e 4x + C 2 e 4x x + C 3 e x cos(2x) + C 4 e x sen(2x) + C4 e 3x b) λ = 0 (multiplicidade 2); λ = 2 (multiplicidade 3) y = C1 + C 2 x + C 3 e 2x + C 4 e 2x x + C 5 e 2x x 2 3) Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo: a) y + 2 y 8 y = 0 y = C 1 + C 2 e 2x + C 3 e 4x b) y (5) 2 y (4) + y = 0 y = C 1 + C 2 x + C 3 x 2 + C 4 e x + C 5 e x x c) y (4) + 4 y + 4 y = 0 y = C 1 + C 2 x + C 3 e 2x + C 4 e 2x x d) y (5) 6 y (4) + 12 y 8 y = 0 y = C 1 + C 2 x + C 3 e 2x + C 4 e 2 x x + C 5 e 2x x 2 e) y + 4 y + 20 y = 0 y = C 1 + C 2 e 2x sen(4x) + C 3 e 2x cos (4x) f) y + y + y + y = 0 y = C 1 e x + C 2 sen(x) + C 3 cos (x)

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