SEGUNDA CHAMADA CALCULO 2 2/2017

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1 9/11/017 SEGUNDA CHAMADA CALCULO /017 PROF: RENATO FERREIRA DE VELLOSO VIANNA Questão 1,5 pontos). Resolva os problemas de valor inicial: y + 4y + 4y = e x {, y = xyy + 4), a) = y0) = 0, b) = y0) = 5. y 0) = 1. Solução. a) Temos a equação característica r 4r +4 = r ) = 0. Portanto a solução geral da equação homogênea é: y h = c 1 e x + c xe x Usando o método dos coeficientes indeterminados, procuramos por uma solução particular da forma y p = Ax e x. Onde,. daí, y p = Ae x x x ) y p = Ae x 4x x x )) = Ae x 4x 8x + ) y p + 4y p + 4y p = Ae x 4x 8x + + 4x x ) + 4x ) = Ae x = e x, portanto, A = 1 e a solução geral é e b) Separando variáveis temos: y = c 1 e x + c xe x + x e x = e x c 1 + c x + x ) y0) = c 1 = 0 y = e x c x + x ) + c + x) y 0) = c = 1 y = e x x + x ) Integrando: dy yy + 4) = 1 y 1 ) dy y = xdx Portanto: 1 y 1 ) dy y = 1 4 lny) lny + 4)) = 1 ) y 4 ln = x y C y y + 4 = ex +4C Boa prova!!

2 PROF: RENATO FERREIRA DE VELLOSO VIANNA Como, y0) = 5, vemos que 5/9 = e 4C e de onde tiramos: y y + 4 = 5ex 9 y = 0ex 9 5e x Questão 0,5 ponto). Para as expressões a seguir, onde u, w e v são vetores em R 3, avalie se: não faz sentido, é um número ou é um vetor. Aqui a notação u w significa o produto interno e u w significa o produto vetorial). Solução. a) u v) w número b) u v não faz sentido c) u v) w número d) u v) w não faz sentido e) u v)w v) vetor Questão 3 pontos). Esboce: Solução. a) a superfície de nível 1 de px, y, z) = 3x + 4y + z 13. Descreva as seções z = k constante, y = 0 e x = 0.) Nível 1: 3x + 4y + z = 1 Seção z = k temos i) elipse 3x + 4y = 1 k para k < 1 ii) um ponto para k = 1 e k = 1 iii) nada para k > 1. Seção x = 0 temos elipse 4y + z = 1. Seção y = 0 temos elipse 3x + z = 1. Temos um elipsóide! b) o gráfico da função: zx, y) = { x y 0 x + y x + y 9. Temos que z 1 e z = 1 1 x + y 9.

3 SEGUNDA CHAMADA CALCULO /017 3 Para 0 x + y 1, temos que z 1) + x + y = 1 portanto temos uma meia esfera centrada em 0, 0, 1) com z 1. Esboço: Um chapéu sobre o disco x + y 9 de raio 3, na altura z = 1, com máximo z = sobre 0, 0). Questão 4 1,5 pontos). Em quais pontos da superfície descrita por gx, y, z) = x + y + z + 3) 16x + y ) = 0 o plano tangente é paralelo ao plano P = {x, y, z) R 3 ; 5x + 5y + 3 = 0}. Solução. Temos que ter o gradiente gx, y, z) paralelo a normal do plano P, que é 5, 5, 0). gx, y, z) = 4xx + y + z 5), 4yx + y + z 5), 4zx + y + z + 3)). Portanto, temos que resolver: i) λ4xx + y + z 5) = 5 ii) λ4yx + y + z 5) = 5 iii) 4zx + y + z + 3) = 0 iv) x + y + z + 3) 16x + y ) = 0 Como x + y + z > 0, por iii) temos que ter z = 0. Então de i) e ii) temos λ4xx + y + z 5) = 5 = λ4yx + y + z 5) Da onde tiramos que λx + y + z 5) 0 e x = y. Então em iv) temos:, x + 3) 3x = 4x 4 0x + 9 = 0 E pela fórmula quadrática: x = 0 ± Daí, x = y = ± 3 ou ±, = 0 ± 56 8 = 0 ± 16 8, e os pontos desejados são: ), 0 3, 3 ), 0 e,, 0 ) 3 ), 3, 0 = 9/ ou 1/

4 4 PROF: RENATO FERREIRA DE VELLOSO VIANNA Questão 5 1,5 ponto). Encontre e classifique mínimo/máximo local ou ponto de sela) todos os pontos críticos de gx, y) = cos x cos y. Justifique. Solução. Pontos críticos: g x x, y) = senx = 0 x = kπ, k Z e Teste da Segunda derivada: g y x, y) = seny = 0 y = lπ, l Z Dx, y) = g xx g yy g xy ) = cos x cos y Portanto Dkπ, lπ) = 1 < 0 se e só se coskπ) = coslπ) k par e l par ou k ímpar e l ímpar. E cada um destes pontos kπ, lπ) temos ponto de sela. Note gkπ, lπ) = 0 nestes casos) Se k é par e l é ímpar, então Dkπ, lπ) = 1 > 0 e g xx = cos x = 1 < 0, portanto temos máximo local de fato global) e gkπ, lπ) = =. Se k é ímpar e l é par, então Dkπ, lπ) = 1 > 0 e g xx = cos x = 1 > 0, portanto temos mínimo local de fato global) e gkπ, lπ) = 1 1 =. Questão 6 pontos). Encontre o máximo e mínimo absolutos de fx, y, z) = xyz restrito ao domínio fechado e limitado D = {x, y, z) R 3 ; hx, y, z) = x 4 + y 4 + 5z 4}. Solução. Pontos críticos: fx, y, z) = yz, xz, xy) = 0, 0, 0) nos pontos da forma x, 0, 0), 0, y, 0) e 0, 0, z). E nestes pontos f = 0 pode-se ver que não são máximos nem mínimos locais). Na fronteira de D: hx, y, z) = x 4 + y 4 + 5z = 4, e usamos multiplicadores de Lagrange. ou seja, i) yz = 4x 3 λ ii) xz = 8y 3 λ iii) xy = 10zλ iv) x 4 + y 4 + 5z = 4 f = λ h, hx, y, z) = 4 λ = 0 f = 0, 0, 0), foi considerado e temos f = 0 nestes pontos. Tomamos, λ 0 e de xi), yii) e ziii) temos: Portanto: e por iv): ou seja, xyz = 4x 4 λ = 8y 4 λ = 10z λ 5z = x 4 y 4 = x 4 4x 4 = 4

5 SEGUNDA CHAMADA CALCULO /017 5 Máximo: f 1, Mínimo: f 1 1, 4, 5 1 4, 5 x = ±1, y = ± ) = f 1, = f 1, ) = f 1, = f 1, 1 4, z = ± 5 1 4, 5 1 4, 5 1 4, 5 1 4, 5 ) = f 1, ) 4 = 5 ) = f 1, ) 4 = 5 1 4, 5 1 4, 5 ) )

6 6 PROF: RENATO FERREIRA DE VELLOSO VIANNA Curiosidade: x 4 + y 4 + 5z = 4