Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas.

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1 Capítulo 6 Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função e as suas derivadas. Definição (6.2): Seja e uma função real incógnita definida num intervalo aberto. À relação ( ) chamamos equação diferencial ordinária, que abreviamos por EDO. Definimos ordem da equação como a ordem da derivada de ordem superior que aparece na relação. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~

2 Capítulo 6 Classificação de EDO s: 1. Dizemos que uma EDO de ordem é linear se é da forma onde são funções reais de variável real e é não identicamente nula. Se é identicamente nula, dizemos que a EDO é linear homogénea. 2. Todos os restantes tipos de EDO s designamos por não-linear. Definição (6.3): Dizemos que uma EDO linear é de coeficientes constantes se é da forma onde são constantes reais. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~

3 Capítulo 6 Definição (6.4): Seja ( ) uma EDO. Fixemos uma função real definida num intervalo aberto. Dizemos que é uma solução particular da EDO com intervalo de definição se ( ). Dizemos que satisfaz as condições iniciais se. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~

4 Capítulo 6 EDO s de Primeira Ordem Definição (6.5): Consideremos a EDO. Suponhamos que queremos determinar uma solução desta EDO que satisfaz a condição inicial. A um problema deste género chamamos um problema de valor inicial. À curva induzida pela solução de um problema deste tipo denominamos curva integral de. Nota: Os conceitos de problema de valor inicial e de curva integral generalizam-se trivialmente para EDO s de ordem maior ou igual a dois. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~

5 Capítulo 6 As curvas integrais da EDO são da forma. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~

6 Capítulo 6 Seja uma solução particular de que passa pelo ponto. Então a recta tangente a é dada por Os vectores tangentes ao gráfico de no têm a direcção de ( ). Definição de campo de direcções: A uma EDO da forma vectores tangentes às curvas integrais dado por, associamos o campo de que denominamos por campo de direcções. ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 6 ~

7 Capítulo 6 Campo de direcções de Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~

8 Capítulo 6 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~

9 Capítulo 6 Campo de direcções de Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~

10 Capítulo 6 Solução geral da equação: Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~

11 Capítulo 6 Campo de direcções de Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~

12 Capítulo 6 Solução geral da equação: Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~

13 Capítulo 6 Campo de direcções de (equação do movimento de queda dos corpos) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 13 ~

14 Capítulo 6 Campo de direcções de (equação do crescimento da população) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 14 ~

15 Capítulo 6 Campo de direcções de Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 15 ~

16 Capítulo 6 Definição (6.6): Seja uma função real a uma variável real. Definimos equação autónoma de 1ª ordem a uma equação do tipo A uma função constante que seja solução particular desta equação chamamos solução de equilíbrio. Os pontos que anulam a função denominamos por pontos de equilíbrio ou pontos críticos. Nota: Uma função constante é uma solução de equilíbrio de se e só se. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 16 ~

17 Capítulo 6 Classificação de soluções de equilíbrio: Seja uma solução de equilíbrio de. 1. assimptoticamente estável: Existe tal que, para toda a solução de um problema de valor inicial da forma ] [ com intervalo de definição [ [, temos que 2. instável: Para todo o, existe uma solução de um problema de valor inicial da forma ] [ com intervalo de definição [ [, tal que 3. semi-estável: Se verifica a definição de assimptoticamente estável á esquerda ( ] [ ) e a definição de instável à direita ( ] [ ou vice-versa. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 17 ~

18 Capítulo 6 Teorema de Peano: Consideremos o problema de valor inicial { Suponhamos que é contínua num rectângulo [ ] [ ] centrado em. Então existe um real tal que [ ] [ ] e o problema de valores iniciais admite uma solução no intervalo [ ]. Consideremos o problema de valor inicial { Toda a função da forma é solução deste problema! { Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 18 ~

19 Capítulo 6 Teorema de Picard: Consideremos o problema de valor inicial { Suponhamos que e são contínuas num rectângulo [ ] [ ] centrado em. Então existe um real tal que [ ] [ ] e o problema de valores iniciais tem uma e uma só solução no intervalo [ ]. Nota: No exemplo anterior, não admite derivada em ordem a em zero. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 19 ~

20 Capítulo 6 Teorema de Existência e Unicidade para Equações Lineares de 1ª Ordem: Consideremos uma EDO linear de 1ª ordem na forma 1. Suponhamos que e são contínuas no intervalo aberto. Dados e, existe uma e uma só solução do problema valor inicial definida no intervalo. 2. Seja uma primitiva de. Então a equação acima é equivalente à equação ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 20 ~

21 Capítulo 6 Nota: 1. Os gráficos de duas soluções particulares distintas, com intervalo de definição, de uma EDO de 1ª ordem da forma nunca se intersectam; 2. Como a função nula é solução de, uma solução desta equação, com intervalo de definição, ou é nula em ou não admite zeros em. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 21 ~

22 Capítulo 6 As soluções de uma EDO podem ser obtidas em duas formas: 1. Forma explícita, ou seja, na forma ; 2. Forma Implícita, ou seja, na forma de equação a duas variáveis reais. Em casos muito particulares podemos obter várias soluções na forma explícita a partir da solução na forma implícita. O teorema da função implícita permite-nos obter informação sobre as derivadas de. Lembrete: Teorema da função implícita. Seja uma função real a duas variáveis reais de classe aberto. Seja tal que e. Então existe uma bola aberta de centro em contida em na qual define como função de de classe e Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 22 ~

23 Capítulo 6 Consideremos a EDO equação na forma. Através de manipulação algébrica podemos escrever esta Para esta última equação também usamos a notação Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 23 ~

24 Capítulo 6 Definição (6.7): A uma EDO de 1ª ordem da forma Denominamos por equação de variáveis separáveis. Teorema (6.8): Consideremos a equação de variáveis separáveis onde são funções contínuas num rectângulo [ ] [ ]. Sejam e primitivas de, respectivamente, e. A solução geral desta ODE é dada na forma implícita pela família de curvas onde é uma constante real arbitrária. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 24 ~

25 Capítulo 6 Definição (6.9): Denominamos por equação de Bernoulli a uma EDO de 1ª ordem do tipo onde são funções contínuas num intervalo e { }. Teorema (6.10): A mudança de variável definida por para função não nula, transforma uma equação de Bernoulli numa equação linear de 1ª ordem. Nota: A função nula é solução de qualquer equação de Bernoulli. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 25 ~

26 Capítulo 6 Definição(6.11): Uma EDO de 1ª ordem diz-se homogénea se é da forma ( ) onde é uma função real a uma variável real. Teorema (6.12): Toda a equação homogénea reduz-se a uma equação de variáveis separáveis através da substituição Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 26 ~

27 Capítulo 6 Definição (6.13): Consideremos a EDO de 1ª ordem tal que A uma EDO nestas condições denominamos por equação exacta. Teorema (6.14): Sejam funções de classe num rectângulo [ ] [ ]. Seja uma EDO exacta e tal que Então a EDO é exacta com solução geral na forma implícita dada pela família de curvas Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 27 ~

28 Capítulo 6 Definição (6.15): Seja,. Dizemos que é um factor integrante para a EDO de 1ª ordem se a equação é exacta. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 28 ~

29 Capítulo 6 Teorema (6.16): Consideremos uma EDO linear de 1ª ordem na forma Suponhamos que depende só da variável. Então a EDO admite factores integrantes que dependem só de e são solução particular da EDO linear homogénea de 1ª ordem Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 29 ~

30 Capítulo 6 Teorema (6.17): Consideremos uma EDO linear de 1ª ordem na forma Suponhamos que depende só da variável. Então a EDO admite factores integrantes que dependem só de e são solução particular da EDO linear homogénea de 1ª ordem Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 30 ~

31 Capítulo 7 Teorema de Existência e Unicidade para Equações Lineares de 2ª Ordem: Consideremos o problema de valor inicial ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Suponhamos que ( ) ( ) ( ) são funções contínuas num intervalo aberto ao qual pertence. Então existe uma e uma só solução com intervalo de definição para o problema de valor inicial indicado. Nota: Os gráficos de duas soluções particulares distintas, com intervalo de definição, de uma EDO de 2ª ordem da forma ( ) ( ) ( ) podem intersectar-se em, mas têm rectas tangentes distintas no ponto de intersecção, ou seja, não podem ser tangentes. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~

32 Capítulo 7 Teorema (7.1): Se ( ) e ( ) são soluções particulares com intervalo de definição da EDO linear homogénea de 2ª ordem ( ) ( ) onde ( ) ( ) ( ) são funções contínuas em. Então, para quaisquer constante reais e, ( ) ( ) é solução particular da EDO linear de 2ª ordem. Ou seja, as soluções particulares de ( ) ( ) com intervalo de definição formam um espaço vectorial real. Nota: Estamos a considerar como operações definidas no espaço vectorial a soma usual de funções e a multiplicação usual de uma função por uma constante. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~

33 Capítulo 7 Definição (7.2): Sejam funções reais definidas num intervalo aberto. Dizemos que estas funções são linearmente dependentes em se existem constantes reais, onde pelo menos uma destas constante é não nula, tais que ( ) ( ) Dizemos que as funções são linearmente independentes em se a condição ( ) ( ) Implica que. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~

34 Capítulo 7 Definição (7.3): Sejam funções reais de classe ( ) num intervalo aberto. Definimos Wronskiano destas funções, e representamos por ( )( ), como o determinante ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Teorema (7.4): Sejam funções reais de classe ( ) num intervalo aberto. Se existe tal que ( )( ), então são linearmente independentes em. Nota: Do teorema 7.4 concluímos que se ( )( ), para todo o. são linearmente dependentes em então Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~

35 Capítulo 7 Nota: O recíproco do teorema (7.4) não é verdadeiro. Considere as funções de classe, ] [ definidas por ( ) { ( ) Estas duas funções são linearmente independentes, no entanto, para todo o ] [, ( )( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~

36 Capítulo 7 Teorema de Abel: Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da EDO linear homogénea de 2ª ordem ( ) ( ) Suponhamos que ( ) ( ) são contínuas em. Nestas condições, o Wronskiano ( )( ) é dado por ( )( ) ( ) onde ( ) é uma primitiva de ( ) e é uma constante real que depende de e. Além disso, ou ( )( ) é constantemente igual a zero ( ) em ou nunca se anula em ( ). Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 6 ~

37 Capítulo 7 Teorema (7.5): Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da EDO linear homogénea de 2ª ordem ( ) ( ) onde ( ) ( ) são contínuas em. Suponhamos que existe tal que ( )( ) Então toda a solução particular definida em é da forma ( ) ( ) onde são constantes reais. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~

38 Capítulo 7 Teorema (7.6): Seja inicial ( ) uma solução com intervalo de definição do problema de valor ( ) ( ) ( ) ( ) onde ( ) ( ) são contínuas em. Suponhamos que ( ) é uma solução com intervalo de definição do problema de valor inicial ( ) ( ) ( ) ( ) Então as funções ( ) e ( ) são uma base do espaço vectorial das soluções particulares com intervalo de definição de ( ) ( ). Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~

39 Capítulo 7 Corolário (7.7): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem ( ) ( ) onde ( ) ( ) são contínuas em. O conjunto das soluções particulares com intervalo de definição desta equação é um espaço vectorial de dimensão 2. Definição(7.8): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem ( ) ( ) onde ( ) ( ) são contínuas em. A uma base do conjunto das soluções particulares com intervalo de definição desta equação chamamos sistema fundamental de soluções. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~

40 Capítulo 7 Nota: Para que duas soluções particulares com intervalo de definição homogénea de 2ª ordem da EDO linear ( ) ( ) onde ( ) ( ) são contínuas em, formem um sistema fundamental é necessário e suficiente que estas sejam linearmente independentes em. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~

41 Capítulo 7 Método de d Alembert: Seja ( ) uma solução particular da EDO linear homogénea de 2ª ordem A substituição ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) reduz a EDO linear homogénea de 2ª ordem a uma EDO linear homogénea de 2ª ordem da seguinte forma Agora efectuamos a mudança de variável e obtemos a EDO de 1ª ordem homogénea ( ) ( ) ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~

42 Capítulo 7 Definição (7.9): Dada a EDO linear homogénea de 2ª ordem de coeficientes constantes Definimos polinómio característico desta equação como o polinómio Nota: O polinómio característico indicado na definição anterior admite 1. ou duas raízes reais distintas com multiplicidade um cada; 2. ou uma raiz real de multiplicidade dois; 3. ou duas raízes complexas que são conjugadas entre. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~

43 Capítulo 7 Teorema (7.10): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem de coeficientes constantes Sejam e as raízes do polinómio característico da EDO indicada. 1. Se e, então ( ) é um sistema fundamental de soluções da EDO indicada, tendo esta solução geral 2. Se e, então ( ) é um sistema fundamental de soluções da EDO indicada, tendo esta solução geral 3. Se ( ), então e ( ( ) ( )) é um sistema fundamental de soluções da EDO indicada, tendo esta solução geral ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 13 ~

44 Capítulo 7 Teorema (7.11): Consideremos a EDO linear de 2ª ordem ( ) ( ) ( ) Seja ( ) uma solução particular com intervalo de definição desta. Seja ( ( ) sistema fundamental com intervalo de definição da equação homogénea associada ( )) um ( ) ( ) Então a solução geral da EDO linear de 2ª ordem é dada por ( ) ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 14 ~

45 Capítulo 7 Método da variação das constantes para EDO s lineares não homogéneas de 1ª ordem: Consideremos a EDO ( ) ( ) A equação homogénea associada, ( ), tem por solução geral ( ) onde ( ) é uma primitiva de ( ). Consideremos que ( ) ( ) é solução da EDO não homogénea. Substituindo esta função na EDO não linear obtemos a condição ( ) ( ) ( ) Como tal, a solução geral da EDO não linear é ( ) ( ) ( ) onde ( ) é uma primitiva de ( ) ( ). Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 15 ~

46 Capítulo 7 Teorema (7.12): Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da EDO linear homogénea de 2ª ordem ( ) ( ) onde ( ) ( ) são contínuas em. As funções ( ) e ( ) são linearmente dependentes em se e só se, para todo o, ( )( ) Nota: 1. O teorema (7.12) complementa o teorema (7.4) única e exclusivamente no caso de soluções particulares de EDO s lineares homogéneas. 2. Aplicando o teorema (7.12) ao Teorema de Abel concluímos que As funções ( ) e ( ) são linearmente dependentes em se e só se. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 16 ~

47 Capítulo 7 Método da variação das constantes para EDO s lineares não homogéneas de 2ª ordem: Consideremos a EDO ( ) ( ) ( ) Seja ( ( ) ( )) um sistema fundamental da equação homogénea associada ( ) ( ) Queremos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) seja solução da EDO não homogénea. Derivamos ( ) e impomos a condição ( ) ( ) ( ) ( ). Substituindo ( ) na EDO não linear obtemos a condição ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). As funções ( ) e ( ) são as funções incógnitas do sistema { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Como o determinante da matriz associada a este sistema é ( )( ), o facto de ( ( ) ( )) ser um sistema fundamental de soluções da equação homogénea associada garante-nos, pela teorema (7.12), que podemos então resolver este sistema, por exemplo, recorrendo à regra de Cramer. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 17 ~

48 Capítulo 8 Definição (8.1): Seja uma função real definida no intervalo [ [. Definimos Transformada de Laplace desta função, e representamos por { } ou por, à função caso esta exista. { } Teorema (8.2): Seja uma função real definida no intervalo [ [ tal que: 1. Para todo o, a função é seccionalmente contínua no intervalo [ ]; 2. A função é uma função de ordem exponencial, ou seja, Então transformada de Laplace de está definida para. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~

49 Capítulo 8 Propriedades (8.3): Sejam e funções reais definidas no intervalo [ [. Suponhamos que { } existe para e que { } existe para. 1. Linearidade: Para quaisquer constantes reais, temos { } existe para { } e { } { } { } 2. Transformada da derivada: Se verifica as condições do teorema (8.2) e se é de classe por secções em qualquer intervalo do tipo [ ],, então { } existe para e { } { } 3. Derivada da Transformada: Para, { } { } 4. Deslocamento em : Para, { } { } Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~

50 Capítulo 8 Nota: Por indução obtemos 1. da alínea 2 do teorema (8.3), { } { } 2. da alínea 3 do teorema (8.3), { } { } Definição (8.4): Seja ] [ tal que existe [ [ com { } Denominamos por transformada de Laplace inversa de e representamos por { } Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~

51 Capítulo 8 Nota: Devido à linearidade da transformada de Laplace, resulta a linearidade da transformada de Laplace inversa, ou seja, se são funções reais definidas no intervalo ] [ que admitem transformada de Laplace inversa e constantes reais, temos que { } { } { } Teorema (8.5): Sejam e funções reais definidas no intervalo [ [ e nas condições do teorema (8.2). Se existe tal que para, { } { } então para todo o ponto onde são contínuas. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~

52 Capítulo 8 Definição (8.6): Seja. Definimos função degrau unitário ou função Heaviside como [ [ { O gráfico desta função é: Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~

53 Capítulo 8 Dada uma função [ [, a esta podemos associar a função que representa uma translação da função original. Em termos da representação gráfica destas: Gráfico de Gráfico de Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 6 ~

54 Capítulo 8 Teorema (8.7): Seja e [ [. Suponhamos que { } está definida para. Então { } { } Nota: Do teorema (8.7) resulta a propriedade de deslocamento em, { } { } Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~

55 Capítulo 8 Seja. Consideremos uma função força da forma [ ] { O impulso total desta força é [ ] Consideremos e a sucessão de funções [ ] Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~

56 Capítulo 8 Representação gráfica da sucessão de funções Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~

57 Capítulo 8 Definição (8.9): Seja. Definimos Delta de Dirac, e representamos por, como Nota: O Delta de Dirac não é uma função no sentido usual pois e Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~

58 Capítulo 8 Propriedades do Delta de Dirac: 1. Se é uma função real a uma variável real contínua numa vizinhança de, 2. { } Definição (8.10): Sejam [ [ funções seccionalmente contínuas. Definimos produto de convolução entre e, e representamos por, como Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~

59 Capítulo 8 Propriedades algébricas do produto de convolução: Sejam [ [ funções seccionalmente contínuas e ; 5. Nota: Em geral não é verdade a igualdade. Por exemplo, se, Teorema (8.11): Sejam [ [ funções seccionalmente contínuas para as quais existe transformada de Laplace em [ [. Então { } { } { } Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~

60 f (t) = L 1 {F(s)} s, s > 0 2. e at 1 s a, s > a 3. t n ; n = positive integer 4. t p, p > 1 5. sin at 6. cos at 7. sinh at 8. cosh at 9. e at sin bt 10. e at cos bt 11. t n e at, n = positive integer n! s n+1, s > 0 F(s) = L{ f (t)} Ɣ(p + 1) s p+1, s > 0 a s 2 + a 2, s > 0 s s 2 + a 2, s > 0 a s 2 a 2, s s 2 a 2, s > a s > a b (s a) 2 + b 2, s > a s a (s a) 2 + b 2, s > a n! (s a) n+1, s > a 12. u c (t) e cs s, s > u c (t) f (t c) e cs F(s) 14. e ct f (t) F(s c) 15. f (ct) 16. t 0 f (t τ)g(τ) dτ 17. δ(t c) e cs 1 ( s ) c F, c > 0 c F(s)G(s) 18. f (n) (t) s n F(s) s n 1 f (0) f (n 1) (0) 19. ( t) n f (t) F (n) (s)

61 Capítulo 9 Definição (9.1): Seja uma função real e um real positivo. Dizemos que é uma função periódica de período se 1. Para todo o, ; 2. Para todo o, ( ) ( ). Caso exista, ao menor período de uma função denominamos por período fundamental. Propriedades de funções periódicas: Sejam funções periódicas de período. Seja. 1. ( ) é um período de, para todo o ; 2. são funções periódicas de período ; 3. Se é integrável em [ ], então para todo o, ( ) ( ) 4. Dado, as funções. / e. / têm período fundamental. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~

62 Capítulo 9 Algumas igualdades trigonométricas: Sejam. 1. (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. ( ) ( ) (( ) ) (( ) ) 4. ( ) ( ) (( ) ) (( ) ) 5. ( ) ( ) (( ) ) (( ) ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~

63 Capítulo 9 Definição (9.2): Sejam, - duas funções contínuas. Definimos produto interno entre e, e representamos por como ( ) ( ) Dizemos que e são ortogonais em, - se. Sejam. As funções. / e. / verificam as seguintes relações de ortogonalidade:. /. / 2. /. /. /. / 2 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~

64 Capítulo 9 Definição (9.3): Definimos como série de Fourier toda a série da forma.. /. // onde ( ) e ( ) são sucessões reais. Definição (9.4): Seja uma função periódica de período. Suponhamos que existem as sucessões reais ( ). / ( ). / Á série de Fourier de coeficientes,,, chamamos série de Fourier da função. Aos coeficientes,,, chamamos coeficientes da série de Fourier da função. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~

65 Capítulo 9 Teorema (9.5): Seja periódica de período e seccionalmente contínua. Dado, seja ( ) ( ) ( ) ( ) Seja a série de Fourier de. Então ( ) é uma série numérica convergente para ( ) ( ) Nota: Resulta imediatamente do teorema 9.5 que nos pontos onde é contínua, e a sua série de Fourier tomam o mesmo valor. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~

66 Capítulo 9 Consideremos a função periódica de período definida por ( ) 2 Representação gráfica de. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 6 ~

67 Capítulo 9 Representação gráfica da série de Fourier de. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~

68 Capítulo 9 Desenvolvimento de uma função em série de Senos: Seja uma função real definida no intervalo, -. Consideremos a função, um prolongamento de, construído da seguinte forma: 1. ( ) ( ), -; 2. é ímpar em, - ou seja ( ) ( ), - Seja 3. é periódica de período... /. // o desenvolvimento em série de Fourier de. Temos que: 1. Como ( ). / é impar no intervalo, -, ( ). / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~

69 Capítulo 9 2. Como ( ). / é par no intervalo, -, ( ). / ( ). / ( ). / 3. Como ( ) é impar no intervalo, -, ( ) Obtemos assim o desenvolvimento de em série de Senos dado por. / onde ( ). / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~

70 Capítulo 9 Desenvolvimento de uma função em série de Co-senos: Seja uma função real definida no intervalo, -. Consideremos a função, um prolongamento de, construído da seguinte forma: 1. ( ) ( ), -; 2. é par em, - ou seja 3. é periódica de período. ( ) ( ), - Seja.. /. // o desenvolvimento em série de Fourier de. Temos que: 1. Como ( ). / é par no intervalo, -, ( ). / ( ). / ( ). / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~

71 Capítulo 9 2. Como ( ). / é impar no intervalo, -, 3. Como ( ) é par no intervalo, -, ( ). / ( ) ( ) ( ) Obtemos assim o desenvolvimento de em série de Co-senos dado por. / onde ( ). / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~

72 Capítulo 9 Consideremos o seguinte problema: Determine as soluções particulares de ( ) ( ) com intervalo de definição, -,, tais que ( ) ( ) e ( ) ( ), onde são constantes reais. Um problema deste tipo é classificado como um problema de fronteira. Às condições ( ) ( ) e ( ) ( ) chamamos de condições de fronteira. Problema (9.6): Determinar os valores de para os quais o problema de fronteira ( ) ( ) Admite soluções não triviais, isto é, não nulas. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~

73 Capítulo 9 Resolução do problema (9.6): A EDO homogénea de coeficientes constantes tem como polinómio característico associado. i). Os zeros deste polinómio dependem do parâmetro Neste caso é a única raiz do polinómio característico, tendo esta multiplicidade 2. Como tal, a solução geral da EDO é dada por ( ) Aplicando as condições de fronteira ( ) ( ) à solução geral obtemos. Como, neste caso só existe a solução trivial. ii) Existe tal que. Os zeros do polinómio característico são obtidos da equação. Como tal ou. A solução geral da EDO é ( ) Aplicando as condições de fronteira ( ) ( ) à solução geral obtemos o sistema Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 13 ~

74 Capítulo 9 2 Como, o determinante deste sistema homogéneo é não nulo, donde este sistema é possível e determinado com solução. iii) Existe tal que. Os zeros do polinómio característico são obtidos da equação. Como tal ou. A solução geral da EDO é ( ) ( ) ( ) Aplicando as condições de fronteira ( ) ( ) à solução geral obtemos o sistema { ( ) ( ) Como queremos soluções não nulas, resulta que ( ) ou seja. Sendo, concluímos que o problema tem solução se e só se ( ). / * + Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 14 ~

75 Capítulo 9 Definição (9.7): Definimos equação de derivadas parciais, que abreviamos por EDP, como uma equação que envolve uma função de várias variáveis, denominada por função incógnita, e suas derivadas parciais. Definimos ordem de uma EDP como a ordem da derivada parcial de ordem superior que consta da equação. Definição (9.8): Dizemos que uma EDP de função incógnita ( ) é linear se é da forma ( ) ( ) onde ( ) é uma combinação linear de derivadas parciais de sendo os coeficientes desta combinação linear funções das variáveis. Por exemplo, se depende das variáveis e, uma EDP linear de ordem dois é da forma onde são funções das variáveis e. Se R for a função a função nula dizemos que a EDP linear é homogénea. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 15 ~

76 Capítulo 9 Teorema (9.9): Seja ( ) uma EDP linear homogénea. Se são soluções desta EDP, então uma combinação linear destas funções também é solução da EDP. Algumas EDP s lineares homogéneas clássicas: 1. Equação da transferência de calor: 2. Equação de onda a uma dimensão: 3. Equação de onda a duas dimensões: 4. Equação de Laplace: ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 16 ~

77 Capítulo 9 Para alguns tipos de EDP s obtêm-se soluções revertendo as derivações efectuadas. Tal método é denominado por método de integração. Seja função das variáveis. As EDP s da forma onde é uma constante, é resolúvel pelo método de integração. Um outro exemplo de EDP solúvel pelo método de integração é obtendo-se ( ) ( ) ( ) onde são funções arbitrárias. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 17 ~

78 Capítulo 9 Problema (9.10): O objectivo é estudar a transferência de calor ao longo de uma barra cilíndrica. Vamos supor que a temperatura é apenas função de e, ou seja, que a temperatura em qualquer secção vertical da barra num dado tempo é constante. Vamos assumir também que a temperatura nas extremidades da barra é zero. Seja ( ) a distribuição do calor ao longo da barra no instante zero. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 18 ~

79 Capítulo 9 O problema é dado pela EDP sujeita às condições de fronteira ( ) ( ) e às condições iniciais ( ) ( ) Vamos resolver este problema recorrendo ao método da separação de variáveis. Para tal vamos considerar ( ) ( ) ( ) Queremos determinar soluções não nulas do problema. Substituindo ( ) no equação, Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 19 ~

80 Capítulo 9 O lado esquerdo da igualdade depende só da variável e o lado direito da igualdade depende só da variável, pelo que existe tal que Obtemos assim as EDO s lineares homogéneas 2 Das condições de fronteira ( ) ( ) e tendo em conta que queremos soluções não nulas do problema, obtemos ( ) ( ). Pela resolução do problema (9.6), tem soluções não nulas se e só se ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 20 ~

81 Capítulo 9 sendo estas ( ). / Substituindo em obtemos a EDO linear homogénea de 1ª ordem. / cuja a solução geral da EDO é, para cada, ( ). / Obtemos assim uma sucessão de soluções da equação da transferência de calor ( ). /. / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 21 ~

82 Capítulo 9 Pelo teorema (9.9), sendo que se as funções ( ) verificam as condições de fronteira lineares homogéneas, a combinação linear destas também verifica as condições de fronteira lineares homogéneas. Obtemos que a sucessão de funções ( ) são soluções da equação de transferência de calor que verificam as condições de fronteira lineares homogéneas. O teorema (9.9) é generalizável para o limite de sucessões de somas parciais construídas à custa de combinações lineares, pelo que a função ( ) ( ). /. / é solução da equação da transferência de calor que verifica as condições de fronteira. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 22 ~

83 Capítulo 9 Seja. / o desenvolvimento em série de senos de ( ) no intervalo, ( ) ( ) obtemos -. Da condição inicial ( ). / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 23 ~

84 Capítulo 9 Problema (9.11): No problema da transferência de calor vamos supor que a temperatura nas extremidades na barra é constante mas não nula. Neste caso o problema é dado pela EDP Sujeita às condições de fronteira não-homogéneas e às condições iniciais ( ) ( ) ( ) ( ) Para aplicar o método da separação de variáveis vamos transformar as condições de fronteira não-homogéneas em homogéneas. Para tal consideremos a aplicação linear ( )em que transforma os pontos e em, respectivamente, e definida por Consideremos a mudança de variáveis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 24 ~

85 Capítulo 9 O problema da equação da transferência de calor transforma-se em Sujeita às condições de fronteira homogéneas ( ) ( ) e às condições iniciais ( ) ( ) ( ) cuja solução, segundo a resolução do problema (9.10), é ( ). /. / ( ( ) ( )). / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 25 ~

86 Capítulo 9 Desfazendo a mudança de variável obtemos ( ) ( ). /. / Interpretação física da mudança de variável: Quando tende para infinito, ou seja, passado muito tempo, a distribuição da temperatura ao longo da barra estabiliza. Seja ( ) a função que nos dá essa distribuição. Então ( ) verifica a EDP e as suas condições de fronteira, pelo que A solução deste problema de fronteira é ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 26 ~

87 Capítulo 9 Problema (9.12): Consideremos um elástico de extremidades fixas entre dois suportes. Aplicamos uma força a este para o colocar em movimento. Em repouso o elástico situa-se sobre o eixo. Seja ( ) o deslocamento vertical do elástico no ponto e tempo. Vamos assumir que a amplitude do movimento não é muito grande e que podemos ignorar efeitos que amorteçam o movimento. Seja ( ) e ( ), respectivamente a posição e a aceleração do elástico no instante zero. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 27 ~

88 Capítulo 9 O problema é dado pela EDP sujeita às condições de fronteira ( ) ( ) e às condições iniciais ( ) ( ) ( ) ( ) Vamos resolver este problema de forma análoga ao problema (9.10). Fazendo ( ) ( ) ( ) obtemos que existe tal que e que ( ) ( ). Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 28 ~

89 Capítulo 9 Como procuramos soluções não nulas do problema ( ) ( ), ( ). / Substituindo os valores de obtidos na equação e resolvendo esta, vem ( ). /. / A função ( ) ( ) ( ). / 0. /. /1 é uma solução da EDP que verifica as condições de fronteira. Do desenvolvimento em série de senos de ( ) no intervalo, - e da igualdade ( ) ( ), obtemos ( ). / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 29 ~

90 Capítulo 9 Da igualdade ( ) ( ) vem que ( ). / Comparando com o desenvolvimento série de senos de ( ) no intervalo, que - concluímos ( ). / ( ). / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 30 ~

91 Capítulo 9 Problema (9.13): Nesta secção vamos estudar a equação de Laplace a duas dimensões Várias funções potencial verificam esta equação, daí também ser denominada por equação potencial. Vamo-nos restringir ao estudo desta equação dadas condições ao longo da fronteira de um rectângulo. Consideremos a equação de Laplace sujeita às condições de fronteira ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 31 ~

92 Capítulo 9 Mais uma vez, vamos resolver este problema de forma análoga ao problema (9.10). Seja ( ) ( ) ( ) Substituindo na EDP e nas condições lineares homogéneas ( ) ( ), obtemos { ( ) ( ) Como procuramos soluções não nulas da EDP, ( ). / Substituindo os valores de obtidos na equação e resolvendo esta, vem ( ) Da condição de fronteira ( ) resulta que ( ), donde e ( ). / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 32 ~

93 Capítulo 9 A função ( ) ( ) ( ). /. / é solução da equação de onda que verifica as condições de fronteira lineares homogéneas ( ) ( ) e ( ) Do desenvolvimento em série de senos de ( ) no intervalo, - e da igualdade ( ) ( ), obtemos ou seja,. / ( ). /. / ( ). / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 33 ~

94 Capítulo 9 Nota: De forma análoga resolvemos uma equação de Laplace com condições de fronteira ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) em que apenas uma e uma só das funções ( ) ( ) ( ) ( ) é a função não identicamente nula. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 34 ~

95 Capítulo 9 Nota: Consideremos a equação de Laplace sujeita às condições de fronteira ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Seja ( ), * + a solução da equação de Laplace em que consideramos as funções ( ) ( ) ( ) ( ) constantemente iguais a zero com excepção de. Então a função ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) é solução do problema inicial. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 35 ~