Processamento de Sinal e Imagem Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Transcrição

1 António M. Gonçalves Pinheiro Departamento de Física Covilhã - Portugal pinheiro@ubi.pt

2 Processos Estocásticos - Sinais que variam aleatoriamente no tempo. são regidos por processos estocásticos Ruído Aleatório Gaussiano tempo (segundos) Pressão Arterial

3 Sinais Contínuos e Discretos 2 1 tempo (segundos) Sinal contínuo - x(t) Sinal discreto - x[n]

4 Média temporal e média conjunta Sinal Contínuo Sinal Discreto Sinal aleatório com potência média finita Média Temporal Componente contínua do sinal x(t) x(t) x[n] x[n] Média Quadrátrica Temporal Potência média do sinal x 2 (t) x 2 [n] Média Conjunta E [x(t)] E [x[n]] Média Quadrática Conjunta E [ x 2 (t) ] E [ x 2 [n] ]

5 Calculo de médias conjuntas x (t) t t + τ t x (t) 1 t t + τ t x (t) 2 t t + τ t x (t) 3 t t + τ t

6 Processos estacionário Definição: Num processo estacionário as médias conjuntas são independentes do tempo de observação. E {x m [n]} = E {x m [n + k]} Processos ergódicos Definição: Um processo estocástico é um processo ergódico se as médias conjuntas são médias temporais. x m [n] = E m {x[n]} Nota 1: Os processos ergódicos são estacionários Nota 2: E {g(x)} = + g(x)p(x)dx E {g[n]} = + n= g[n]p[n]

7 Exemplos de

8 Exemplos de

9 Exemplos de (a) (d) (b) (e) (c) (f)

10 Propriedades do processo ergódicos A média x = x[n] = E {x[n]} é a componente contínua (DC) do sinal x[n]. O quadrado da média, x 2, é a potência DC. A média quadrada, x 2 = x 2 [n] = E { x 2 [n] }, é a potência média do sinal. A variância σ 2 x = x 2 x 2 é a potência relativa à parte do sinal que varia no tempo, ou seja, sem componente DC. O desvio padrão σ x é o valor eficaz do sinal.

11 Funções de Correlação Sinais Discretos Sinais Contínuos Correlação cruzada R xy [k] = E {x[n]y [n k]} R xy (τ) = E {x(t)y (t τ)} Auto-correlação R x [k] = E {x[n]x [n k]} R x (τ) = E {x(t)x (t τ)}

12 Propriedades da Auto-correlação: R x [ k] = R x [k] - Função Par R x [] = x 2 = σ 2 x + x 2 R x [k] De 1 e 2 pode-se concluir que R x [k] é uma função par com um máximo em k = Em processos não periódicos lim R x[ k ] = x 2 k + No caso de processos periódicos, a autocorrelação é também periódica, com o mesmo período que o processo. Nota: Provar que E{x[k k 1 ]x[k k 2 ]} = R x [k1 k2] se x[k] for um processo ergódico e real.

13 Processo Estacionário em Sentido Restrito - WSS WSS - Wilde Sense Stationarity Condições de Estacionaridade 1. A média do processo é constante: x[n] = x. 2. A autocorrelação do processo R x [k] só depende do valor de k. 3. A variância do processo é finita: σ 2 x = x 2 [n] x 2 <

14 Densidade Espectral de Potência - P x Teorema de Wiener-Kinchine Sinal contínuo - x(t) R x (τ) TF P x (jω) = + E [x[(t)x (t τ)] e jωτ dτ Sinal discreto - x[n] R x [k] TF P x ( e jω ) = + k= E [x[n]x [n k]] e jωk

15 Densidade Espectral de Potência - P x Relação entre a entrada e a saída num SLIT Sistema contínuo - h(t) R y (τ) TF P x (jω) = H(jω) 2 P x (jω) Sistema discreto - h[n] R y [k] TF ( P ) y e jω = H ( e jω) 2 ( P ) x e jω

16 Propriedades da Densidade Espectral de Potência de um Processo Estacionário Sinais Discretos ( 1. Simetria: P ) ( x e jω = P ) x e jω ( Se x[n] é real, então P ) ( x e jω = P ) x e jω (função par) Sinais Contínuos 1. Simetria: P x (jω) = P x (jω) Se x(t) é real, então P x (jω) = P x ( jω) (função par) 2. Positividade: P x ( e jω ) 2. Positividade: P x (jω) 3. Potência total: x 2 = R x [] = 1 2π π π P x ( e jω ) dω 3. Potência total: x 2 = R x () = 1 2π P x (jω) dω

17 Exemplo 1 x(t) = A cos(ω t + θ) com A e ω constantes e θ varia aleatoriamente de forma uniformemente distribuida (entre π < θ π). Resolução: R x (τ) = E {x(t)x (t τ)} = A2 2 E {cos(ω τ)} + A2 2 E {cos(2ω t ω τ + 2θ)} E {cos(2ω t ω τ + 2θ)} = Solução: + R x (τ) = A2 2 cos(ω τ) cos(2ω t ω τ+2θ)p(θ)dθ = 1 2π +π π TF P x (jω) = A2 4 (δ(ω ω ) δ(ω + ω )) cos(2ω t ω τ+2θ)dθ =

18 Exemplo 2 Onda binária aleatória: A -A x(t) T T d T T T Em (n 1)T < t T d < nt x(t) assume valor +A ou A de forma equiprovável. O tempo de atraso T d é uma variável aleatória uniformemente distribuida no intervalo [, T ]. Resolução: R x (τ) = E {x(t)x (t τ)} Se τ > T estamos perante duas amostras diferentes e independentes da onda binária. Como os símbolos são equiprováveis E {x(t)x (t τ)} = E {x(t)} E {x (t τ)} = x(t) e x(t τ) só estão no mesmo intervalo se: t + (T d T ) < t τ T d < T τ. Nesse caso T τ ( E {x(t)x (t τ)} = A 2 1 T dt d = A 2 1 τ ) T t

19 Exemplo 2 (continuação) Solução: R x (τ) = A 2 Λ(τ/T ) = A 2 ( 1 τ T ) [u(t + τ) u(t τ)] ( ) TF ωt P x (jω) = A 2 T sinc 2 2π A 2 R (τ) x P A 2 x(ω) T -2T -T T 2T τ -3/T -2/T -1/T 1/T 2/T 3/T ω

20 Ruído Térmico Ruído térmico que surge devido ao movimento de electrões e portanto surge inevitavelmente associado à corrente eléctrica em materiais condutores. O ruído térmico é uma variável aleatória x(t) com distribuição gaussiana, em que: x = x2 = σ 2 x = 2(πKT )2 RV 2, em que 3h T - Temperatura K - constante de Boltzman h - constante de Plank P x (jω) = Rh ω π ( e hω/(2πkj) 1 ) [V 2 /Hz]

21 Ruído Branco Caracterizado por: variável aleatória gaussiana. P (jω) = η/2 - densidade espectral de potência constante ao lonngo de grande faixas de frequências. R(τ) = T F 1 {P (jω)} = (η/2)δ(τ) Propriedade: R(τ ) =, logo 2 amostras diferentes de um sinal de ruído branco gaussiano, são sempre: não correlacionadas = logo são estatisticamente independentes

22 Filtragem de Ruído Branco Considerando: h(t) - filtro passa baixo ideal com largura de banda B x(t) - ruído branco P y (jω) = η 2 Π ( ω ) TF R y (τ) = ηbsinc(2bτ) 2B η/2 P (ω) y 1 R (τ) y -2B -B B 2B ω -1/B -1/2B 1/2B 1/B τ

23 Propriedade Se a entrada de um sistema linear e invariante no tempo for um sinal aleatório gaussiano, então a saída será um sinal aleatório gaussiano. podem mudar as médias estatísticas, mas não muda o modelo de probabilidade. ruído branco filtrado origina sinal aleatório gaussiano, que não é ruído branco. Relação Sinal Ruído - SNR Considerando um sinal d[n] corrompido com ruído branco gaussiano v[n], em que resulta x[n] = d[n] + v[n], define-se: SNR = R d[] σ 2 v SNR - medida da potência do ruído relativamente à potência do sinal.