Estimação da Resposta em Frequência

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1 27 Estimação da Resposta em Frequência ω = ω ω Objectivo: Calcular a magnitude e fase da função de transferência do sistema, para um conjunto grande de frequências. A representação gráfica deste conjunto de dados (diagrama de bode) permitirá ter uma primeira ideia de algumas características do sistema, tais como ganho estático, largura de banda, polos na origem, etc.

2 Métodos 28 1 Uma Frequência de Cada Vez : Aplicar uma sinusoide à entrada. Medir o ganho e a desfasagem da saída. Repetir para múltiplas frequências de entrada, de modo a cobrir a gama de frequências pretendida. 2 Função de Transferência Empírica : Aplicar um sinal arbitrário à entrada e observar a resposta. Calcular a transformada discreta de Fourier das sequências de entrada e saída. Estimar a resposta em frequência do sistema por divisão das transformadas. 3 Análise Espectral : Aplicar um sinal gerado por um processo estacionário de média nula e observar a saída. Aplicar as relações entre espectros de processos estacionários. Este método considera explicitamente a existência de perturbações e estima o espectro da perturbação na experiência efectuada.

3 Análise Espectral 29 Recorde-se a função de covariância de y(t): τ = + + = = ( ) ( τ + ) e a função de covariância cruzada entre y(t) e u(t): τ = + = ( ) ( τ ) Define-se o espectro de y(t) Φ ω e o espectro cruzado Φ ω como as sua transformadas de Fourier: Φ ωτ ω = τ e Φ ω = τ = τ = τ ωτ

4 30 Relações entre os espectros Independentes ν(t) u(t) G(q) + + y(t) ( ω ) ( ) ν ( ) Φ ω = Φ ω + Φ ω ( ) ( ω ω ) ( ω ) Φ = Φ

5 31 Estimando os vários espectros podem obter-se a função de resposta em frequência e o espectro da perturbação. 1 - Formar estimativas das funções de covariância ( τ ), ( τ ) e ( ) τ : ( τ ) = ( + τ ) ( ) τ = e analogamente para as outras. 2 - Calcular os espectros correspondentes através de Janela de largura M ( ω) = ( τ ) ( τ ) Φ τ = e analogamente para os outros espectros. ωτ

6 32 Finalmente, pode-se obter a resposta em frequência do sistema através de: ω ( ) = Φ Φ ( ω) ( ω) e o espectro da perturbação por: ( ) Φ ( ) Φ ν ω = ω Φ Φ ( ω) ( ω)

7 33 Análise espectral com o MATLAB e o Sist. Ident. Toolbox Seja z=[y u] uma matriz de dados. As matrizes G e PHIV contendo a função de resposta em frequência estimada,, e o espectro da perturbação estimado, Φ ν, podem-se obter através de: [G PHIV] =spa(z) A visualização em escala logarítmica pode ser feita com bodeplot(g) bodeplot(phiv)

8 34 Omitindo o argumento PHIV, obtém-se apenas a estimativa da função G: G=spa(z) Se z=y (série temporal), spa retorna a estimativa do espectro desse sinal: PHIY=spa(y) ffplot(phiy) Estas estimativas admitem um intervalo de amostragem de 1 segundo. Para ajustar o intervalo de amostragem, usar a função sett. Por exemplo Gnov=sett(G,0.5); declara o intervalo de amostragem como sendo 0.5 segundo.

9 Função de transferência empírica 35 Pode estimar-se uma função de transferência empírica como a razão das transformadas de Fourier da entrada e da saída. Isto pode ser feito através da função etfe. G=etfe(z); AMPLITUDE PLOT, input # 1 output # 1 Esta estimativa apresenta grandes variações de frequência para frequência mas pode ser útil para sistemas com picos de ressonância apertados frequency (rad/sec) PHASE PLOT, input # 1 output # phase frequency (rad/sec)

10 36 Exemplo Estimação das curvas de resposta em frequência de 1/(s 2 +s+1) com intervalo de amostragem de 0.5 s. O sinal de entrada é ruído branco de variância unitária. y u1 4 2 Amplitude (db) Diagrama de bode verdadeiro rad/s Fase (deg) rad/s

11 37 Estimação com etfe (F.T. empírica) Estimação com spa (Análise espectral) Amplitude (db) Amplitude (db) rad/s rad/s Fase (deg) rad/s Fase (deg) rad/s

12 38 Influência de Perturbações Para o mesmo sistema adicionou-se ruído branco gaussiano de desvio padrão 0.1. Estimação com etfe (F.T. Empírica) Estimação com spa (Análise espectral) Amplitude (db) Amplitude (db) rad/s rad/s Fase (deg) rad/s Fase (deg) rad/s

13 39 Cuidados Práticos Não se deve esquecer que os métodos anteriores se referem a sinais estocásticos estacionários (ou seja, em que as características estatísticas são constantes no tempo) e de média nula. Antes de aplicar estes métodos é necessário pré-processar os dados para remover a influência de ruído (alta frequência) e perturbações de baixa frequência (offset, drift, ) Para isso, filtram-se os dados com filtros passa-banda adequados às frequências que se pretende estimar. É também importante garantir que a energia do sinal de entrada está concentrada na gama de frequência de interesse. A estimação só será fiável nesta gama.

14 40 Sinais de Teste Em muitos casos, os sistemas em estudo permitem-nos escolher os sinais de entrada a aplicar. São sinais de teste típicos os seguintes: Escalões (ondas quadradas) Sinusoides Ruído Branco PRBS Chirp A escolha deve ter em conta quer as propriedades do sistema, quer do método de estimação considerado.

15 41 O sinal PRBS Sinais do tipo ruído branco têm algumas desvantagens (pouco controlo dos valores do sinal, difíceis de gerar). O sinal tem características espectrais semelhantes ao ruído branco mas é mais facil de gerar e controlar

16 42 Caracteristicas do PRBS Pode tomar dois valores (+V e V). Só comuta entre níveis em instantes discretos t=0,h,2h,... Os instantes de comutação são pre-determinados, i.e. o sinal é deterministico. É periódico com período T 0 = N.h, onde N é um inteiro ímpar. Em cada período existem (N+1)/2 intervalos a um nível e (N-1)/2 intervalos no outro nível. A função de autocorrelação, num período, é semelhante a um impulso.

17 43 Geração do PRBS PRBS baseados em sequências máximas têm N = 2 n -1 (n inteiro) e podem ser gerados da seguinte forma: Existem n registos de deslocamento, com realimentação do primeiro registo a partir da soma módulo-2 (ou EX-OR) do último registo e um ou mais dos outros, de acordo com a tabela ao lado. clock R1 R2 R3 R4 R5 R6 EX-OR n Período N EX-OR 2 3 R1,R2 3 7 R2,R R3,R R3,R R5,R R4,R R2,R3,R4,R R5,R R7,R R9,R11

18 44 Autocorrelação do sinal PRBS A autocorrelação de um sinal PRBS é períodica de período N.

19 45 A função matlab idinput permite gerar sinais PRBS. u = idinput(127, PRBS ); Autocorrelação Espectro 1.2 Autocovariancia de um PRBS de 127 amostras 1.2 FFT de um PRBS de 127 amostras

20 46 Cuidados Práticos Aliasing no tempo : acontece quando o período T 0 do sinal PRBS é menor que o tempo de estabelecimento do sistema. Suavização da resposta impulsiva : acontece quando a duração do menor impulso é superior às constantes de tempo mais rápidas do sistema. Desvio da Resposta Impulsiva : devido à função de autocorrelação ter um desvio (offset) relativamente à origem. Pode ser estimado por observação do valor da resposta impulsiva depois do transitório.

21 47 Sinal Chirp O sinal chirp corresponde a uma sinusoide cuja frequência varia no tempo. Pode ser gerado em matlab através de: y = chirp(t,f0,t1,f1); t=0.01:0.01:10; F0 = 0.1Hz T1 = 10s F1 = 5Hz

22 48 Espectro O sinal chirp concentra a sua potência entre as frequências mínimas e máximas definidas: 10 1 Power spectrum for signal y Power Frequency (Hz)

23 49 Vantagens Não apresenta comutações bruscas de sinal, que podem excitar dinâmicas não lineares do sistema. Permite definir explicitamente a gama de frequências a actuar. Desvantagens Necessita de sinais com duração longa, de modo a cobrir devidamente a gama de frequências pretendida.

24 50 Exercícios Considere o seguinte sistema, amostrado a 2Hz: = + + Pretende-se estimar, por análise espectral, a função de transferência deste sistema. Utilize como sinais de entrada, sequências PRBS, ruído branco e chirp e observe as saídas correspondentes. Utilize a função de análise espectral do matlab (spa) para obter as estimativas. Tenha atenção que o sistema contínuo é instável (tem dois polos na origem)!