Interpolação. Interpolação. Padrões de amostragem. Autocorrelação. Padrões de amostragem. Padrões de amostragem

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1 Sistemas de Informação Geográfica II Interpolação 1. Interpolação Autocorrelação Padrões de amostragem Validação de resultados Interpolação Predição do valor de atributos em pontos não-amostrados Tempo Outras impossibilidades físicas, legais, etc. Mudança de resolução especial Falta de dados Autocorrelação Padrões de amostragem Positiva quando proximidade implica semelhança de atributos. Zero quando os atributos são independentes da proximidade Negativa quando proximidade implica dissemelhança de atributos. Padrão regular / sistemático fácil todos com igual ponderação necessária precisão do posicionamento na recolha Padrões de amostragem Padrão aleatório provável menos enviesamento Padrões de amostragem Clusters escolhem-se os centros dos clusters recolha mais rápida 1

2 Padrões de amostragem Amostragem adaptada mais leituras onde há mais variação necessita conhecimento prévio da distribuição da grandeza a amostrar Há muitos métodos diferenças na ponderação, no número de observações, na incorporação das distâncias e direcções, etc. nenhum método é melhor que outro em todas as situações a precisão pode medir-se em pontos amostrados não considerados resultado: matriz, ou conjunto de pontos, ou isolinhas, etc. Diagrama de Voronoi (políg. Thiessen) Raio fixo média local raio muito grande suaviza pode haver círculos sem pontos da amostra Raio fixo IDW (inverso da potência das distâncias) inverso da distância ponderada controlado por número de pontos a considerar como vizinhos expoente (quanto maior, mais significativa é a proximidade) 2

3 IDW Superf. tendência geralmente polinómios de grau pré-determinado a i são os coeficientes que resultam de algum modelo de regressão superfícies demasiado suavizadas e pouco sensíveis a variações locais Splines forçam uma curva a passar pelos pontos normalmente conjunto (soma) de polinómios sensível às variações locais as ondulações podem não ter origem nos dados, mas no modo de ajustamento dos polinómios assenta na autocorrelação espacial (quanto maior, mais próximos estão os valores de pontos pouco distantes) Princípios gerais da krigagem Z ( s) = µ ( s) + ε ( s) n Zˆ( s) = λ Z( s ) i i= 1 minσ 2 ( s) = Var( Zˆ( s) Z( s)) E( Zˆ( s) Z( s)) = 0 k i simples Parte do princípio que se conhece a média da grandeza, e assenta na covariância (o que nem sempre acontece na realidade). A média da população é utilizada para cada estimação local, tal como os pontos próximos. Há vários tipos de krigagem que dependem das hipóteses assumidas para µ(s). µ(s) é constante e conhecido krigagem simples µ(s) varia mas é estacionária numa vizinhança do local onde se pretende estimar o valor da variável krigagem ordinária 3

4 ordinária Não se conhece a média da grandeza E[Z(x)] = µ é constante mas desconhecida Admite-se estacionaridade (há um patamar para a variância em função da distância entre pontos) Assenta sobre as características do variograma γ(x,y) = E[(Z(x) Z(y)) 2 ] γ(h) = ½ E[{Z(x) Z(x+h)} 2 ] construção do semivariograma para todos pares de pontos distância diferença de valor cálculo da semivariância (γ), dada em função da distância γ é uma medida do grau de dependência espacial entre as amostras n=nº de pares de pontos que distam h entre si O peso de cada ponto é estimado depois de estabelecido o semivariograma O semivariograma indica a variação da correlação espacial em função da distância γ distância (h) variância teórica variância real γ = variância h = distâncias Variograma experimental todos os pares de pontos (agrupados em intervalos porque o nº de pontos cresce quadraticamente) efeito de pepita (semivariância entre pares de pontos muito próximos) a partir de uma certa distância a semivariância estabiliza num patamar (variância da amostra) 4

5 Variograma direccional Se existir dependência espacial da direcção, a variável é anisotrópica. Ex. Exactos Diagr. Voronoi IDW Spline Não exactos Raio fixo Superf. tendência Determinísticos Diagr. Voronoi IDW Spline Raio fixo Escocásticos Superf. tendência Métodos determinísticos: não permitem avaliar o erro nos pontos da amostra Métodos estocásticos: permitem avaliar o erro com base na variância estimada m(x) valor médio da variação espacial Z( x) = m( x) + ε '( x) + ε'' ε' ( x) ε'' resíduo da VA cuja autocorrelação é quantificada através de variograma experimental é um ruído aleatório não correlacionado 5

6 Validação de resultados Usam-se pontos de teste Matriz de validação Cálculo de erros para cada ponto, erro médio, etc. Permitem escolher qual o melhor método para cada caso: o melhor para um caso não é necessariamente o melhor para outros Validação de resultados Validação cruzada usa todos os dados para estimar o modelo de autocorrelação; depois remove cada localização, à vez, e prediz o valor associado; compara-se o valor predito com o valor medido Validação remove parte dos dados (test dataset) e usa o resto dos dados (training dataset) para criar o modelo de autocorrelação; depois faz-se a comparação Resumo 6