Ministério da Ciência e Tecnologia INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS

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1 Ministério da Ciência e Tecnologia INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS VARIABILIDADE ESPACIAL NA DISTRIBUIÇÃO DE MICROCYSTIS AERUGINOSA NO ESTUÁRIO DA LAGOA DOS PATOS, RS: UMA ABORDAGEM GEOESTATÍSTICA. Trabalho apresentado como parte dos pré-requisitos para a conclusão da disciplina de Análise Espacial, do curso de mestrado em Sensoriamento Remoto. Aluno: Marcelo Parise INPE São José dos Campos outubro de 1999

2 RESUMO Na análise espacial de dados ambientais, procedimentos visando a interpolação de dados são normalmente utilizados. Através desse procedimento, é possível a estimativa de dados a partir de outros préexistentes em sua vizinhança. No caso de dados ambientais além de outros, sabe-se que sua variação espacial raramente segue uma distribuição isotrópica no espaço, apresentando direções de maior tendência, ou seja, anisotropia. Este trabalho teve como objetivo, analisar possíveis diferenças na espacialização de dados de biomassa fitoplanctônica (Microcystis aeruginosa), considerando-se uma distribuição isotrópica e anisotrópica respectivamente. Os resultados indicaram pouca variabilidade, tanto do ponto de vista meramente visual, como também indicado através da avaliação dos resultados estatísticos da análise. Tal fato pode ter sido causado imprecisões decorrentes da modelagem dos dados detectadas na análise. 3

3 SUMÁRIO 1 - INTRODUÇÃO OBJETIVO FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Variáveis regionalisadas Hipóteses consideradas Variograma Parâmetros do semivariograma Cálculo do semivariograma: Modelos Aninhados Anisotropia: Krigeagem A Alga MATERIAIS METODOLOGIA Digitalização e formatação dos dados Geração de grades Amostragem dos organismos Modelagem da isotropia e anisotropia ÁREA DE ESTUDO: RESULTADOS E DISCUSSÃO CONCLUSÃO REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Anexos 4

4 1 - INTRODUÇÃO Dentro do contexto que envolve o geoprocessamento, a análise espacial figura como uma ferramenta "chave", no que diz respeito à modelagem de dados e o entendimento dos diferentes processos associados a estes. A interpolação de dados é um procedimento amplamente utilizado para estimar o valor de um atributo em locais (pontos) não amostrados. Além disso, é também utilizada para converter dados de operações pontuais em campos contínuos de modo que os modelos espaciais amostrados possam ser comparados com modelos de dados de outras entidades espaciais (Burrough, 1998). A interpolação pode ser utilizada quando: A superfície discretizada tem um diferente nível de resolução, tamanho de célula ou orientação, do que o requerido; A superfície contínua está representada por um modelo de dados que é diferente do requerido; Quando os dados existentes não cobrem toda a superfície da área de estudo. Os métodos de interpolação de dados podem ser distinguidos em dois tipos: globais e locais. No caso dos globais, utilizam todos os dados existentes em uma área na tentativa de estimar novos dados. Já os interpoladores locais, operam em uma pequena área ao redor de um ponto utilizando dados localizados no entorno deste ponto. Em situações onde a quantidade de dados disponíveis é abundante, a maioria das técnicas de interpolação produz resultados bastante similares. No entanto, no caso de dados esparsos e pouco numerosos, a escolha do método pode determinar uma maior ou menor indução a erros na estimação de 5

5 dados. Os métodos de interpolação convencionais, amplamente disponíveis nos SIG's (distância inversa, triangulação e média local), possuem grandes limitações na representação da variabilidade espacial, devido ao fato de desconsiderarem a anisotropia e a continuidade do fenômeno observado. Além disso, não respondem à questões muito importantes, tais como: Qual o tamanho ideal do domínio ou da janela de estimação? Que forma e orientação deve ter a janela para se obter uma estimação ótima? Quais são os erros (incertezas) associados aos valores estimados? Na realidade, normalmente o que se observa é que as propriedades naturais da superfície terrestre (concentração de metais no solo, teor de poluentes na água, tipos de solo e etc...), variam de forma contínua no espaço, não apresentando normalmente, limites abruptos. Baseado nisso, seria muito restritivo descrever o comportamento de tais propriedades através de funções matemáticas simplificadas, que não responderiam às questões propostas anteriormente. Para tanto, modelos inferenciais vem sendo propostos, como por exemplo o método de Krigagem. Tal modelo, apresenta-se inserido em um tópico especial da estatística, a chamada geoestatística, que trata de problemas referentes à estimação de variáveis ditas regionalizadas. 2. OBJETIVO Este trabalho tem como objetivo, avaliar possíveis diferenças geradas através da interpolação por Krigeagem, quando assumidas distribuições isotrópicas e anisotrópicas respectivamente, utilizando-se dados quantitativos de uma espécie fitoplanctônica (Microcystis aeruginosa). 6

6 3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 3.1 Variáveis regionalisadas Variáveis ditas regionalizadas, são variáveis que apresentam um comportamento espacial com características intermediárias entre variáveis essencialmente casuais e totalmente determinísticas. Possuem uma aparente continuidade no espaço, sendo representadas por funções matemáticas, que assumem um valor definido em cada ponto no espaço e descrevem um fenômeno natural (Landin, 1997). A teoria das variáveis regionalisadas pressupõe que a variação de uma variável pode ser expressa pela soma de 3 componentes: Z(x) = m(x) + ε' (x) + ε" onde: (1) (x) = é uma posição (1,2 ou 3 dimensões); Z = variável a ser estimada; ε' (x) = termo estocástico, que varia localmente e depende espacialmente de m(x) ε" (x) = ruído aleatório não correlacionado, com distribuição normal, média zero e variância σ 2 m(x) = função determinística que descreve a componente estrutural Z em (x); As figuras 1.a e 1.b, ilustram as três componentes principais da variação espacial de um atributo. 7

7 Figura1. Componente determinística que varia abruptamente (1.a), e componente determinística com tendência constante (1.b). A continuidade geográfica de um atributo, se manifesta pela tendência que a variável tem de apresentar valores muito próximos em dois pontos vizinhos, e mais diferentes à medida que os pontos vão ficando distantes. Uma importante propriedade associada a isso, é a chamada Anisotropia, a qual, pressupõe uma tendência preferencial na distribuição de um atributo. Um exemplo disso, pode ser observado na emissão de poluentes por um emissário: a pluma de dispersão formada, não terá uma dispersão uniforme em todas as direções (isotropia), e sim apresentara uma direção de tendência mais forte no espalhamento (anisotropia). 3.2 Hipóteses consideradas A hipótese mais comum a ser considerada é a chamada estacionariedade de segunda ordem (hipótese intrínseca), onde estabelece que: A componente determinística m(x) é constante (não há tendências na região); 8

8 A variância das diferenças entre duas amostras depende somente das distâncias entre elas, ou seja: Var[Z(x)-Z(x+h) = E{Z(x)-Z(x+h)] 2 } = 2γ(h) onde: (2) γ(h) = semivariância. Para mostrar a contribuição da semivariância, pode-se escrever a equação 1 como: Z(x) = m(x) + γ(h) + ε" (3) Como supõe-se que m(x) é constante, a variação local das amostras (e sua relação espacial), pode ser caracterizada pela semivariância γ(h). 3.3 Variograma O variograma, é uma ferramenta básica de suporte às técnicas de interpolação por Krigeagem, onde permite a representação quantitativa da variação de um fenômeno regionalizado no espaço (Huijbrets, 1975). Mostra a medida do grau de dependência espacial entre amostras, ao longo de um suporte específico (Landin, 1997). Considerando-se duas variáveis regionalizadas, X e Y, onde X =Z(x) e Y = Z(x+h): neste caso, referem-se a um mesmo atributo medido em duas posições diferentes, conforme a figura 2, onde: x denota uma posição em duas dimensões, com componentes (x i, y i ) e "h", um vetor distância (módulo e direção), que separa os pontos. 9

9 Figura 2. Amostragem em duas dimensões. O grau de dependência entre essas duas variáveis regionalizadas, é representado pelo variograma, 2γ(h), o qual é definido como a esperança matemática do quadrado da diferença entre os valores dos pontos no espaço, separados pelo vetor distância h, ou seja: 2γ(h)= E{[Z(x)-Z(x+h)] 2 } = Var[Z(x)-Z(x+h)] (4) onde, através de uma amostraz(x i ), i=1,2,...n, o variograma pode ser estimado por: N ( h) 2γ'(h) = 1/ N(h) i= 1 [z(x i )-z(x i +h)] 2 onde: (5) 2γ'(h) = variograma estimado; N(h) = número de pares de valores medidos, z(x i ) e z(x i +h), separados pr um vetor distância h; z(x i ) e z(x i +h) = valores da i-ésima observação da variável regionalizada, coletados nos pontos x i e x i +h (i=1,2...,n), separados pelo vetor h. A obtenção do semivariograma, seja dos dados reais, seja dos resíduos, é de fundamental importância nos estudos geoestatísticos e faz parte da chamada 10

10 "análise estrutural" dos dados. Isto requer porém, muita experiência e em muitos casos, sorte. Em um estudo geoestatístico, a parte mais importante refere-se justamente à determinação do semivariograma. (livro portugues). Os semivariogramas expressam assim, o comportamento espacial da variável regionalizada ou de seus resíduos, indicando: 1. a extensão da zona de influência em torno de uma amostra; 2. a anisotropia, quando os semivariogramas se mostram diferentes para diferentes direções de linhas de amostragem; 3. a continuidade, pela forma do variograma (efeito pepita). 3.4 Parâmetros do semivariograma A figura 3 ilustra um semivariograma experimental, com características bem próximas do ideal. O seu padrão representa o que se esperaria em dados de campo, isto é, que as diferenças {Z(x i )-Z(x i +h)} decresçam a medida que h diminua. Como observações mais próximas geograficamente possuem um comportamento mais semelhante entre si do que aquelas separadas por maiores distâncias, é esperado que γ(h) aumente com a distância h. Figura. 3 Exemplo de Semivariograma. Onde: 11

11 Alcance (a): distância dentro da qual as amostras apresentam-se correlacionadas espacialmente. Patamar (C): é o valor do semivariograma correspondente ao seu alcance. A partir deste ponto, considera-se que não existe mais dependência espacial entre as amostras, devido ao fato de que a varincia da diferença entre pares de amostras independe da distância. Efeito Pepita (C 0 ): representa a descontinuidade do semivariograma, associado normalmente a erros de medição ou varirabilidades de pequena escala não captadas pela amostragem. Contribuição (C 1 ): É a diferença entre o (C) e (C 0 ) 3.5 Cálculo do semivariograma: No cálculo do semivariograma, deve-se levar em consideração a regularidade do espaçamento entre as amostras. No caso de amostras regularmente espaçadas, seleciona-se uma direção (ângulo) onde o cálculo de γ'(h) é repetido para todos os intervalos de h (Figura 4). Figura 4. Amostras regularmente espaçadas em duas dimensões. 12

12 Já no caso de amostras irregularmente espassadas (Figura 5), na determinação do semivariograma experimental será necessário introduzir limites de tolerância para a direção e distância. Isto é feito através de um Lag (distância pré-definida utilizada no cálculo do semivariograma). Figura 5. Parâmetros utilizados no cálculo do semivariograma a partir de amostras irregularmente espaçadas em duas dimensões. Ainda em relação à figura 5, a largura da banda(bw) refere-se a um valor de ajuste a partir do qual se restringe o número de pares de observações para o cálculo. A próxima etapa então, engloba o ajuste do modelo experimental obtido, a um modelo teórico. Tal modelagem é um processo que envolve várias tentativas, podendo ser feito manualmente ou com o auxílio de algorítmos. Tipos de modelos teóricos normalmente observados: a) Modelos com soleira: a1) Modelo esférico a2) Modelo Linear a3) Modelo Gaussiano b) Modelos sem soleira: 13

13 b1) Modelo Linear b2) Modelo Wijsianiano 3.6 Modelos Aninhados Existem determinados fenômenos em que são necessários modelos mais complexos de semivariograma para explicar suas variações espaciaias. Estes modelos são combinações de modelos simples, denominados aninhados. 3.7 Anisotropia: A anisotropia pode ser facilmente constatada através da observação dos semivariogramas obtidos para diferentes direções (ângulos). No caso de existir uma grande similaridade, quando analisados em diferentes direções, considera-se que a distribuição espacial dos dados é isotrópica. Neste caso, um único modelo é suficiente para descrever a variabilidade espacial do fenômeno. Por outro lado, se os semivariogramas não são iguais em todas as direções, a distribuição é denominada anisotrópica. No caso da anisotropia ser identificada com um mesmo patamar e com diferentes alcances em uma mesmo modelo, ela é dita Geométrica. Um modo direto de visualizar a calcular os parâmetro da anisotropia geométrica, é através do esboço de uma elipse, calculada através dos alcances obtidos em direções distintas. Para o eixo maior da elipse, denominado de direção de máxima continuidade, aplica-se o maior alcance. O ângulo da direção de máxima continuidade é definido a partir da direção Norte e no sentido horário. Seu valor corresponde à direção de maior alcance. Já o eixo menor, define o alcance menor, onde ocorre menor continuidade, sendo ortogonal à direção principal. Junto á isso pode-se definir o fator de anisotropia geométrica como a razão entre o menor e o maior alcance. Um outro tipo de anisotropia que pode ser observado é a anisotropia zonal. Nela os semivariogramas apresentam iguais valores de (a) e (C). Na prática, o 14

14 mais comum é observarmos uma combinação dois dois tipos de anisotropia, denominada de anisotropia combinada. Em muitos casos, para efeito de simplificação de uma análise, assume-se que um determinado atributo apresenta um comportamento isotrópico em uma determinada área de estudo. Sabe-se porém que na natureza isso raramente acontece, podendo essa simplificação adotada incorrer em erros na estimativa de dados. Este trabalho objetiva justamente avaliar tais erros, a partir da análise de um mesmo conjunto de dados assumindo-se um comportamento isotrópico e anisotrópico respectivamente. 3.8 Krigeagem Entende-se por krigeagem, uma série de técnicas de análise de regressão que procura minimizar a variância estimada a partir de um modelo prévio que leva em conta a dependência estocástica entre os dados distribuídos no espaço (Landin, 1997). Tal método, além dos valores estimados, fornece o erro associado a tal estimação (mapa de variância), o que o distingue dos demais algoritmos à disposição atualmente. Levam em consideração a localização geográfica e a dependência espacial de um ponto, ao contrário dos similares, que utilizam apenas a estatística clássica (média e desvio padrão) na tentativa de representar um fenômeno, além do fato de assumir a hipótese principal de que as variações de um local para outro são aleatórias, o que se sabe, não é o padrão observado, tratando-se de dados ambientais. É um processo de estimação de valores de variáveis distribuídas no espaço, a partir de valores adjacentes, enquanto considerados como interdependentes pelo semivariograma. Trata-se de um método de estimação por médias móveis. Neste trabalho a krigeagem utilizada será a Krigeagem Ordinária, implementada no programa SPRING, sendo esta, uma estimação linear para uma variável regionalizada que satisfaz a hipótese intrinseca, em contraste 15

15 com a Krigeagem simples, que sob a hipótese de estacionaridade de segunda ordem, exige que a média seja conhecida. 3.9 A Alga Florações de Microcystis aeruginosa, uma cianobactéria de distribuição cosmopolita e tipicamente de água doce, são observadas no estuário da Lagoa dos Patos, a vários anos, periodicamente entre o final do verão e início do outono (Parise, 1997). Tais florações, tem sido apontadas mundialmente como causadoras do deterioramento da qualidade de corpos d'água, e em alguns casos, de efeito tóxico comprovado (Codd et al. 1989). 4 - MATERIAIS Neste trabalho foram utilizados os seguintes materiais: Carta Náutica publicada pela Diretoria de Hidrografia e Navegação (DHN) da Marinha do Brasil (MB) N (São José do Norte ao Canal da Setia) Escala 1: Paralelo padrão 31 55' 00'' Os dados quantitativos referentes à biomassa (colônias/litro) de Microcystis aeruginosa foram obtidos através de coletas mensais ao longo de toda a área no período compreendido entre março de 1997 até março de O SIG utilizado na análise espacial dos dados foi o Sistema Processamento de Informações Georeferenciadas (SPRING) versão para o sistema operacional WINDOWS, desenvolvido pela Divisão de Processamento de Imagens (DPI) do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE). 16

16 5 - METODOLOGIA 5.1 Digitalização e formatação dos dados A digitalização é um processo que permite converter dados espaciais da forma analógica, para a forma digital. Digitalmente, os dados foram então estruturados de uma forma que permitiram a realização de diversas operações de análise geográfica. Com isso, foi feita a digitalização dos contornos da área de estudo a partir da carta náutica. Depois disso foram então, feitos os ajustes dos nós onde se garantiu a coincidência dos nós no extremo das linhas digitalizadas. Finalmente foi feita a poligonalização, onde as linhas passaram a fazer parte dos polígonos, mantendo uma relação de vizinhança entre ao diferentes polígonos formados. Com a criação destes polígonos, procedeu-se então à associação dos mesmos às classes temáticas equivalentes contidas no banco de dados. Os dados de biomassa da alga obtidos junto a Unidade de Pesquisa em Cianobactérias - Fundação Universidade do Rio Grande/RS (FURG), foram recebidos no formato EXCEL sendo diretamente importados para o SPRING em coordenadas geográficas Geração de grades Uma grade regular é um modelo digital que aproxima superfícies através de um poliedro de faces retangulares. Sendo assim, a partir das informações contidas nos pontos amostrados, gerou-se uma grade que representasse mais fielmente a superfície. Quando se trabalha com dados distribuídos de uma forma não padronizada e deseja - se uma padronização dos mesmos, há a necessidade de se utilizar interpolação. A partir disso, optou-se por utilizar o interpolador mais robusto disponível no software, ou seja o método de Krigeagem. Tal método, diferencia-se dos outros pela estimação de uma matriz de covariância espacial que determina os pesos atribuídos às diferentes amostras, o tratamento da redundância dos dados, a vizinhança a ser considerada no procedimento inferencial além do erro associado ao valor 17

17 estimado. Além disso, o método de Krigeagem também fornece estimadores exatos com propriedades de não tendenciosidade e eficiência (Camargo, 1997) Amostragem dos organismos Os dados utilizados nesta análise (quantitativos), referem-se à colônias de Microcystis aeruginosa, foram coletados utilizando-se rede fitoplanctônica tipo cilindro-cônica em arrastos de superfície ao longo de todas as estações amostradas, sendo os resultados expressos em colônias/litro Modelagem da isotropia e anisotropia O primeiro passoda modelagem, consiste em uma análise exploratória do atributo (biomassa da alga). Através deste procedimento pode-se avaliar através de parâmentros estatísticos fornecidos, o comportamento da variável no espaço. Após isso o segundo passo será a geração dos semivariogramas com o intuito de avaliar a continuidade espacial do fenômeno em diferentes direções. Em seguida o variograma escolhido (experimental), será ajustado a um modelo teórico que melhor descreva tal continuidade. Por fim será feita a validação do semivariograma e posterior interpolação dos dados. Para o modelo teórico isotrópico, o semivariograma experimental na direção 0, será ajustado com um modelo esférico através dos parâmentros: efeito pepita, contribuição, tolerância, lag e alcance. Já no caso da modelagem da anisotropia, depois de indentificado o tipo existente (zonal, combinada ou geométrica), serão utilizadas 2 estruturas (maior e menor continuidade espacial). Uma vez definidos os modelos relativos às direções de máxima e mínima continuidade do fenômeno, será determinado um modelo único e consistente para qualquer distância do vetor "h", calculado segundo o método proposto por Almeida e Bettini,

18 γ () h = C 0 + C 1 Sph 2 hα h1 + h h 2 β 2 + C 2 Sph h h 2 β hα onde: α = direção de maior continuidade ß = direção de menor continuidade 6. ÁREA DE ESTUDO: A área de estudo, (figura 6) compreende a extensão do estuário da Lagoa dos Patos-RS. Localizado na porção final da Lagoa das Patos, o estuário existente apresentase definido ao norte, por uma linha imaginária ligando a ilha da feitoria (31 48'S) na margem oeste; e a Ponta dos Lençóis (31 48'S) na margem leste. Ao sul, encontra-se limitado pela desembocadura do canal da barra do Rio Grande (32 08'S) e 52 04'W, representando aproximadamente um décimo da área total da Lagoa dos Patos (Castello, 1978). Dentro do estuário, as concentrações de nutrientes responsáveis pela alta produtividade primária observada neste ambiente são resultantes basicamente da atividade agrícola na bacia hidrográfica da Lagoa Mirim, da contaminação por esgotos domésticos e ainda pela descarga atmosférica proveniente do parque industrial da cidade de Rio Grande. Além disso, dentro deste estuário a ação constante de ventos e a advecção de diferentes massas d'água são os principais fatores da distribuição espacial e temporal do fitoplâncton na área estuarina e lagunar (Odebrecht et al, 1988). 7. RESULTADOS E DISCUSSÃO 19

19 Os resultados obtidos encontram-se nos anexos. Observando-se os anexos (9,10,11 e 12), pode-se observar que, os resultados obtidos na análise tanto isotrópica como anisotrópica, visualmente não apresentaram diferenças significativas no padrão de distribuição da alga contrariando o esperado, já que os dados apresentaram uma anisotropia bem definida. Tal fato pode ter origem em erros na modelagem da anisotropia. Segundo Almeida e Bettini, 1994, para uma modelagem precisa, as direções de maior e menor continuidade devem ser ortogonais entre si, o que efetivamente não ocorreu neste estudo, onde as direções analisadas foram 55 (maior contribuição) e 135 (menor contribuição) respectivamente. Um outro fator que pode ter colaborado para o resultado observado, refere-se à limitações relacionadas ao pacote geoestatístico implementado no programa Spring, no que diz respeito à modelagem anisotrópica, que encontra-se em fase de aperfeiçoamento. A semelhança em ambos os procedimentos isotrópico e anisotrópico, pode ser também confirmada através dos gráficos referentes aos dados estimados em relação aos dados verdadeiros onde pode-se observar apenas pequenas diferenças, referentes a um número reduzido de pontos. (anexos 6 e 7). 8. CONCLUSÃO 20

20 Baseado nos resultados obtidos, pode-se afirmar que neste estudo de caso, referente a espacialização de Microcystis aeruginosa, os resultados obtidos não indicaram diferenças entre o comportamento isotrópico e anisotrópico dos dados. Para efeito de simplificação e rapidez em um diagnístico da área, seria conveniente assumir uma variação isotrópica da alga, o que não acarretaria em erros grosseiros, quando comparada com análises mais detalhadas e complexas como no caso da anisotropia. Aperfeiçoamentos na modelagem da anisotropia tornam-se fundamentais tanto a nível conceitual como a nível de implementação, para uma melhor análise dos dados. 9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 21

21 Almeida, A.S.; Bettini, C. Curso de Geoestatística Aplicada. Rio de Janeiro, UFRJ Apostila. Câmara, G. e Medeiros, S. Geoprocessamento para projetos ambientais. São José dos Campos, INPE, Camargo, E. C. G. Desenvolvimento, implementação e teste de procedimentos geoestatísticos (krigeagem) no sistema de processamento de informações georeferenciadas (SPRING). São José dos Campos, 124p. Dissertação (Mestrado em Sensoriamento remoto) - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, Castello, J.P. Projeto Lagoa, Relatório do 1 ao 5 Cruzeiro. Rio Grande: Fundação Universidade do Rio Grande, B.O.A.,1978.9p. Codd, G.A.; Bell, S.G. & Brooks, W.P. Cyanobacterial toxins in water. Wat. Sci. Tech., v.21(3), p. 1-13, Landin, P.M.B. Análise estatística de dados geológicos. Ed. Unesp. Rio Claro Odebrecht, C; Möller, O Jr. & Niencheski, L.FH. Biomassa e categorias de tamanho do fitoplâncton total na Lagoa dos Patos, Rio Grande do Sul, Brasil (verão de 1986). Acta Limnol. Brasil. v.2, p ,1988. Parise, M. Aspectos ecológicos do desenvolvimento de Microcystis aeruginosa ( Kutz. Emend. Elenkin) na Lagoa dos Patos. Trabalho de graduação. Janeiro de pp. ANEXOS 22

22 Anexo 1. Distribuição espacial do erro: caso isotrópico. Anexo 2. Distribuição espacial do erro: caso anisotrópico. => Número de amostras => Média

23 => Variância => Desvio Padrão => Coeficiente de Variação => Coeficiente de Assimetria => Coeficiente de Curtose => Valor Mínimo => Valor Máximo Anexo 3. Estatísticas do erro: caso isotrópico. => Número de amostras => Média => Variância => Desvio Padrão => Coeficiente de Variação => Coeficiente de Assimetria => Coeficiente de Curtose => Valor Mínimo => Valor Máximo Anexo 4. Estatísticas do erro: caso anisotrópico. 24

24 No. Lag:13 Incremento:1009 Tolerância:2140 Direção: 0.00 Tol.Angular: Maxima Bw: feito Pepita = 7,41 Lag No. Pares Distância Semivariograma Anexo 5. Ajuste do semivariograma: caso isotrópico. 25

25 Anexo 8. Ajuste do semivariograma: caso anisotrópico 26

26 Anexo 6. Diagrama dos dados estimados x dados verdadeiros: caso isotrópico Anexo 7. Diagrama dos dados estimados x dados verdadeiros: caso anisotrópico. 27

27 No. Lag:12 Incremento: Tolerância: ============================================================ Direcao: 0.00 Tol.Angular: Maxima Bw: ============================================================ Efeito Pepita = 9.05 Lag No. ParesDistancia Semivariograma ============================================================ Direcao: Tol.Angular: Maxima Bw: ============================================================ Efeito Pepita = 8.25 Lag No. ParesDistancia Semivariograma ============================================================ Direcao: Tol.Angular: Maxima Bw: ============================================================ Efeito Pepita = 9.40 Lag No. ParesDistancia Semivariograma Anexo 8. Resultado numérico dos variogramas. 28

28 Anexo 9. Mapa da variância dos dados (isotrópico) Anexo 10. Mapa resultante da Krigeagem dos dados (isotrópico). 29

29 Anexo 11. Mapa resultante da Krigeagem dos dados (anisotrópico). Anexo 11. Mapa da variância dos dados (anisotrópico). 30

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